Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
В предыдущем разделе мы вводили магнитную восприимчивость
JH
BH
D
E
B
D
D
D
E
B
B
соотношением
/JB
. Для диамагнетиков и парамагнетиков маг-
0
нитная восприимчивость очень мала и замена магнитной проницаемости на единицу в этом соотношении несущественна.
В общем случае связи величин носят тензорный характер:
iijj
j
,
В каком смысле введенные новые векторные поля (
0iijj
j
. (4.62)
и H) явля-
ются вспомогательными, т. е. как бы ненастоящими? Дело в том, что в
и
ряде случаев эти поля не похожи на настоящие поля –
(именно
эти поля определяют силовое воздействие электромагнитного поля на
заряды).
Действительно, рассмотрим неоднородные среды. Вычислим ротор
индукции электрического поля
с учетом факта
rot 0 :E
rot rot( ) grad , 0DE E
00
. (4.63)
Что означает этот результат? Это значит, что в стационарном, но неоднородном электромагнитном поле у вектора
ники, а силовые линии
всем не похоже на поведение вектора напряженности электрического
поля
, которое в стационарном случае является потенциальным
могут иметь замкнутый характер. Это со-
есть вихревые источ-
полем.
Вычислим теперь дивергенцию вектора напряженности магнитного
поля H
с учетом факта div 0 :B
div div grad (1/ ) 0HB B
1
0
0
. (4.64)
Поле H
совсем не похоже на магнитное поле
тат означает, что у векторного поля H
(в отличие от поля
, так как этот резуль-
) есть ис-
точники истокового типа.
71
4.8. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ
D
DE
B
F
E
D
B
F
СТАТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В СРЕДАХ
Выпишем систему уравнений статического электромагнитного поля в средах:
divD
Мы записали уравнения в дифференциальной и интегральной форме и дополнили материальные уравнения еще одни уравнением – законом Ома (в дифференциальной форме). Здесь
мость среды.
Приведенная система уравнений позволяет найти электромагнитное
поле по заданным распределениям заряда и тока, если свойства среды
описаны с помощью параметров: электрическая проницаемость
трическая проводимость
При наличии границ раздела различных сред решения, полученные
в соседних средах, должны быть определенным образом согласованы
(сшиты). Эти граничные условия не сложно найти из уравнений поля в
интегральной форме, которые связывают поток и циркуляцию поля с
возможными источниками истокового или вихревого типа (в нашем
статическом случае – с зарядами и токами).
Рассмотрим границу раздела двух сред (рис. 4.3). Выберем малый
замкнутый контур таким образом, чтобы часть этого контура проходила в первой среде, а другая часть – во второй среде. Малую замкнутую
поверхность выберем таким же образом: чтобы часть поверхности
находилась в первой среде, а вторая часть – во второй среде.
Верхняя и нижняя поверхности
нормали к ним направлены перпендикулярно к поверхности границы
раздела. Запишем циркуляцию произвольной характеристики поля
(неважно какой:
ds dV
, div 0B
, 0Bds
4.9. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
,
0
, магнитная проницаемость .
,
, ,H...) по избранному контуру:
dl Fdl Fdl Fdl Fdl
1234
, rot 0E , rotHj
, 0Edl
,
H
0
параллельны границе раздела, а
, Hdl jds
, jE
– удельная проводи-
.
. (4.66)
,
, (4.65)
, элек-
72
Рис. 4.3
Устремим высоту контура h к нулю. Этим мы добиваемся двух целей. Во-первых, получаем возможность пренебречь вкладом интегралов по участкам 2 и 4 в циркуляцию векторного поля. Во-вторых, в
интегралах по участкам 1 и 3 векторы поля в первой и второй среде
берутся непосредственно у самой границы, и мы можем проследить за
изменением поля при переходе из одной среды в другую. Само вычисление циркуляции элементарно:
У замкнутой поверхности мы также высоту h устремим к нулю исходя из аналогичных соображений. Тогда поток векторного поля запишется в виде
Теперь обратимся к уравнениям поля в интегральной форме. Пусть
рассмотренная граница раздела сред – это граница раздела двух ди-
электриков с проницаемостями
имеется также свободный электрический заряд поверхностной плотно-
стью . Так как у статического электрического поля нет источников
()Fdl F F l
12
FdS F F S
()
12
nn
и
1
. (4.67)
. (4.68)
. Пусть на границе раздела
2
73
вихревого типа, то циркуляция напряженности электрического поля
E
BB
H
равна нулю. Следовательно,
E
11
(4.69)
– при переходе из одного диэлектрика в другой тангенциальная компонента вектора напряженности электрического поля не изменяется.
бодными зарядами. В нашем случае этот поток равен свободному заряду на границе раздела сред, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности
. Следовательно,
S
DD (4.70)
12nn
– нормальная компонента вектора индукции электрического поля при
переходе из одного диэлектрика в другой терпит скачок, равный поверхностной плотности свободных зарядов на границе раздела этих
сред.
Рассмотрим теперь поведение магнитного поля при переходе из
одного магнетика (с проницаемостью
стью
) . Пусть для общности вдоль границы раздела сред протекает
2
) в другой (с проницаемо-
1
электрический ток с поверхностной плотностью i (это ток, протекающий «через единичную длину» границы). Рассмотрев циркуляцию и
поток, мы путем, аналогичным электрическому случаю, получим результат:
12nn
,
Hi
11k
, k
. (4.71)
Нормальная компонента вектора индукции магнитного поля при
переходе из одного магнетика в другой не изменяется, а тангенциальная компонента вектора напряженности магнитного поля при переходе
из одной среды в другую терпит скачок, равный поверхностной плотности тока на границе раздела этих сред.
4.10. МЕТОД ИЗОБРАЖЕНИЙ
Мы уже отмечали, что иногда можно свести задачу расчета поля с
границами раздела сред к эквивалентной задаче без границ раздела.
Рассмотрим два элементарных примера применения такого подхода.
Пусть имеется граница раздела двух диэлектриков (рис. 4.4). Пусть
в первой среде на расстоянии d от границы имеется электрический
заряд q. Какое поле создает этот
74
заряд всюду в пространстве?
Рис. 4.4
Если бы имелась лишь одна первая среда – безграничный диэлектрик, то напряженность поля была бы всюду в
раз меньше поля за-
1
данного точечного заряда в вакууме. В рассматриваемой же ситуации
на поле в первой среде влияет поляризованность как первой, так и второй среды. Аналогично и во второй среде. Очевидно, что поля в первой и второй среде будут различными.
Попробуем заменить исходную задачу на две эквивалентные
задачи. Для расчета поля в первой среде заменим вторую среду на первую –
все пространство заполняем первым диэлектриком, но под зарядом q
q
на расстоянии 2d поместим второй заряд
(«изображение» первого
заряда). Для расчета поля во второй среде все пространство заполняем диэлектриком с проницаемостью
q
заряд
.
, а заряд q заменяем на иной
2
ные условия. Рассмотрим некоторую точку А на границе раздела сред.
Удовлетворим граничным условиям поля, которые будут определены
из эквивалентных задач:
DD
12
nn
, или sin sin sin ;
EE
12
, или cos cos cos .
qq q
222
444
RRR
qq q
444
10 10 2 0
(4.72)
Из этих двух уравнений находим неизвестные заряды
2
21
21
qq
qqqq
,
2
21
. (4.73)
Таким образом, электрические поля в первой и второй среде можно
найти из эквивалентных задач (для простоты выписываем лишь фор-
75
мулы для электрических потенциалов;
,,rr r
– расстояния от соот-
ветствующих зарядов до точки измерения потенциала поля)
1
qq
44
rr
10 10
,
2
4
q
20
. (4.74)
r
Несмотря на элементарность разобранного примера, данная задача
может (в сочетании с принципом суперпозиции) принести большую
пользу при расчете плоских структур, содержащих диэлектрические
слои. Такие случаи весьма широко распространены, например, в микрополосковой технике и вообще в современной пленочной технологии
электронных компонент.
Пусть теперь имеется граница раздела двух
непроводящих магнетиков (рис. 4.5). Пусть в первой среде на расстоянии d от границы имеется прямой провод с током I. Какое поле создает этот провод с током
всюду в пространстве?
Рис. 4.5
Вам уже понятно, какие эквивалентные задачи следует ставить в
данном случае. Действуем по аналогии. Для определения поля в первой среде все пространство заполняем первым магнетиком (убираем
границу), но наряду с исходным проводом с током I размещаем под
ним на расстоянии 2d второй провод с током
I
(«изображение исходного тока»). Для расчета поля во второй среде все пространство заполняем вторым магнетиком и на месте исходного провода размещаем
провод с другим током
I
. Введенные новые токи определятся из гра-
ничных условий для полей:
BB
12
nn
,
или
II I
10 10 2 0
cos cos cos ;
22 2
RR R
(4.75)
,HH
12
или
II I
sin sin sin
222
RRR
.
76
Отсюда
E
II
21
21
IIII
,
2
1
. (4.76)
21
Можно отметить, что электрический случай переходит к магнит-
ному случаю при замене
qI , 1 /
Расчет полей в рассматриваемом случае тривиален (, ,rr r
. (4.77)
– рас-
стояния от соответствующих токов до точки измерения поля):
B
110 10
II
22
rr
,
B
220
I
. (4.78)
2
r
Не следует думать, что метод изображений можно использовать
только при наличии плоской границы раздела сред. Этот метод относительно легко применим при наличии какой-либо симметрии границы. Так, метод достаточно элементарно адаптируется для сферических
и цилиндрических границ раздела сред.
4.11. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ШАР
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
МАГНИТНЫЙ ШАР В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Рассмотрим дипольный момент, который приобретает диэлектри-
ческий шар (радиус а, диэлектрическая проницаемость
ный в диэлектрик с иной диэлектрической проницаемостью
тором внешним источником создано электрическое поле
), помещен-
1
, в ко-
2
. Будем
0
решать эту задачу так же, как и задачу о металлическом шаре во внешнем электрическом шаре.
Мы уже знаем характер общего решения уравнения Лапласа (см.
раздел 3.5)
C
77
(, ) cosrCr ,
11
(, ) cos cos
rCr
. (4.79)
22
3
2
r
Теперь надо правильно воспользоваться граничными условиями на
E
E
p
E
E
границе раздела сред, т. е. на поверхности шара
E
12
DD
,
12nn
. (4.80)
Учтем, что
1
E
r
ra
,
,/2
E
n
r
ra
. (4.81)
,0
Тогда мы найдем, что
cos
P
(, ) cos , (, ) cos ,
rEr r Er
11 2 0
e
4
2
r
0
(4.82)
где
3
2
10
12
E
,
2
4
e
3
12
aE
2
12
. (4.83)
00
Таким образом, дипольный момент шара пропорционален объему
шара, внешнему (по отношению к шару) электрическому полю и зависит также от соотношения диэлектрических проницаемостей двух
сред. Электрическое поле внутри шара однородно (как и вне шара вдали от него), величина поля зависит также от соотношения диэлектрических проницаемостей материала шара и
Поле внутри шара
Е
является суммой внешнего поля
1
связанных зарядов на поверхности шара
()
EE E
10 0
окружающей среды.
. Следовательно,
21
2
12
. (4.84)
Е
и поля
0
В зависимости от соотношения между диэлектрическими проницаемостями шара и окружающего диэлектрика это поле либо ослабляет, либо
усиливает внешнее поле внутри шара. Картина силовых линий поля в
окрестности шара различна для случаев
и
12
.
12
Рассмотрим теперь магнитный случай – магнитный шар в магнитном поле. Эта задача может быть легко решена по аналогии. Действительно, при отсутствии зарядов и токов уравнения электростатики и
магнитостатики совершенно подобны друг другу. В частности, в этом
случае магнитное поле, как и электрическое поле, является потенци-
78
альным
E
J
J
rot (0)
H
ном потенциале
и можно ввести представление о скалярном магнит-
, определяемом соотношением
m
grad
H. (4.85)
m
Решение магнитной задачи получается из решения электрической задачи при замене величин
,
m
H
, DB
,
. (4.86)
Таким образом, мы находим, что напряженность магнитного поля
внутри магнитного шара
2
2
2
. (4.87)
H
и поля,
0
. Следовательно
H
. (4.88)
0
HH
3
10
12
Это поле является суммой напряженности внешнего поля
созданного шаром в результате его намагничивания
21
=
HH
12
Запишем эту напряженность магнитного поля через векторы намагничивания материала шара и внешнего магнетика. Намагниченность J
выражается через напряженность поля Н и магнитную проницаемость
среды :
(1)JH
11 1
,
(1)JH
22 2
. (4.89)
Разность намагниченностей шара и удаленных областей внешнего
магнетика
()(12)
12 0
12 2
=
JH
2
12
. (4.90)
Из сравнения соответствующих выражений находим
J
79
H
21
=
12
. (4.91)
2
Таким образом, напряженность магнитного поля внутри шара, обу-
словленная его намагничиванием в результате погружения во внешнее
поле, определяется разностью векторов намагниченности шара и
окружающего его магнетика. Если магнитный шар находится в вакууме, то
1,
2
0J
и
2
. (4.92)
/3HJ
1
В заключение сделаем два замечания. Первое: потенциальный характер поля H
есть следствие существенной неоднородности среды:
материал шара резко отличается от окружающей среды [см. (4.64)].
Второе: как видно из формулы (4.88), при
магнитное поле
12
внутри шара ослабляется, т. е. шар экранирует свою внутреннюю часть
от внешнего магнитного поля. Вообще оболочка из магнетика с большим значением магнитной проницаемости действует как экран, не допускающий проникновения магнитного поля в пространство, ограничиваемое оболочкой (магнитная экранировка).
4.12. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В СРЕДАХ
Введем представление об энергии электромагнитного поля в сре-
дах, как и в разделе 2.7. Пусть в элементе объема dV
. Определим сначала потенциальную энергию зарядов
1
UdV
V
– объем, занятый зарядами. Преобразуем это
2
V
, (4.93)
заряд
dq dV
где – потенциал;
поля находится
выражение таким образом, чтобы оно содержало лишь характеристики
поля (воспользуемся уравнением div )D
, и распространим интегри-
рование на весь объем, занятый электрическим полем. Полученное выражение назовем энергией электрического поля в среде:
80
11 1
WDdVDdVEDdV
e
div div( ) ( )
22 2
VV V
. (4.94)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]