Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
Первый интеграл преобразуем по теореме Гаусса–Остроградского в
D
интеграл по поверхности
Этот интеграл стремится к нулю при удалении поверхности интегрирования на бесконечность, так как на далеких расстояниях от распределения зарядов (считаем, что заряды занимают ограниченную область
пространства)
Подчеркнем еще раз, что содержание этого выражения совершенно
отличается от содержания выражения (4.93). В формуле (4.93) носителем энергии служат заряды и энергия представляется локализованной
на зарядах. В формуле (4.96) носителем энергии считается электрическое поле и энергия представляется распределенной по всему пространству. Каждой единице объема, занятой электрическим полем,
приписывается энергия
1
div( )
2
VS
3
1/Dr
. Поэтому для всего пространства
dV DdS
e
wED
e
ED
1
2
WdV
2
()
. (4.95)
.
(4.96)
(4.97)
– величина объемной плотности электрической энергии.
Рассмотрим диэлектрик во внешнем электрическом поле. Какую
энергию следует приписывать этому диэлектрику? На первый взгляд
кажется, что энергию диэлектрического тела можно рассчитать по
формуле
так как для одиночного диполя
Хотя бы по той причине, что эта формула дважды учитывает один и
тот же объем dV: один раз как дипольный момент, находящийся во
внешнем электрическом поле, а в другой раз как источник поля, в котором находятся другие дипольные моменты.
81
WPEdV
D
()
WpE
ee
, (4.98)
. Однако это неверно.
Пусть электростатическое поле
E
E
E
E
E
E
лением заряда в свободном пространстве
создается некоторым распреде-
0
DE
000
. При этом пол-
ная энергия поля
1
WEDdV
000
2
. (4.99)
Пусть теперь все пространство заполнено диэлектриком проницаемостью
поля
, при этом распределение свободных зарядов (источников
1
)
оставляем неизменным. Тогда полная энергия поля после
0
заполнения пространства диэлектриком будет
WEDdV
1
()
2
. (4.100)
Определим энергию диэлектрика, помещенного во внешнее поле с
напряженностью
, формулой
0
WWW EDEDdV
D
1
000
2
. (4.101)
При заполнении всего пространства однородным диэлектриком во всех
точках пространства напряженность поля уменьшается в
/EE
. Поэтому подынтегральное выражение будет
0
DED E E EE
00 0 00 0 0
22
(1)
. (4.102)
раз:
Таким образом, для энергии диэлектрика получаем окончательно
W EEdV PEdV
11
D
(1)
22
00 0
. (4.103)
Можно показать, что эта формула справедлива и для диэлектрика конечных размеров во внешнем поле
Рассмотрим теперь диэлектрическое тело с проницаемостью
помещенное в среду с диэлектрической проницаемоcтью
энергии диэлектриков 1 и 2 во внешнем поле
82
.
0
,
1
. Запишем
2
:
0
E
E
E
E
Здесь
– напряженность поля в диэлектрическом теле. Отсюда раз-
2
ность энергий
WEEdV
D
WEEdV
D
1
11010
22020
(1) ,
2
1
(1) .
2
(4.104)
Учтем, что
WWW
12 1 2DDD
0
[( 1) ( 1) ]
1102 20
2
/EE
101
и
202
EEEdV
. (4.105)
/EE
. Тогда подынтегральное выра-
жение
()EE
12012
. (4.106)
Окончательно
0
WEEdV
12 1 2 1 2
D
()()
2
. (4.107)
Эта формула дает величину энергии диэлектрика с диэлектрической
проницаемостью
цаемостью
в среде, которые в отсутствие обоих диэлектриков создавали бы
поле
(поле, в котором
2
)
. Из этой формулы следует, что увеличение диэлектрической
0
, помещенного в среду с диэлектрической прони-
1
создается свободными зарядами
2
проницаемости среды приводит к уменьшению полной энергии поля.
Переходим к магнитному случаю. Пусть в ограниченной области
пространства имеются токи. Каждый элемент тока создает магнитное
поле, с которым взаимодействуют другие элементы тока. Аналогом
(4.93) является формула
1
2
V
83
UAjdV
. (4.108)
Учтем, что rotBA
B
соотношением
div[ ] rot rot .AH H A A H
Тогда можно записать
Распространим интегрирование на всю область пространства, занятого магнитным полем, и полученное выражение назовем полной энергией магнитного поля в среде. Второй интеграл по теореме Гаусса–
Остроградского преобразуется в интеграл по поверхности. Если все
токи занимают ограниченную область пространства, то при удалении
поверхности на бесконечность этот интеграл становится пренебрежи-
малым, так как
мо
Таким образом, для всего пространства полная энергия магнитного
поля
Каждой единице объема пространства, занятой магнитным полем,
приписывается энергия
– объемная плотность энергии магнитного поля.
Рассмотрим магнетик во внешнем магнитном поле. Как и в электрическом случае, энергию магнетика нельзя рассчитать по формуле
() ,
, rot ,jH
1
UHBdV AHdV
2
VV
и воспользуемся известным векторным
() div[ ] .
3
1/AH r
.
m
wHB
m
HB
2
1
()
2
.
(4.112)
WdV
WJBdV
M
(4.109)
(4.110)
(4.111)
(4.113)
несмотря на то что для одиночного диполя
Пусть магнитное поле
000
84
/HB
. При этом полная энергия поля равна
создается некоторой системой токов
0
1
WHBdV
000
2
WpB
mm
(4.114)
.
.
Пусть теперь все пространство заполнено магнетиком с проницае-
B
B
B
B
мостью
оставляем неизменным. Тогда
, при этом распределение токов (источников поля 0)
1
HH
,
0
B
и полная энергия поля
0
после заполнения пространства магнетиком
WHBdV
1
2
. (4.115)
0
Определим энергию магнетика, помещенного во внешнее поле с
индукцией
:
0
WWW HBHBdV
M
1
0000
2
. (4.116)
Подынтегральное выражение
(1)HBBJB
2
00 0 0
0
. (4.117)
1
Таким образом, для энергии магнетика получаем окончательно
WJBdV
1
M
2
. (4.118)
0
Можно показать, что эта формула справедлива и для магнетика конечных размеров во внешнем поле
. Она аналогична формуле для энер-
0
гии диэлектрического тела во внешнем электрическом поле, но отличается знаком в правой части.
Формула для энергии магнетика с магнитной проницаемостью
помещенного в среду с магнитной проницаемостью
ром
H создается системой токов в среде), имеет аналогичный элек-
2
(поле, в кото-
2
1
трическому случаю вид (с учетом смены знака)
1
WHHdV
12 0 1 2 1 2
M
()
2
. (4.119)
,
Увеличение магнитной проницаемости среды приводит к увеличению полной энергии поля.
85
4.13. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СИЛЫ,
F
ДАВЛЕНИЯ, НАТЯЖЕНИЯ
Электромагнитное поле оказывает силовое воздействие не только
на отдельные заряды, но и на нейтральные (в целом) тела. Это воздей-
ствие поля можно оценить, используя энергетические соображения.
Рассмотрим плоский электрический конденсатор (воздушный),
заряженный до заряда Q (рис. 4.6).
Если пренебречь рассеянием поля
на краях конденсатора, можно счи-
Рис. 4.6
тать, что в конденсаторе
электрическая энергия. Отсоеди-
запасена
ним конденсатор от источника и рассмотрим виртуальное (воображаемое) перемещение одной из обкладок конденсатора.
Работа внешней силы
должна увеличивать энергию конденса-
тора
Fdx dW
. (4.120)
e
Отсюда находим силу, действующую на единицу площади пластины
со стороны поля, т. е. давление, испытываемое пластиной:
W
11
F
PwSdw
eeQe
SSx Sx
e
Q
()
. (4.121)
Индекс Q означает, что рассматривается процесс, в котором заряд
конденсатора остается постоянным.
Таким образом, давление со стороны поля на пластину численно
равно плотности электрической энергии. Знак минус следует понимать
условно: в отличие от обычных газов, которые давят наружу, электрическое поле «тянет» – давление поля направлено
внутрь. Силовые линии электрического поля словно натянутые резинки тянут к себе пластину, к которой они «привязаны». Поэтому более уместно говорить не
о давлении поля, а о натяжении поля.
Мы рассмотрели виртуальное перемещение пластины при условии
отключения конденсатора от источника. Не следует думать, что наш
результат есть следствие этого
86
специального условия.
Пусть конденсатор остается подключенным к источнику. Тогда ба-
F
7
ланс энергии иной и изменение энергии конденсатора
(/2)CU
надо
2
рассматривать при постоянном значении напряжения U на конденсаторе
dx UIdt dW
. (4.122)
e
Работа источника тока
UIdt UdQ Ud CU d CU dW
() ( )2
Ue
2
. (4.123)
Таким образом,
2
FCU
P
e
SSx Sx
W
11
e
2
U
Sx d
2
U
S
0
w
U
2
U
. (4.124)
e
Мы получили тот же результат.
Рассмотрим теперь «магнитный конденсатор» (рис. 4.7). Так
условно можно назвать систему из двух достаточно больших пластин, по каждой из которых текут
постоянные токи противоположных
направлений.
Эта система является магнитным
конденсатором в том смысле, что в
случае бесконечных пластин магнитное
поле полностью сосредоточено между
обкладками такого конденсатора. В отличие от электрического конденсатора
мы не можем отключить магнитный
Рис.4.
конденсатор от источника тока. Поэтому представим, что мы внешними силами стремимся раздвинуть пластины друг от друга таким
образом, чтобы в этом процессе магнитный
поток в конденсаторе не изменился. Последняя оговорка нужна для
удобства проведения рассуждений, так как в этом случае ЭДС индукции
87
не возникает и источник тока не совершает дополнительной работы.
F
B
x
При таком виртуальном перемещении пластин работа внешних сил
идет только на увеличение энергии магнитного поля:
dx dW
. (4.125)
m
При постоянном магнитном потоке
dФ () 0d Bld dB l d B l dx
(4.126)
(l – размер пластины, направленный в глубину рисунка). Отсюда
dB dx
d
HH
,
Ф
. (4.127)
d
Сила, действующая на единицу площади пластины со стороны поля,
т. е. давление, испытываемое пластиной, равно
2
WH
F
PSd
m
SSx Sx
Hd w
0
11
m
H
x
Ф
HH
00
Ф
22
0
2
22
Ф
.
m
(4.128)
Таким образом, магнитное поле оказывает на пластины давление,
численно равное плотности магнитной энергии. Это давление подобно
давлению газов. Оно настоящее. Давлением магнитного поля удерживают, например, плазму.
Обычно давление (натяжение) электрического поля невелико. Так,
если Е = 100 кВ/см (при таком поле наступает пробой воздуха), натя
жение поля составляет примерно 400 Па, что пренебрежимо мало по
сравнению с атмосферным давлением воздуха. Внутри твердых тел
9
электрическое поле порядка
10
В/см и натяжение электрического поля
достигает огромных величин, что и обеспечивает прочность твердых
тел, в особенности кристаллических. Обычно это давление в телах на
два порядка ниже из-за несовершенства кристаллической структуры
реальных твердых тел.
-
88
Порядок величин давлений магнитного поля можно оценить на
p
f
f
f
примере тороидального соленоида. Если обеспечить 10 000 витков не
единицу длины и пропустить по соленоиду ток 0.1 А, то мы создадим
магнитное поле напряженностью 1000 А/м. Это довольно слабое поле.
Давление пренебрежимо мало по сравнению с атмосферным. В современных физических установках создаются мощные магнитные поля
с
индукцией порядка 100 Тл (более чем 1 000 000 раз сильнее магнитного поля Земли). Магнитное давление при этом огромно, и приходится
считаться с возможностью разрушения материалов таким давлением.
Наличие диэлектриков или магнетиков существенно усложняет
расчет электромагнитных сил.
На электрический диполь в электрическом поле действует сила,
равная
E
. Следовательно, объемная сила, действующая на ди-
e
электрик, равна
dF
e
e
dV
() (1)()
PE EE
0
. (4.129)
Известно равенство
grad( ) rot rot ( ) ( )AB A B B A A B B A
С учетом того, что rot 0E
e
, находим
1
(1)grad()
0
2
2
E
. (4.131)
. (4.130)
Направление объемной силы не зависит от направления поля, сила
направлена в сторону максимального значения напряженности электрического поля.
Аналогичный результат можно получить для объемной силы, дей-
ствующей в магнетике:
1
m
(1)grad()
0
2
2
H
. (4.132)
Мы неявно предполагали, что диэлектрики и магнетики являются
жесткими (несжимаемыми). В случае сжимаемых диэлектриков и магнетиков результат получается иной:
89
j
11
22
fE E
eD
22
grad grad ,
00
11
22
fH H
mM
22
и М – плотности диэлектрика и магнетика.
где
D
grad grad ,
00
D
(4.133)
M
В кристаллических телах электромагнитные силы носят существенно анизотропный и весьма сложный характер.
5. СТАЦИОНАРНЫЙ ТОК
СТАЦИОНАРНЫЙ МАГНИТНЫЙ ПОТОК
5.1. СОХРАНЕНИЕ ЗАРЯДА
УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Закон сохранения электрического заряда нами был сформулирован
в виде интегрального соотношения
d
dV jdS
dt
Воспользовавшись теоремой Гаусса, получаем эквивалентную локальную формулировку
. (5.1)
0divj
. (5.2)
t
Это уравнение называют уравнением непрерывности.
5.2. СТАЦИОНАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Если процессы стационарны, то из уравнения непрерывности
находим
90
div 0
. (5.3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]