Geom / AnGeom_2_15
.pdf
Ортогональные инварианты и полуинварианты
Аналитическая геометрия
Лекция 30. Ортогональные инварианты и полуинварианты поверхностей второго порядка
Сбродова Елена Александровна
30 мая 2012 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 30
Ортогональные инварианты и полуинварианты
Ортогональные полуинварианты поверхностей
Лемма о характеристическом многочлене расширенной матрицы.
Пусть поверхность второго порядка в некоторой декартовой системе координат имеется уравнение ( ). Тогда
Φ(λ) = det(A1 − λE) является ортогональным полуинвариантом поверхности.
Аналитическая геометрия. Лекция 30
Ортогональные инварианты и полуинварианты
Ортогональные полуинварианты поверхностей
Доказательство.
Пусть новая декартовая система координат имеет со старой одинаковый центр и связана с ней уравнением
x
y = T y0 ,
zz0
где T ортогональная матрица, т.е. T t = T −1.
В новой системе координат уравнение поверхности примет вид:
x0 y0 |
z0 |
T tAT |
y00 |
+ 2(b1 b2 b3)T |
y00 |
+ c = 0. |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
z0 |
z0 |
Аналитическая геометрия. Лекция 30
Ортогональные инварианты и полуинварианты
Ортогональные полуинварианты поверхностей
A0 = |
T tAT |
T t |
b2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
1 |
(b |
b |
b |
)T |
|
cb3 |
||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
A0 = |
T t |
0 |
A |
b2 |
|
|
T |
0 |
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
b3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
0 0 0 1 |
b1 b2 b3 |
c |
|
0 0 0 1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где T1 = |
ортогональная матрица. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 30
Ортогональные инварианты и полуинварианты
Ортогональные полуинварианты поверхностей
Многочлен Φ(λ) = det(A01 − λE) =
=det (T1)tA1T1 − λE = det (T1)tA1T1 − λ(T1)tET1 =
=det (T1)t(A1 − λE)T1 = det(A1 − λE).
Лемма доказана.
Аналитическая геометрия. Лекция 30
Ортогональные инварианты и полуинварианты
Ортогональные полуинварианты поверхностей
Многочлен Φ(λ) = det(A01 − λE) =
=det (T1)tA1T1 − λE = det (T1)tA1T1 − λ(T1)tET1 =
=det (T1)t(A1 − λE)T1 = det(A1 − λE).
Лемма доказана.
Аналитическая геометрия. Лекция 30
Ортогональные инварианты и полуинварианты
Ортогональные полуинварианты поверхностей
Следствие.
Пусть поверхность второго порядка в некоторой декартовой системе координат имеется уравнение ( ). Тогда , S2 и S3 являются ортогональными полуинвариантами поверхности.
Аналитическая геометрия. Лекция 30
Ортогональные инварианты и полуинварианты
Ортогональные полуинварианты поверхностей
Доказательство.
Φ(λ) = det(A |
|
|
λE) = |
a12 |
a22 |
|
λ a23 |
|
b2 |
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
− |
λ a12 |
|
a13 |
|
b1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
a |
13 |
a |
− |
a |
33 |
|
λ b |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
− |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
|
b3 |
c |
− |
λ |
|
||||
= λ |
4 |
+ α3λ |
3 |
+ α2λ |
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ α1λ + α0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α0 = , α1 = −(δ + S3), α2 = S + S2.
Так как Φ(λ) является ортогональным полуинвариантом, то все его коэффициенты также являются ортогональными полуинвариантами. В связи с тем, что δ и S ортогональные инварианты, то S3, S2 и ортогональные полуинварианты.
Аналитическая геометрия. Лекция 30
Ортогональные инварианты и полуинварианты
Ортогональные полуинварианты поверхностей
Лемма об определителе расширенной матрицы.
Определитель является ортогональным инвариантом поверхности второго порядка.
Доказательство аналогично доказательству соответствующей лемме для кривых.
Аналитическая геометрия. Лекция 30
Ортогональные инварианты и полуинварианты
Теорема о распознавании поверхностей при помощи инвариантов.
Пусть поверхность второго порядка в некоторой декартовой системе координат имеет уравнение ( ). Тогда при
δ2 + 2 6= 0
|
|
|
|
|
|
< 0 |
эллипсоид |
|
|
|||
|
|
S > 0 и T r(A)δ > 0 |
|
> 0 |
мнимый эллипсоид |
|
|
|||||
δ 6= 0 |
|
|
|
|
= 0 |
точка |
|
|
||||
|
|
|
|
|
< 0 |
двуп.гиперболоид |
|
|
|
|||
|
|
S ≤ 0 или T r(A)δ ≤ 0 |
|
> 0 |
одноп.гиперболоид |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= 0 |
конус |
|
|
|
|||
δ = 0 |
|
> 0 |
гиперболический параболоид |
|
|
|
||||||
< 0 |
эллиптический параболоид |
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 30