Geom / AnGeom_2_6
.pdf
Распознавание нецентральных кривых Аффинные преобразования
Аналитическая геометрия
Лекция 21. Распознавание нецентральных кривых
Сбродова Елена Александровна
06 марта 2012 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 21
Распознавание нецентральных кривых Аффинные преобразования
Распознавание нецентральных кривых
Теорема о распознавании нецентральных кривых.
Пусть нецентральная кривая второго порядка в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение ( ). Тогда
6= 0 |
|
|
Парабола |
|
|
|
S > 0 |
Пара мнимых пересек. прямых |
|
= 0 |
|
S = 0 |
Пара совпадающих прямых |
|
|
|
S < 0 |
Пара параллельных прямых |
|
Аналитическая геометрия. Лекция 21
Распознавание нецентральных кривых Аффинные преобразования
Распознавание нецентральных кривых
Доказательство
Всегда существует такая прямоугольная система координат, в которой уравнение кривой имеет вид
λ1x2 + λ2y2 + · · · = 0
(смотри лемму о приведении симметрической матрицы к диагональному виду).
Заметим, что так как кривая не является центральной, то δ = det A = 0, и, следовательно, λ1λ2 = δ = 0. Без ограничения общности можем считать, что λ1 6= 0 и λ2 = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 21
Распознавание нецентральных кривых Аффинные преобразования
Распознавание нецентральных кривых
Из доказательства теоремы о приведении уравнения кривой к каноническому виду следует, что существует прямоугольная система координат, в которой уравнение
примет вид
λ1x2 + 2b2y + c = 0.
= |
|
λ1 0 |
0 |
|
= −λ1b22. |
0 0 |
b2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 b2 c
Аналитическая геометрия. Лекция 21
Распознавание нецентральных кривых Аффинные преобразования
Распознавание нецентральных кривых
1.6= 0
Вэтом случае b2 6= 0. Уравнение примет вид (y0)2 = 2px0 парабола.
Аналитическая геометрия. Лекция 21
Распознавание нецентральных кривых Аффинные преобразования
Распознавание нецентральных кривых
2.= 0
В этом случае b2 = 0. Так как = 0 и δ = 0, то S
инвариант кривой. |
S = λ1c. |
||||||
A1 |
= |
01 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
λ |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
c |
|
||
a) S > 0 c и λ1 одного знака.
x2
Кривая имеет уравнение a2 = −1.
x2
b) S = 0 c = 0. Кривая имеет уравнение a2 = 0. c) Если S < 0, то c и λ1 разного знака. Кривая имеет
x2
уравнение a2 = 1.
Аналитическая геометрия. Лекция 21
Распознавание нецентральных кривых Аффинные преобразования
Распознавание нецентральных кривых
2.= 0
В этом случае b2 = 0. Так как = 0 и δ = 0, то S
инвариант кривой. |
S = λ1c. |
||||||
A1 |
= |
01 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
λ |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
c |
|
||
a) S > 0 c и λ1 одного знака.
x2
Кривая имеет уравнение a2 = −1.
x2
b) S = 0 c = 0. Кривая имеет уравнение a2 = 0. c) Если S < 0, то c и λ1 разного знака. Кривая имеет
x2
уравнение a2 = 1.
Аналитическая геометрия. Лекция 21
Распознавание нецентральных кривых Аффинные преобразования
Распознавание нецентральных кривых
2.= 0
В этом случае b2 = 0. Так как = 0 и δ = 0, то S
инвариант кривой. |
S = λ1c. |
||||||
A1 |
= |
01 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
λ |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
c |
|
||
a) S > 0 c и λ1 одного знака.
x2
Кривая имеет уравнение a2 = −1.
x2
b) S = 0 c = 0. Кривая имеет уравнение a2 = 0. c) Если S < 0, то c и λ1 разного знака. Кривая имеет
x2
уравнение a2 = 1.
Аналитическая геометрия. Лекция 21
Распознавание нецентральных кривых Аффинные преобразования
Распознавание нецентральных кривых
2.= 0
В этом случае b2 = 0. Так как = 0 и δ = 0, то S
инвариант кривой. |
S = λ1c. |
||||||
A1 |
= |
01 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
λ |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
c |
|
||
a) S > 0 c и λ1 одного знака.
x2
Кривая имеет уравнение a2 = −1.
x2
b) S = 0 c = 0. Кривая имеет уравнение a2 = 0. c) Если S < 0, то c и λ1 разного знака. Кривая имеет
x2
уравнение a2 = 1.
Аналитическая геометрия. Лекция 21
Распознавание нецентральных кривых Аффинные преобразования
Распознавание нецентральных кривых
Пример.
Определить тип кривой
5x2 + 10xy + 5y2 − 2x − 2y − 1 = 0
.
Аналитическая геометрия. Лекция 21