Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Электромагнитное поле. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
7. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНОЕ
R
R
x
x
R
x

ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
7.1. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Когда мы описываем процессы, происходящие в некоторой точке нашего трехмерного пространства, мы вводим радиус-вектор
точки:
где {}
e
– орты; { }
  
11 2 2 3 3
– координаты радиуса-вектора.
, (7.1)

ex e x e x e x
(Мы принимаем следующее соглашение об индексах: по повторя­ющимся дважды индексам (немые индексы) производится суммирова­ние; греческие индексы принимают три значения 1, 2, 3; латинские ин­дексы – четыре значения 1, 2, 3, 4.)
Если выбранная система координат ортогональна, то
Можно ввести другую ортогональную систему координат с ортами
{}e
, произведя геометрическое преобразование координат (для слу-
ee

. (7.2)
чая совпадения начал координат обоих систем):
этой
Gx
. (7.3)
 
Элементы матрицы преобразования могут быть вычислены по формуле
Gee
Инвариантом рассматриваемого геометрического преобразования является длина радиуса-вектора ||||
xGGxx


. (7.4)
R
. (7.5)
Следовательно,
121
GG
 
. (7.6)
Произведения различных строк или различных столбцов матрицы пре-
образования равны нулю (ортогональность), а произведения строк или столбцов самих на себя равны единице (нормированность). Говорят, что такое преобразование ортогонально.
Пример ортогонального преобразования – преобразование поворо­та вокруг координатной оси. Пусть исходная система координат декар­това. Тогда повороту системы координат на угол
вокруг оси z соот-
ветствует матрица преобразования
 
cos sin 0
 
G
sin cos 0
 
 
001

. (7.7)
Это простейший пример ортогонального преобразования. Видно, что каждая строка и каждый столбец образуют ортогональные друг другу векторы единичной длины.
Вектор
A
– это совокупность трех величин {}A, которые при пе-
реходе к другой системе координат преобразуются по тому же закону, что и координаты
AGA
. (7.8)
 
Правила суммирования (суперпозиции) векторов являются неотъ­емлемой частью определения векторов.
Ортогональность преобразования обеспечивает сохранение модуля вектора ||||

AA
. Длина вектора – это инвариант ортогонального
преобразования.
7.2. ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Четырехмерное пространство является физическим понятием. Оно фиксирует физическую систему отсчета, т. е. систему координат и ча­сы, что позволяет изображать физическое событие (то, что происходит где-то и когда-то) точкой. Четвертая координата может быть введена по-разному, в зависимости от того, какой математический аппарат удобно использовать. Но в любом случае
четвертая координата связана с часами системы отсчета. Нам удобно считать четвертую координату мнимой
122
R
R

x
R
x
R

s
– четырехрадиус-вектор; с – величина, равная скорости света в
где вакууме. Если речь идет о движущейся частице, то совокупность собы­тий, происходящих с ней, полностью отображается в виде некоторой «линии» в четырехмерном пространстве-времени. Эта линия называет­ся мировой линией частицы. Это не траектория частицы, это кривая в четырехмерном пространстве, которую в общем случае невозможно полно изобразить.
Переход от одной инерциальной системы к другой описывается преобразованиями Лоренца координат и времени (физическое преоб­разование системы отсчета), которые можно записать в следующей форме:
,
Rx

,
4

ex e x e x e x  
11 22 33 44
,
4
, (7.9)
 
Здесь введены стандартные обозначения: /Vc
Это преобразование обладает всеми свойствами ортогонального преобразования для четырехмерного случая.
Квадрат длины четырехрадиуса-вектора
является инвариантом преобразования Лоренца
inv
Инвариантом является также модуль разности двух четырехрадиусов­векторов или приращение четырехрадиуса-вектора
Этот факт называют инвариантностью событиями.
222222
222222
123

L
  
xx x x x ct
xx xx
kk kk
Lx
kknn

0100
0010
i

123kk
, (7.10)
00
00 1
i
. (7.11)
,
. (7.13)
invxx xcts 
интервала
2
1. 
(7.12)
. (7.14)
между двумя
123
Приведенные соотношения не есть результат математических
A

B

упражнений. Это математическая фиксация результатов физических экспериментов и физических теоретических размышлений по осмыс­лению экспериментальных фактов. В частности, инвариантность интервала между событиями есть фиксация факта инвариантности скорости распространения электромагнитных волн в свободном про­странстве (вакууме). Уравнения Максвелла в скрытом виде уже содер­жат этот факт
.
Четырехвекторы могут быть введены аналогичным трехмерному случаю образом. Неотъемлемой частью определения четырехвекторов является наделение их некоторыми свойствами. Помимо правил сло­жения векторов, в определение четырехвекторов входят правила их преобразования: они должны преобразовываться (при переходе в дру­гую систему отсчета) по тому же закону, что и четырехрадиус-вектор. Следствием такого определения
является инвариантность длины четы-
рехвектора и длины его разности или приращения.
Всякая ли четверка величин составляет четырехвектор? Чтобы узнать, является ли та или иная четверка величин четырехвектором, надо выяснить, как они преобразуются при переходе в другую инерци­альную систему отсчета и как ведет себя при этом модуль, образован­ный по правилу
Итак, если
Пусть
, введенному для настоящих четырехвекторов.
– четырехвектор, то он обладает свойствами
ALA
kknn
, inv
AA AA
kk kk
. (7.15)
– другой четырехвектор. Определим скалярное произве-
дение двух четырехвекторов точно таким же образом, что и для трех­мерных векторов. Тогда скалярное произведение AB
будет инвари-
антом преобразования Лоренца. Действительно,
inv

AB L A L B A B A B
kk kmmknn mnmn mm
 . (7.16)
Можно ввести более сложные объекты. Шестнадцать величин
A могут образовать новый объект – тензор (четырехтензор), если
{}
mn
они при переходе к другой инерциальной системе преобразуются по закону
124
ALLA
mn mp nq pq
. (7.17)
Скаляр можно рассматривать как тензор нулевого порядка или ран-
x
xx
x
x
га. Четырехвектор – это тензор первого ранга.
В четырехмерном пространстве можно определить дифференци­альные операторы, подобные трехмерным.
1.
Четырехградиент скалярной функции




k

,,,

xx xict
123
. (7.18)
Этот оператор обладает свойствами четырехвекторов, так как преобра­зуется по тому же закону, что и четырехрадиус-вектор
Четырехдивергенция четырехвектора
2.

AA
k
k

L
kn
kn


AA A
12 4


xx xict
  
123

. (7.19)
3
. (7.20)
Это скаляр. Это инвариант.
3.
Четырехротор четырехвектора
AA

nk

kn

. (7.21)
x
Это антисимметричный тензор. Распишем подобный тензор позже.
Четырехлапласиан
4.
22

xx

k

 

22222

xx xct
k
 
123

. (7.22)
Четырехлапласиан – это просто оператор Даламбера .
7.3. ПРИМЕРЫ ЧЕТЫРЕХВЕКТОРОВ
1. Четырехскорость. Если ввести в четырехмерном пространстве
/
величину величина
dx dt , то мы не получим четырехвектор. Дело в том, что
k
dx – действительно четырехвектор, однако скаляр dt (время
k
в лабораторной системе отсчета) не является инвариантом преобразо-
125
вания Лоренца. Поэтому четырехскорость следует вводить иначе, а
pmu
именно

dx
ud
k
k
;
u
vic
 

vc vc
1/ 1/

,
22 22
. (7.23)
Скаляр
/1 /ddt vc – собственное время – величина инвари-
22
антная, следовательно, мы получаем четырехвектор. Квадрат четырех­скорости – инвариант
uu c
kk
2

inv
. (7.24)
Скорость света – инвариант.
Четырехускорение. Четырехускорение вводится аналогичным
2.
образом:
du
wd
k
k
. (7.25)
Скалярное произведение четырехскорости и четырехускорения – инва­риант
0inv
wu . (7.26)
kk
Четырехмерные скорость и ускорение всегда ортогональны друг другу – результат необычный.
Четырехимпульс
3.
p
22
vc
1/
,
, (7.27)
c
kk
;
p – нерелятивистский импульс;


ui
 
– эйнштейновская энергия частицы.
Квадрат четырехимпульса – инвариант
pp mc
kk
22
inv
. (7.28)
Масса – инвариант.
4.
Четырехток
(, )jjic
126
. (7.29)
5. Четырехпотенциал

Четырехдивергенция четырехтока
7.

,AAi
 
. (7.30)
c
j
k

div 0 inv
xt

k
j
. (7.31)
Это уравнение непрерывности – закон сохранения заряда.
Четырехдивергенция четырехпотенциала
6.
A
k
div 0 inv
 

xt
k
1
A

2
c
. (7.32)
Это лоренцева калибровка потенциалов поля.
K
Отметим следующий момент. Пусть в системе отсчета покоится и имеет плотность
123
Из преобразования Лоренца четырехтока j
v
j
1
0
22
1/
vc
0

;
,
2
. Тогда
0jj j
0j
,
3
jic
. (7.33)
40
находим
0j
,
j
4
1/
ic
0
22
vc
заряд
. (7.34)
Видно, что четырехток может быть записан вполне естественным об­разом в виде произведения собственной плотности заряда и четырех­скорости:
ju
Заметим также, что в лабораторной системе отсчета
. (7.35)
0
 
0
2
1
.
Это есть следствие сокращения продольных размеров. Заряды в элементарных объемах равны: dq dV и
2
1dV dV, а значит,
0
dq dV
, но
000
invdq dq . (7.36)
0
Таким образом, заряд – величина действительно инвариантная.
127
На этом мы закончим беглый обзор наиболее важных четырехвек-
xx
B
E
торов и перейдем собственно к релятивистски-инвариантной форму­лировке электродинамики.
7.4. ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Принцип относительности гласит, что законы природы имеют оди­наковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, если какое-либо соотношение претендует на роль физического закона, то оно должно быть инвариантным по отношению к преобразованию Лоренца. Это свойство называют ковариантностью.
Проверять непосредственно ковариантность того или иного соот­ношения – занятие иногда не
совсем простое. Однако есть и иной путь: надо попробовать представить соотношение иначе – в тензорной фор­ме. Если это удалось сделать, то в новом представлении мы будем иметь некоторое тензорное равенство.
Тензорное равенство ковариантно всегда.
Итак, если возможна тензорная запись уравнения, то это уравнение
является ковариантным и правильным физическим законом.
Вначале рассмотрим уравнения для потенциалов при их лоренце-
вой калибровке:
0
,
/
  . (7.37)
0
Aj

Если мы введем четырехпотенциал и четырехток, то легко перепишем уравнения в четырехмерной форме:
Aj
 . (7.38)
0kk
Это уравнение имеет вид тензорного равенства – в левой и правой ча­сти четырехвеличины. Следовательно, уравнения для потенциалов правильные. Нам удалось записать их в ковариантной форме.
Мы видели, что четырехдивергенция четырехпотенциала представ­ляет собой условие калибровки Лоренца. Посмотрим, что такое четы­рехротор четырехпотенциала
AA
F
kn
nk

kn
. (7.39)
Убеждаемся непосредственно, что
A

A

xx

A
,


xxc
4
A
i
4
. (7.40)
128
Таким образом, четырехротор четырехпотенциала имеет вид анти-
B
B
B
F
BD
EH

симметричного тензора:

0

BE

zy x
 

zxy

F
   
iii

ccc


yx z
EEE
xyz
BE
0
BE
0
i
c
i
c
. (7.41)
i
c
0
Этот тензор называется тензором электромагнитного поля.
Введем новый тензор (дуальный тензор электромагнитного поля), получаемый из тензора
    
F
     
путем замены:
kn
,
0
DDH
DD H
yx z
iii
HHH

ccc
DDH
zyx
zxy
0
xyz
. (7.42)
i
c i
c
. (7.43)
i
0
c
0
Непосредственной проверкой можно убедиться, что одна пара уравнений Максвелла
rotBE
, div 0B
(7.44)
t
сводится к тензорному уравнению
F
129
kn
0
x
, (7.45)
n
а другая пара уравнений Максвелла

F
rotDHj

, divD (7.46)
t
сводится к тензорному уравнению
F
kn

x
n
j
.
(7.47)
0
k
Если ввести, наряду с электрическими зарядами и электрическими токами, и магнитные заряды и магнитные токи, то получим полную симметрию тензорных уравнений:
F
kn
x
n

j
0
k
F
e
,
kn

x
n
m
j
. (7.48)
k
0
Таким образом, уравнения Максвелла допускают ковариантную формулировку. Электромагнитное поле – это физический объект, опи­сываемый тензором электромагнитного поля. Оно порождается четы­рехтоками.
Преобразования электромагнитного поля даются правилами преоб­разования тензоров:
LLF
mn mp nq pq
(7.49)
и, конечно, приводят к известным прежним результатам.
Кратко о магнитном заряде. Понятие магнитного заряда (монополя) было введено еще в 1931 году Дираком. Из квантово-механических соображений найдено, что если такой объект существует, то он кван­тован, как и электрический заряд. Монополь Дирака – сильно ионизу­ющая частица: при движении его магнитное поле
порождает сильное электрическое поле, которое и вызывает ионизацию среды. До настоя­щего времени магнитные заряды не обнаружены. Однако поиски мо­нополя Дирака продолжаются.
7.5. ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Инварианты электромагнитного поля, которые мы уже приводили, представляют собой скаляры, получаемые из тензоров электромагнит­ного поля:
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности