Geom / AnGeom_8
.pdf
Прямая на плоскости
Аналитическая геометрия
Лекция 8. Прямая на плоскости
Сбродова Елена Александровна
26 октября 2011 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 8
Критерий коллинеарности вектора и прямой
Прямая на плоскости
Расстояние от точки до прямой Взаимное расположение прямых Полуплоскости
Критерий коллинеарности вектора и прямой
Пусть прямая l задана уравнением Ax + By + C = 0. Вектор ~v = {vx, vy} коллинеарен прямой l Avx + Bvy = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 8
Критерий коллинеарности вектора и прямой
Прямая на плоскости
Расстояние от точки до прямой Взаимное расположение прямых Полуплоскости
Критерий коллинеарности вектора и прямой
Доказательство.
Заметим, что вектор ~n = {A, B} является вектором нормали к прямой l : Ax + By + C = 0.
Тогда вектор ~vkl ~v ~n.
По критерию ортогональности
~v ~n (~v, ~n) = Avx + Bvy = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 8
Критерий коллинеарности вектора и прямой
Прямая на плоскости
Расстояние от точки до прямой Взаимное расположение прямых Полуплоскости
Расстояние от точки до прямой
Теорема о расстоянии от точки до прямой.
Пусть прямая l задана уравнением Ax + By + C = 0. Тогда расстояние от точки M0 = (x0, y0) до прямой l равно
|Ax0 + By0 + C| d(M0, l) = √
A2 + B2
Аналитическая геометрия. Лекция 8
Критерий коллинеарности вектора и прямой
Прямая на плоскости
Расстояние от точки до прямой Взаимное расположение прямых Полуплоскости
Расстояние от точки до прямой
Аналитическая геометрия. Лекция 8
Критерий коллинеарности вектора и прямой
Прямая на плоскости
Расстояние от точки до прямой Взаимное расположение прямых Полуплоскости
Расстояние от точки до прямой
MM |
|
= |
|
(−−−→0 |
|
|
|
| |
|
~n |
|
| |
, |
||
d(M0, l) = |Пр~n−−−→0 |
| |
|
|||||
|
|
|
|
MM , ~n) |
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 8
Критерий коллинеарности вектора и прямой
Прямая на плоскости
Расстояние от точки до прямой Взаимное расположение прямых Полуплоскости
Расстояние от точки до прямой
где M = (x, y) произвольная точка на прямой l. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−−−→ |
= |
{ |
0 − |
|
|
|
0 |
− |
} |
, ~n = |
{ |
|
|
} |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
MM |
0 |
x, y |
A, B |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(−−−→ |
, ~n) = (x |
0 − |
x) |
· |
A + (y |
0 − |
y) |
· |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 − |
(Ax + By) |
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
MM |
|
|
|
|
|
|
|
|
B = Ax + By |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Так как M l, то Ax + By = −C. Следовательно, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
| |
(−−−→ |
, ~n) |
| |
= |
| |
|
0 |
|
|
0 |
+ C |
| |
= | |
Ax |
0 |
+ By |
0 |
+ C |
| |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
MM |
|
|
|
Ax + By |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|~n| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|~n| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 + B2 |
|
|||||||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 8
Критерий коллинеарности вектора и прямой
Прямая на плоскости
Расстояние от точки до прямой Взаимное расположение прямых Полуплоскости
Расстояние от точки до прямой
Пример.
Найти расстояние от точки M0 = (2, 3) до прямой
l :
x = 1 + t
y = −1 + 2t
Аналитическая геометрия. Лекция 8
Критерий коллинеарности вектора и прямой
Прямая на плоскости
Расстояние от точки до прямой Взаимное расположение прямых Полуплоскости
Расстояние от точки до прямой
Найти расстояние от точки M0 = (2, 3) до прямой
l :
x = 1 + t
y = −1 + 2t
Решение.
Найдем общее уравнение прямой l. Из первого уравнения:
t = x − 1. Подставим во второе уравнение: y = −1 + 2(x − 1). Таким образом,
|
|
|
l : −2x + y + 3 = 0. |
2√ |
|
||||||
Тогда |
d(M |
, l) = |
| − 2 · 2 + 1 · 3 + 3| |
= |
2 |
= |
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
p(−2)2 + 12 |
√5 |
5 |
|
||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 8
Критерий коллинеарности вектора и прямой
Прямая на плоскости
Расстояние от точки до прямой Взаимное расположение прямых Полуплоскости
Взаимное расположение прямых
l1 пересекает l2 |
l1kl2 |
l1 = l2 |
Аналитическая геометрия. Лекция 8