Geom / AnGeom_2_14

Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты

Аналитическая геометрия

Лекция 29. Ортогональные инварианты и полуинварианты поверхностей второго порядка

Сбродова Елена Александровна

23 мая 2012 г.

Аналитическая геометрия. Лекция 29

Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты

Центральные поверхности второго порядка

Определение.

Поверхность второго порядка называется центральной, если матрица квадратичной части ее уравнения в некоторой декартовой системе координат имеет ненулевой определитель.

Аналитическая геометрия. Лекция 29

Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты

Центральные поверхности второго порядка

Корректность определения.

Пусть в некоторой системе координат поверхность задана уравнением

и выполнено условие det A 6= 0. Тогда в любой другой системе координат поверхность задается уравнением

где T матрица перехода (det T 6= 0).

Аналитическая геометрия. Лекция 29

Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты

Центральные поверхности второго порядка

Заметим, что если det T 6= 0 и det A 6= 0, то

det(T tAT ) = det T t det A det T 6= 0.

Корректность доказана.

Примеры центральных поверхностей

Эллипсоид, одно- и двуполостный гиперболоиды, эллиптический конус, точка, мнимый эллипсоид.

Аналитическая геометрия. Лекция 29

Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты

Центральные поверхности второго порядка

Заметим, что если det T 6= 0 и det A 6= 0, то

det(T tAT ) = det T t det A det T 6= 0.

Корректность доказана.

Примеры центральных поверхностей

Эллипсоид, одно- и двуполостный гиперболоиды, эллиптический конус, точка, мнимый эллипсоид.

Аналитическая геометрия. Лекция 29

Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты

Центральные поверхности второго порядка

Определение

Центром поверхности второго порядка называется такая точка пространства, относительно которой данная поверхность симметрична.

Аналитическая геометрия. Лекция 29

Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты

Центральные поверхности второго порядка

Замечание.

Центральная поверхность второго порядка имеет единственный центр. Центром является точка (x, y, z) решение системы линейных уравнений

Аналитическая геометрия. Лекция 29

Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные инварианты поверхностей второго порядка

Определение.

Ортогональным инвариантом поверхности второго порядка называется объект, связанный с уравнением поверхности и не изменяющийся при ортогональной замене системы координат.

Аналитическая геометрия. Лекция 29

Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные полуинварианты поверхностей второго порядка

Определение.

Ортогональным полуинвариантом поверхности второго порядка называется объект, связанный с уравнением поверхности и не изменяющийся при ортогональной замене системы координат, оставляющей центр на месте.

Аналитическая геометрия. Лекция 29

Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты

Ортогональные инварианты поверхностей

Пусть в некоторой декартовой системе координат поверхность задана уравнением

Обозначения:

Аналитическая геометрия. Лекция 29