Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
ный
A
и т. д.) отличается от предыдущего малым множителем ( /rr).
l
В этом отношении мультипольные разложения для ограниченной системы токов и зарядов подобны. Если q – характерный заряд системы,
v – характерная скорость зарядов, а – характерный размер системы,
то для l-польного электрического и магнитного потенциалов имеем
оценку
l
qa
4
0
l
A
,
r
qv
0
l
4
l
a
. (3.28)
r
3.5. МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ШАР
В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Пусть все пространство занято однородным электрическим полем
Е
0
Внесем в это поле незаряженный металлический шар радиусом a. Каким образом изменится электрическое поле в окрестности шара?
Для ответа на этот вопрос мы должны решить граничную задачу
Дирихле
|0
0
,
ra
. (3.29)
Граничное условие фиксирует тот факт, что металлическая поверхность является эквипотенциальной, потенциал которой принят нами
равным нулю.
Перепишем уравнение Лапласа в сферической системе координат:
11
2
r
22
rr
rr
1
22 2
sin
r
sin
2
sin
(, , ) 0
r
. (3.30)
.
Граничное условие на поверхности шара дополним условием на бесконечности (это вторая граница в задаче), которое представляет собой
условие невозмущенности удаленных от шара областей поля (рис. 3.3):
51
|cos
r
Er
. (3.31)
0
R
Рис. 3.3
На обсуждаемом примере можно проиллюстрировать применение
широко используемого общего метода решения многомерных дифференциальных уравнений – метода разделения переменных.
Говорят, что переменные разделяются, если решение задачи можно
представить в виде произведения функций
(, , ) () () ( )rRr . (3.32)
Полярную ось направим вдоль невозмущенного поля
Е
. Из сим-
0
метрии задачи видно, что потенциал не зависит от угла . Поэтому
можно положить () 1 .
Подставим решение в виде (3.32) в уравнение Пуассона и поделим
все выражение на R
. Тогда получим
2
() (sin)
rR
R
sin
C
, (3.33)
где штрих означает дифференцирование по своему аргументу. Поскольку левая часть содержит только функции от r, а правая часть –
функции от , величина С может быть только константой.
Уравнение для угловой части можно даже и не решать. Действительно, на большом удалении от шара электрическое поле
совпадает c
невозмущенным полем (граничное условие на бесконечности), и непосредственно из вида потенциала на бесконечности следует, что угловая
часть имеет вид
() cos . (3.34)
Решение для радиальной части будем искать в виде степенной
k
()
функции
rr
. Подстановка такой функции дает уравнение для
определения показателя степени k:
52
B
E
p
E
2
20kk
. (3.35)
Отсюда находим значения
1
k
,
1
2
k
. Таким образом, радиальная
2
часть имеет вид
()
Rr Ar
. (3.36)
r
Постоянные А и В определяются из граничных условий. Окончательно
для электрического потенциала получаем выражение
3
cos
Ea
rEr
(, ) cos
0
0
r
. (3.37)
2
Из вида потенциала следует, что полное поле является суперпози-
цией внешнего однородного поля
и дипольного поля наведенных
0
на шаре зарядов (сравните с мультипольным разложением потенциала
системы зарядов). Причем электрический дипольный момент, приобретенный металлическим шаром, равен
3
43
e
aE V E
00 00
. (3.38)
Как видно из этого выражения, наведенный дипольный момент определяется объемом шара V и напряженностью внешнего однородного
поля
.
0
3.6. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ СЛОЯ ЗАРЯДОВ
В ПЛАЗМЕ. ДЕБАЕВСКИЙ РАДИУС
Рассмотрим слой зарядов (в плоскости х = 0) в плотной квазинейтральной плазме. Каждый из типов заряда имеет свое распределение,
которое мы будем считать больцмановским:
Здесь
/
qkT
()
nr ne
n – средняя плотность числа положительных и отрицательных
0
0
()
nr ne
,
0
. (3.39)
/
qkT
частиц; k – постоянная Больцмана; T – температура плазмы по абсолютной шкале.
В связи с тем, что распределения зависят от распределения электрического потенциала, уравнение Пуассона
53
F
()/qn n
(3.40)
0
оказывается нелинейным. Для упрощения уравнения будем считать
отклонение от равновесия малым. Это имеет место при выполнении
неравенства qkT . При этом удается провести линеаризацию урав-
нения Пуассона
2
2nq
. (3.41)
0
kT
0
Рассмотрим одномерный случай. Решение уравнения подобного
типа хорошо известно:
kT
||/
x
() (0)
xe
D
,
0
D
2
. (3.42)
2
nq
0
Как видно из этого решения, электрический потенциал существенно
убывает (в е раз) на расстоянии порядка
. Это расстояние называют
D
радиусом Дебая. Полученный параметр является одним из важнейших
в физике плазмы.
4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СРЕДЕ
4.1. МОЛЕКУЛЫ ВЕЩЕСТВА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Атомы, молекулы или ионы вещества могут обладать отличным от
нуля дипольным моментом, если центры положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Когда подобные структуры попадают в
электрическое поле, то они могут перемещаться и поворачиваться.
Действительно, рассмотрим поведение структур типа ионов в слабонеоднородном электрическом поле. Пусть ион состоит из зарядов
ложение зарядов задается радиусами-векторами
r
, отсчитываемыми
i
q
, по-
i
от некоторого начала координат в окрестности иона. Сила, действующая на ион, тогда будет
54
() (0) ( )()| ( )
qE r qE q r Er QE p E
ii i ii r e
0
, (4.1)
Qq
pqr
M
F
p
(проведено разложение поля в окрестности начала координат). Электрическое поле здесь берется в начале координат. В случае молекул
0Q . На ион или молекулу действует также и момент силы
Таким образом, электрическое поле перемещает и поворачивает молекулы.
Если дипольный момент молекулы постоянен (т. е. внешнее поле
практически не деформирует распределение заряда в молекуле), то силу, действующую на молекулу (такие молекулы называются полярными) можно записать как
Следовательно, величину
можно интерпретировать как потенциальную энергию полярной молекулы во внешнем поле. Полярными являются, например, молекулы
O, CO, N2O, SO2 и т. д.
H
2
Мы знаем, что незаряженный металлический шар при помещении
во внешнее электрическое поле приобретает наведенный электрический момент, пропорциональный объему шара и внешнему полю. Это
обусловлено перераспределением заряда внутри шара. Очевидно, следует ожидать, что в молекуле, где центры положительного и отрицательного зарядов первоначально совпадают, при помещении
внешнее электрическое поле произойдет сходное перераспределение
зарядов (деформация распределения). Так оно и происходит, и в результате приобретенный дипольный момент неполярной молекулы
пропорционален объему молекулы и внешнему полю (а – характерный
линейный размер молекулы)
qrEr qrE pE
ii i ii e
,
i
eii
() (0) [ ]
pE
e
UpE
ee
3
aE
e
.
. (4.2)
. (4.3)
(4.4)
ее во
. (4.5)
Поэтому для неполярной молекулы потенциальной энергией во внешнем электрическом поле следует считать энергию
55
F
M
UpE
1
ee
2
. (4.6)
Неполярными являются, например, молекулы O
Из принципа минимума энергии следует, что молекулы (как полярные, так и неполярные) во внешнем электрическом поле будут стремиться к тому, чтобы их дипольные моменты были параллельны полю.
Таким образом, можно сказать, что электрическое поле в целом оказывает ориентирующее действие на молекулы вещества.
4.2. МОЛЕКУЛЫ ВЕЩЕСТВА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Атомы, молекулы или ионы вещества испытывают на себе воздействие внешнего магнитного поля, даже если они не движутся. Это происходит оттого, что составляющие их заряженные частицы находятся в
непрерывном движении, так что можно говорить о токах в них. В силу
ограниченности размеров молекул эти токи замкнуты и удобно говорить
(с точки зрения взаимодействия с полем) о магнитных моментах
молекул. Кроме того, как уже отмечалось, заряженные элементарные
частицы обладают магнитным моментом, связанным со спиновым
движением.
Как и в случае реакции на электрическое поле, с точки зрения реакции на воздействие внешнего магнитного поля молекулы можно
условно разделить на два класса:
ным моментом в отсутствие поля и не обладающие им. В случае воздействия электрического поля мы говорили о полярных и неполярных
молекулах, которые ведут себя как твердые и упругие электрические
диполи. В случае воздействия магнитного поля можно было бы называть аналогичные молекулы магнитно-полярными и магнитно
ными молекулами. Магнитные вещества, состоящие из магнитнополярных и магнитно-неполярных молекул, называются соответственно
парамагнитными и диамагнитными магнетиками. Парамагнетиками являются, например, алюминий, натрий, кислород. К диамагнитным веществам относятся медь, азот, вода, инертные газы, плазма.
Внешнее магнитное поле, как и электрическое поле в целом, оказывает ориентирующее действие.
магнитное поле действует силой Лоренца и моментом сил
[]
jB dV
на молекулы, обладающие магнит-
На молекулу как на систему токов
, [ [ ]]
, H2, N2, CO2, CH4 и т. д.
2
rjBdV
. (4.7)
-неполяр-
56
Рассмотрим сначала вопрос о моменте сил. Раскрыв двойное век-
M
M
p
p
B
F
торное произведение, получим
Второй интеграл равен
Первый интеграл имеет вид
С интегралом такого типа мы уже встречались (см. раздел 3.4). Используя те же приемы, мы получим результат:
[]
Найдем теперь энергию магнитного диполя во внешнем магнитном
поле. Для этого вычислим работу, которую надо совершить для поворота диполя. Считая магнитный момент молекулы постоянным (магнитно-полярная молекула), находим
() (, ) 0
BrjdV B I rdr
() (,)
jrBdV I r Bdr
UMdpB
mm
() ()
jrBdV BrjdV
TT
TT
pB
,
m
m
/2
0
. (4.8)
1
[]
2
. (4.9)
. (4.10)
rj dV
. (4.11)
. (4.12)
Потенциальная энергия отсчитывается от состояния угла
торами
щую на молекулу в слабо неоднородном магнитном поле
(Этот же результат может быть получен непосредственно из силы
Лоренца.)
магнитный диполи во внешних полях поступательное движение полярных и магнитно-полярных молекул в соответствующих полях аналогично. Что касается вращательного движения молекул, то между поведением полярной молекулы в электрическом
57
В силу одинакового характера действия сил на электрический и
, равного /2
и
m
. Теперь легко найти силу, действую-
UpB
mm
. (4.13)
поле и поведением
между век-
магнитно-полярной молекулы или атома в магнитном поле имеется
M
p
g
p
B
L
g
глубокое различие.
Действительно, рассмотрим вращательное движение такого атома в
однородном магнитном поле (рис. 4.1):
dL
dt
pB
. (4.14)
m
Как уже отмечалось, магнитный момент пропорционален механическому моменту
gL
m
, (4.15)
где g – гиромагнитное отношение для всего атома или молекулы.
С учетом этой связи перепишем уравнение вращательного движения
dL
[]
BL
. (4.16)
dt
Сравним это уравнение с уравнением, описывающим изменение радиуса- вектора при равномерном вращении частицы
dr
. (4.17)
r
[]
(/)vdrdt
:
dt
Видно, что эти два уравнения совпадают по виду. Следовательно, имеет место прецессия: век-
тор
L
, а значит, и вектор
вектора индукции магнитного поля
конус (точно так же, как радиус-вектор
вершает вращательное движение вокруг вектора
угловой скорости
, описывая конус). Это яв-
вращаются вокруг
m
, описывая
r
со-
ление называют ларморовской прецессией атома
в магнитном поле.
Угловая скорость прецессии магнитного
момента (ларморовская частота), как видно из
Рис. 4.1
сопоставляемых уравнений,
B
. (4.18)
Если гиромагнитное отношение атома или молекулы отрицательно
(как для электрона при его орбитальном движении), то вектор магнит-
58
ного момента
p
L
B
импульса
совпадает с направлением вектора магнитной индукции
направлен против вектора механического момента
m
L
, а направление вектора угловой скорости прецессии
.
Строго говоря, полученный закон прецессии справедлив для сложного атома только в достаточно слабом магнитном поле, когда угловая
скорость прецессии атома много меньше скорости внутренней прецессии сложной системы, в которой разные части характеризуются своими величинами гиромагнитного отношения. В сильном магнитном поле части системы прецессируют независимо, и в
этом смысле система
оказывается разрушенной.
Явление прецессии широко используется для измерения магнитных
моментов молекул, атомов, ядер, элементарных частиц.
4.3. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКА
ВЕКТОР ПОЛЯРИЗАЦИИ
Когда вещество помещают во внешнее электрическое поле, то оно
в той или иной степени поляризуется. Иначе говоря, вещество приобретает макроскопический дипольный момент, так что каждая единица
его объема начинает обладать дипольным моментом P
1
Pp
V
. (4.19)
ei
V
:
Эта величина называется вектором поляризации, и она является количественной характеристикой поляризованности вещества.
Диэлектрические (плохо проводящие) вещества, состоящие из полярных и неполярных молекул, называются соответственно полярными и неполярными. Механизмы поляризации в разных типах диэлектриков различны.
При помещении металлического вещества во внешнее электрическое поле происходит, как известно,
такое перераспределение свободных зарядов, что внутри металла внешнее поле полностью компенсируется. В отличие от этого при помещении неполярного диэлектрика
во внешнее поле распределение зарядов в молекулах диэлектрика деформируется, появляется наведенный дипольный момент молекул,
пропорциональный объему молекулы и полю в диэлектрике вблизи
молекулы:
59
p
p
p
p
3
,
aE
e
или
E
. (4.20)
0e
Здесь введена характеристика поляризуемости молекулы
– молеку-
лярная диэлектрическая восприимчивость.
Поляризованность неполярного диэлектрика характеризуется век-
тором поляризации
Pnp
,
æ n
где
– диэлектрическая восприимчивость вещества; n – кон-
или 0æPE
e
, (4.21)
центрация молекул.
Если диэлектрик полярный, то основным механизмом поляризации
является ориентация дипольных моментов молекул и ионов во внешнем электрическом поле. В отсутствие внешнего поля дипольный момент единицы объема равен нулю:
Pnp
0
e
. (4.22)
Здесь < > – знак статистического усреднения по возможным различным ориентациям дипольных моментов молекул; n – концентрация
молекул;
– величина дипольного момента отдельной молекулы.
e
Равенство (4.22) имеет место из-за случайных ориентаций собственных
дипольных моментов молекул за счет их теплового движения.
Внешнее электрическое поле ориентирует дипольные моменты, в
то время как тепловое движение – дезориентирует. Примем, что моменты молекул подчиняются распределению Больцмана с потенциаль-
ной энергией () cos
UpEpE
ee
Pnpe
ze
cos 1 cos cos cos ...
np
e
. Тогда
/
UkT
cos
23
23
26
np
e
310
3
...
,
E
e
.
(4.23)
kT
(Мы разложили экспоненту в ряд и провели усреднение по телесному
углу.)
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]