Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
Следовательно, векторное поле плотностей электрического тока яв-
f
R
x
ляется соленоидальным полем (сравни с div 0B
), линии постоянного
тока должны быть замкнутыми (замкнуты цепи постоянного тока).
Напомним теперь классическую теорию электропроводности металлов. В металлах свободные электроны оказываются под действием
двух сил – электрической и трения:
dv
mqEf
eeр
dt
. (5.4)
Пренебрежем инерцией электронов, а силу трения свяжем со всевозможными процессами столкновениями электронов (частота столкно-
вений )
р e
, приводящими к потере приобретенного импульса:
e
mv
. Тогда средняя направленная скорость электронов в элек-
трическом поле будет
q
e
vEE
– так называемая подвижность электронов. Благодаря тому что
e
m
ee
,
(5.5)
e
скорость (а не ускорение) пропорциональна электрическому полю,
плотность электрического тока также оказывается пропорциональной
полю (закон Ома в дифференциальной форме):
qn
jE
,
. (5.6)
ee e
Если мы рассмотрим отрезок провода длиной l, площадью сечения S, удельная проводимость которого равна
, то для этого участка
некоторой электрической цепи получим закон Ома:
U
I
, UEl,
RS
l
. (5.7)
Если сечение некоторого прямого проводника изменяется, то его электрическое сопротивление можно рассчитать по формуле
dx
R
()()
. (5.8)
Sx
Электрические токи протекают не только в проводниках, но и в диэлектриках. Надо иметь в виду, что при протекании постоянного тока
91
через диэлектрические материалы граничные условия для электриче-
EE
E
E
ского поля несколько видоизменяются, а именно
Первое равенство учитывает непрерывность электрического тока
при переходе границы раздела двух диэлектриков с проводимостями
и
1
ционарными токами, так как линии плотности тока совпадают с линиями напряженности электрического поля.
торное поле плотности постоянного тока соленоидально и справедлив
закон Ома в дифференциальной форме, то не следует ли отсюда, что и
электрическое поле также соленоидально (линии электростатического
поля замкнуты)? Нет, конечно. Во-первых, закон Ома записан лишь
для участков электрической цепи, т. е. не вдоль всей замкнутой линии
тока можно записать связь тока с электрическим полем в виде этого
закона. Во-вторых, мы еще не задавались вопросом: благодаря чему
электрический ток поддерживается
даря сторонней электродвижущей силе (ЭДС). На участках электрической цепи, где действуют лишь сторонние (не электростатические) си-
лы, формально вводится стороннее электрическое поле
электростатической природы) и закон Ома «подправляется», с тем
чтобы его можно было записывать для произвольного участка цепи
.
2
Закон Ома позволяет моделировать электростатические поля ста-
Здесь следует остановиться на одном важном моменте. Если век-
,
11 2 2nn
12
постоянным? Конечно же, благо-
E
. (5.9)
E (не
стор
Линии суммарного поля
линии
единичного положительного заряда по всему замкнутому контуру
и называют собственно величиной электродвижущей силы.
92
j. Работу электростатических и сторонних сил по перемещению
jEE
EE
стор
EdlEdl
стор стор
. (5.10)
стор
действительно замкнуты, как и
(5.11)
5.3. СТАЦИОНАРНЫЕ МАГНИТНЫЕ ПОТОКИ
x
R
МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
Магнитный поток в некотором отношении подобен электрическому
току. Этот поток также может «проходить» по своеобразным проводам: по магнитопроводам – длинным ферромагнитным материалам.
Действительно, так как эффективная магнитная проницаемость ферромагнетиков очень велика, то практически весь магнитный поток
сосредоточен внутри магнитопровода: рассеяние потока, если не рассматривать краевые эффекты на концах магнитопровода
но приближенно считать, что вдоль магнитопровода проходит постоянный магнитный поток.
Уравнение поля (часто называемое законом полного тока)
, мало´. Мож-
следует сравнивать с выражением для ЭДС: ток, возбуждающий магнитный поток в магнитопроводе, аналогичен ЭДС.
Для неразветвленного магнитопровода уравнение можно переписать несколько иначе (с учетом приближенного постоянства магнитного потока):
Ф
Величина
лением. Обратная величина
1/
характеризует магнитную проводимость магнитной цепи и называется
индуктивностью электрического проводника, ток в котором возбуждает магнитное поле. Индуктивность характеризует ЭДС индукции, возникающую в проводнике при изменении тока в нем. Для расчета разветвленных магнитных цепей можно использовать аналог законов
Кирхгофа для электрических цепей.
Ниже мы приводим ряд аналогов электрической
цепей:
может быть по аналогии названа магнитным сопротив-
IR
Hdl jdS I
,
R
LR
(5.12)
dx
()()
0
(5.14)
. (5.13)
Sx
и магнитной
93
j
div 0
j
B
div B
= 0
IjdS
Ф BdS
R
IR
E
I
R
ФIR
H
0
jE
BH
0
Проиллюстрируем применение понятий магнитных цепей на примере расчета электромагнита с узким зазором (
d – величина зазора; S и
l – сечение и периметр магнитопровода – железа; N – число витков
провода с током
I) (рис. 5.1).
Рис. 5.1
Предположим, что можно пренебречь рассеянным потоком. Тогда
из эквивалентной электрической схемы находим поток в магнитопроводе
94
Ф
NI
RR
()
Ld
,
RS
L
,
L
0
RS
d
d
. (5.15)
0
Отсюда можно найти магнитное поле в зазоре
B
Ф 1
B
d
SdLdd
NI NI
00
1/
. (5.16)
Электромагниты позволяют получать в небольших зазорах сильные
магнитные поля, ограниченные насыщением железа.
С помощью метода магнитных цепей можно провести много полезных оценок, в частности, достаточно просто можно оценить действие магнитных экранов сложной формы.
5.4. ПОСТОЯННЫЕ МАГНИТЫ
Остаточное намагничивание ферромагнетиков позволяет получать
постоянные магниты, т. е. магнитное поле без внешнего тока. Расчет
таких магнитов сложен из-за нелинейной зависимости индукции магнитного поля от напряженности поля.
Рассмотрим постоянный С-образный магнит в виде кольцевого
стержня длиной
l и с величиной зазора d. Зазор полагаем достаточно
узким, чтобы поле в нем можно было считать однородным (диаметр
стержня велик по сравнению с зазором) (рис. 5.2).
Рис. 5.2
Пренебрежем также рассеянием поля вне кольца. Состояние постоянного магнита характеризуется точкой
магнитное поле равно остаточному
0
Hdl
,
3 на петле гистерезиса: полное
. Так как внешних токов нет, то
r
HL Hd
Ld
0
. (5.17)
В силу непрерывности нормальной компоненты вектора индукции
магнитного поля
95
HB B
dd L
//
00
. Следовательно,
L
B
H
B
H
B
HL
d
L
(5.18)
0
– напряженность поля направлена против вектора индукции магнитно-
го поля. Таким образом, состояние ферромагнетика в этом случае характеризуется участком
3–4 петли гистерезиса. Ради упрощения будем
считать, что этот участок можно приближенно представить линейной
зависимостью
BB
H
1
r
, (5.19)
H
c
где
– коэрцитивная сила (положительная величина). С учетом это-
c
го находим
B
B
d
1/
Для достаточно узкого зазора
мится к остаточному. Если же зазор широкий
поле определяется коэрцитивной силой
r
dHL
rc
(/)
dHLB
поле в нем стре-
. (5.20)
0
0
cr
(/)
dHLB
, то
0
. Полученное выражение
c
cr
для поля в зазоре похоже на аналогичное выражение для случая электромагнита (5.16). Видно, что есть соответствие величин
r
/
NI d
,
0
/
BH. (5.21)
0
rc
В задаче об электромагните мы не учли намагничивание, так как в отсутствие тока поле в зазоре оказывается равным нулю [см. (5.16)].
6. НЕСТАЦИОНАРНОЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Описать процессы в нестационарном электромагнитном поле невозможно на основе уравнений поля, установленных для стационарного случая. Эти уравнения (точнее, часть из них) следует подправить,
чтобы учесть те новые явления, которые имеют место в нестационарном случае.
96
6.1. РЕЛАКСАЦИЯ ЗАРЯДА В ПРОВОДЯЩИХ СРЕДАХ
Сначала мы обсудим процесс релаксации избыточного заряда в
проводящей среде, чтобы выяснить характерные временные масштабы
в средах.
Пусть однородная среда характеризуется постоянными значениями
проводимости
и диэлектрической проницаемости . Пусть в неко-
торой области в начальный момент времени в этой среде создано рас-
r
пределение зарядов (,0)
. Очевидно, что со временем заряд должен
рассасываться, релаксировать. Определим закон релаксации этого заряда.
Запишем уравнение непрерывности с учетом закона Ома и уравнений поля. Тогда
t
div( ) 0E
,
t
0
0
. (6.1)
Решение уравнения тривиально:
(,) (,0)
rt r e
Таким образом, величина
дает нам характерное время релаксации
/
t
,
/ . (6.2)
0
заряда в проводящей среде. Это время зависит от соотношения диэлектрических и проводящих свойств среды.
Рассмотренное описание является ограниченным в силу неучета
ряда обстоятельств. Мы, например, не учли того, что закон Ома в случае высокочастотных полей может нарушаться.
Вернемся к уравнению движения и учтем
dv
mqEmv
eeee
dt
инерцию электронов:
. (6.3)
После умножения на соответствующий множитель отсюда можно получить
2
qn
ee
e
. (6.4)
dj
dt m
jE
e
Это уравнение следует рассматривать как уравнение, заменяющее
закон Ома для низкочастотного случая (своеобразный обобщенный
закон Ома).
97
Продифференцируем уравнение непрерывности по времени и
p
p
учтем обобщенный закон Ома. Тогда получим
2
e
2
t
2
qn
e
tm
0
e
0
. (6.5)
Решение такого типа уравнения, как известно, представляет собой затухающие колебания:
e
t
(, ) (,0) cos( ), 4,
rt r e t
2
p
2
qn
ee
m
0
,
e
22
pe
(6.6)
где
– плазменная частота. Можно заметить, что /
pe
.
Таким образом, релаксация нескомпенсированного заряда в проводящей среде характеризуется временными масштабами
2/
. Знание этих величин позволяет оценить границы применимо-
,
e
и
1/
сти тех или иных приближений, в частности закона Ома, введенного
для стационарного случая.
Мы не учли, конечно, еще один важный процесс, происходящий
при релаксации заряда, – процесс диффузии зарядов. Но это интереса в
нашем курсе не представляет, и мы его здесь рассматривать не будем.
6.2. ПРОНИКНОВЕНИЕ ПЕРЕМЕННОГО
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ПРОВОДНИК
Как мы хорошо знаем из электростатики, электрическое поле внутри проводника равно нулю, т. е. при помещении проводника во внеш-
нее статическое поле
E
это поле не проникает в проводник в том
внеш
смысле, что после окончания всех переходных процессов внутри проводника напряженность электрического поля становится равной нулю.
Ситуация меняется в случае переменного электрического поля.
Пусть внешнее поле является переменным, например, гармоническим с
частотой
ностный заряд, численно равный
. Это поле индуцирует на поверхности проводника поверх-
DE
внеш 0 внеш
. Изменение этого
98
()jd E dt
заряда характеризует переменный ток в проводнике
0 внеш
Если частота колебаний не слишком велика, то электрическое поле
внутри проводника можно рассчитать по формуле
Ej
внут
dt
EE
;
внут внеш
dE
0 внеш
/
0
. (6.7)
Можно оценить величину «ослабления» внешнего поля при проникновении в проводник:
E
внут
. (6.8)
E
внеш
o
Коэффициент ослабления стремится к нулю при переходе к стационарному случаю (0)
проводимости материала (0)
, а в нестационарном случае при идеальной
– к бесконечности.
6.3. ТОК СМЕЩЕНИЯ
Известно, что переменный ток протекает через конденсаторы. Рассмотрим идеальный конденсатор в виде двух пластин, отделенных вакуумом. В каком смысле переменный ток протекает через такой конденсатор? Ясно, что ток проводимости, как направленное движение
зарядов, не может течь через вакуум (мы не допускаем возможность
эмиссии зарядов из пластин).
Мы можем
, конечно, считать, что когда заряд на пластинах изменяется, электрическое поле между пластинами становится переменным и,
проникнув в проводник, вызывает ток в проводнике. Однако мы хотим
рассмотреть данный вопрос в более общем плане.
Закон сохранения заряда утверждает, что
.
jdSdt
dQ
. (6.9)
В нашем случае это означает простой факт: если заряд пластины стал
убывать, то это происходит оттого, что заряд выходит из объема наружу – пересекает замкнутую поверхность по электрическому проводу.
Примем, что теорема о потоке вектора электрической индукции
справедлива и для нестационарного случая. Это вполне допустимо: мы
99
полагаем, что в связи с нестационарностью процессов никаких новых
D
источников истокового типа не появилось, по-прежнему такими источниками являются лишь те же электрические заряды:
Продифференцируем это уравнение и сложим с предыдущим. Тогда
мы получим результат
Этим соотношением вводится представление о токе смещения
ние для случая переменного тока в конденсаторе означает, что в объем,
ограниченный замкнутой поверхностью, охватывающей одну из пластин конденсатора, входит ток смещения (из вакуума в пластину), а
численно равный ему ток проводимости выходит из объема (по проводу) наружу. В
смещения) через замкнутую поверхность оказывается равным нулю.
Локальная форма соотношения (6.11):
потоке электрического поля (найденного для стационарного случая)
для нестационарного случая вполне достаточно, чтобы представление
о токе смещения появилось с неизбежностью. Исторически ток смещения был введен Максвеллом. Поэтому ему удалось в замкнутой форме
записать все «правильные» уравнения для произвольного электромагнитного
тинных процессов. Однако в средах термин Максвелла оказывается
достаточно разумным. Как известно, в диэлектрической среде могут
одновременно существовать свободные и связанные заряды:
, который может «протекать» и в вакууме. Данное уравне-
см
/jDt
итоге поток полного тока (тока проводимости и тока
Закона сохранения заряда и гипотезы о справедливости теоремы о
поля.
Термин «ток смещения» для вакуума кажется не отражающим ис-
dS Q
jdS
div 0
j
. (6.10)
D
t
0
. (6.11)
D
t
. (6.12)
div
100
P
. (6.13)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]