Geom / AnGeom_2_5
.pdf
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Распознавание центральных кривых
2. |
δ < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае λ1 и λ2 разного знака. Так как |
|
= λ1λ2c, то |
|||||||
возможны случаи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
a) |
= 0 c = 0. Кривая имеет уравнение |
|
− |
|
= 0. |
||||
a2 |
b2 |
||||||||
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
||
b) |
6= 0. Кривая имеет уравнение |
|
− |
|
= 1. |
||||
a2 |
b2 |
||||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Определение.
Ортогональным полуинвариантом кривой второго порядка называется объект, связанный с уравнением кривой и не изменяющийся при ортогональной замене системы координат, оставляющей центр на месте.
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
( ) |
x y |
A |
y |
+ 2(b1 b2) |
y |
+ c = 0. |
|
|
|
x |
|
x |
|
A |
b1 |
|
A1 = b1 b2 |
bc2 |
Лемма о характеристическом многочлене расширенной матрицы.
Характеристический многочлен det(A1 − λE) является ортогональным полуинвариантом кривой второго порядка.
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Доказательство
Пусть новая прямоугольная система координат связана со старой уравнением
y |
= T |
y00 |
, |
x |
|
x |
|
где T ортогональная матрица, т.е. T t = T −1.
В новой системе координат уравнение кривой примет вид:
x0 y0 |
T tAT |
y00 |
+ 2(b1 b2)T |
y00 |
+ c = 0. |
|
|
x |
|
x |
|
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
|
A10 = |
|
T tAT T t b2 |
|
|
||||
|
|
|
(b1 b2)T |
|
b1 |
|
|
||
Заметим, что |
|
|
c |
|
|||||
|
|
|
|
T 0 |
, |
||||
A10 = T t |
0 |
A |
b2 |
||||||
|
|
0 |
b1 b2 |
b1 |
|
0 |
|
||
0 0 1 |
c |
0 0 1 |
|||||||
|
T |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где T1 = |
0 |
ортогональная матрица. |
|
||||||
|
|
||||||||
0 0 |
1 |
|
|||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Характеристический многочлен det(A01 − λE) =
=det (T1)tA1T1 − λE = det (T1)tA1T1 − λ(T1)tET1 =
=det (T1)t(A1 − λE)T1 = det(A1 − λE).
Лемма доказана.
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Характеристический многочлен det(A01 − λE) =
=det (T1)tA1T1 − λE = det (T1)tA1T1 − λ(T1)tET1 =
=det (T1)t(A1 − λE)T1 = det(A1 − λE).
Лемма доказана.
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Обозначим: S = 11 + 22 + ii алгебраическое дополнение к элементу ii расширенной матрицы A1.
Следствие.
Число S является ортогональным полуинвариантом кривой второго порядка.
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Доказательство.
Рассмотрим ортогональный полуинвариант det(A01 − λE) =
= |
|
a21 |
a22 |
λ |
|
a23 |
|
= |
||
|
a11 |
− λ |
a12 |
|
a13 |
|
|
|||
|
a |
|
a − |
a |
|
− |
λ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
32 |
|
33 |
|
|
|
= −λ3 + T r(A1)λ2 − (Δ11 + |
22 + |
33)λ + det A1. |
||||||||
Таким образом, S = |
|
11 + |
22 + |
33 также является |
||||||
ортогональным полуинвариантом. |
|
|
|
|
|
|||||
Следствие доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналитическая геометрия. Лекция 20
Распознавание центральных кривых Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Ортогональные полуинварианты кривых второго порядка
Лемма об инвариантности параметра S.
Пусть δ = 0 и = 0. Тогда число S является ортогональным инвариантом кривой второго порядка.
Аналитическая геометрия. Лекция 20