Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
2
E
E
E
00 0
2
2
t
2
Hj
00
grad ,
0
2
H
2
t
rot .
j
t
(6.45)
Это своеобразные «уравнения движения поля» – волновые уравнения.
Величина
1/
00
уже введена нами – это скорость распростране-
ния электромагнитных волн в однородном пространстве. Скорость
волны обычно представляют в виде
n – показатель преломления среды распространения.
где
,
/vcn
00
,
n
1/c
, (6.46)
Можно ввести оператор Даламбера
2
1
2
22
vt
(6.47)
и записать уравнения для полей в более компактной форме.
Не следует думать, что эти уравнения описывают только волновые
процессы. Рассмотрим проводящую среду (проводимость
), в которой отсутствуют избыточные заряды (их релаксация уже произошла).
Если процессы являются относительно низкочастотными, то можно
пренебречь токами смещения (это означает возможность опустить слагаемые со второй производной по времени). Учтя закон Ома в дифференциальной форме, для проводящих сред получим уравнения в виде
2
E
0
2
H
,
t
H
. (6.48)
0
t
Эти уравнения описывают диффузию поля. Если мы придерживаемся
картины силовых линий поля, то следует считать, что эти уравнения
описывают постепенное проникновение (диффузию) линий поля из
одной области среды в другую или из одной среды в другую.
Несложно получить, например, оценку глубины проникновения
переменного электромагнитного поля вглубь проводника (скинэффект). Пусть
ось
z вглубь проводника. Тогда для области проводника вблизи по-
поле является гармоническим с частотой . Направим
верхности можно записать одномерный случай уравнений (6.49)
111
2
x
E
B
dE
(
i – мнимая единица). Решение уравнения известно:
zE z
() (0)exp
xx
x
iE
2
dz
1
0
i
,
S
(6.49)
2/
S
. (6.50)
0
Величина
представляет собой характерный линейный масштаб
S
диффузии поля и определяет толщину скин-слоя. Для хорошего про-
7
водника, например меди,
10 Ом–1м–1, и при 410 с–1 толщина
скин-слоя составляет примерно 4 мм. Если частоту повысить, то эта
толщина уменьшится. В результате мы находим, что диффузия электромагнитного поля такова: достаточно высокочастотное поле не проникает вглубь проводников, поэтому эти проводники могут изготовляться полыми внутри. Что касается технического тока частотой 50 Гц,
скин-эффект в обычных проводниках
выражен слабо для этой частоты.
6.10. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ
КАЛИБРОВКА ПОТЕНЦИАЛОВ
Волновые уравнения для полей представляют собой шесть уравнений для шести скалярных величин – компонент электрического и магнитного полей. Число уравнений уменьшается до четырех, если ввести
потенциалы поля.
Магнитное поле не имеет источников истокового типа. Поэтому и в
нестационарном случае можно ввести представление о векторном потенциале с помощью определяющего соотношения
A
rot
. (6.51)
Электрическое поле имеет два типа источников, и это требует изменения представления этого поля через потенциалы. Новое представление
можно получить следующим образом:
A
EA
rot rot rot
tt
112
. (6.52)
E
B
ft
Так как rot( / ) 0EAt
grad
, то можно ввести скалярный потенциал
A
E
t
Таким образом,
grad
E
. (6.53)
A
. (6.54)
t
:
Несмотря на обозначения потенциалов, совпадающие со случаем
статического электромагнитного поля, потенциалы для нестационарного поля имеют иной смысл. Так, векторный потенциал не является
«чисто магнитным» – он определяет также и электрическое поле. Скалярный потенциал не имеет также прежнего смысла. Более того, так
как потенциалы определяются неоднозначно, то при разной их
калиб-
ровке мы получаем, вообще говоря, и разный их смысл.
Можно проверить, что калибровочными преобразованиями потенциалов (преобразованиями потенциалов, оставляющими неизменными
электрическое и магнитные поля:
, )
E
являются следую-
B
щие:
grad
AA f
,
, (6.55)
где f(r, t) – произвольная функция.
Перепишем теперь уравнения Максвелла, введя в них потенциалы
электромагнитного поля:
div divEA
2
t
rot grad div grad
BAAj
2
00 0
, (6.56)
0
2
t
A
2
t
. (6.57)
Таким образом,
2
2
AjA
00 0 00
113
2
A
2
t
div ,
t
A
0
(6.58)
grad div .
t
Поскольку в калибровочных преобразованиях функция f(r, t) про-
извольна, можно наложить на нее ограничительные условия, т. е произвести калибровку потенциалов. Обычно выбирают следующие виды
калибровки потенциалов.
1. Кулоновская калибровка
div 0A
, при этом
2
0f
. (6.59)
Уравнения для потенциалов приобретают вид
2
2
Ajg
00 0 00
2
A
2
t
,
0
rad .
(6.60)
t
Видно, что такая калибровка удобна для скалярного потенциала, однако при этом уравнение для векторного потенциала становится громоздким и зависящим от скалярного потенциала.
2. Лоренцева калибровка
div 0A
00
, при этом
t
2
f
00
2
f
0
. (6.61)
2
t
Уравнения для потенциалов приобретают вид
2
2
2
Aj
00 0
00 0
2
t
2
t
A
2
/,
.
(6.62)
Уравнения для обоих потенциалов имеют одинаковый вид волновых
уравнений.
6.11. ВЕКТОРЫ ГЕРЦА
Введенные потенциалы не являются единственными полевыми
функциями, позволяющими описать электромагнитное поле. На самом
деле таких способов множество. Приведем один из примеров. Однако
114
сначала симметризуем уравнения Максвелла, с тем чтобы они стали
B
D
J
B
полностью симметричными относительно электрического и магнитного поля. Наряду с электрическими зарядами
e
j
ками
введем в уравнения Максвелла магнитные заряды
e
и электрическими то-
m
и маг-
нитные токи
:mj
em
div , rot ,
DEj
div , rot .
me
BHj
t
(6.63)
t
Выделим электромагнитные поля и потенциалы электрического и
магнитного типа следующими определениями (для общности мы вво-
S
дим также сторонние источники в виде векторов поляризации
намагниченности
DEPP EPB H
mmS mSmm
S
):
em em
EE E DD D
HH H BB B
ee ee
EBA
mm m m
HDA
ee S eSe e
00 0
HJJ H J D E
() , .
0000
,,
em em
,,
e
A
,rot,
t
m
A
,rot,
t
,,
P и
(6.64)
Тогда для потенциалов можно найти следующие уравнения:
ee e eS
mm m mS
/, ( /),
00
/, ( /).
AjPt
AjJt
00
(6.65)
115
Теперь можно дать иное представление поля. Введем новые век-
J
торные поля – векторы Герца с помощью определений
e
e
A
00
t
,
m
A
00
m
. (6.66)
t
Принимаем кулоновскую калибровку потенциалов (6.61). Тогда
ee
div
mm
,
div
. (6.67)
При этом электромагнитные поля получают представление
ee ee e
EB
mm mm m
HD
rotrot , rot ,
rotrot , rot .
00
t
00
t
(6.68)
Уравнения для векторов Герца имеют вид
e
t
eS
1
jP
00
,
t
t
m
mS
1
jJ
0
. (6.69)
t
Введение векторов Герца может оказаться удобным для случаев отсутствия электрических и магнитных токов, когда можно считать, что
S
. (6.70)
e
S
P
0
,
m
Уравнения для полей, потенциалов, векторов Герца имеют одинаковый характер: в левых частях на эти величины действует оператор
Даламбера, в правых частях записаны их источники. Уравнения этого
типа можно назвать уравнениями Даламбера.
6.12. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ И ОПЕРЕЖАЮЩИЕ РЕШЕНИЯ
Уравнения типа Даламбера в стационарном случае переходят в
уравнения типа Пуассона, которые можно решать, например, методом
функций Грина. В свободном пространстве функция Грина для уравнения Пуассона представляет собой просто потенциал точечного заряда
116
и общее решение уравнения Пуассона имеет вид (
p
R
R
R
R
– радиус-вектор
r
точки наблюдения)
()
rdV
1()
p
4| |
0
rr
p
V
r
. (6.71)
Мы не будем показывать, как можно построить функцию Грина
для уравнения Даламбера. Ограничимся лишь некоторыми простыми
соображениями.
Пусть точечный заряд растет по величине, оставаясь на месте. Каковы возможные изменения поля? Можно ли ожидать, что уравнение
для электрического потенциала и решение имеют вид
(вектор
2
rt dV
(,)
p
rr
qpq
11()
4|| 4
задает расстояние от заряда до точки наблюдения)?
1
qt r r
() ( ),
0
qt r r
() ( )
rr R
00
pq
V
q
(6.72)
q
qt
Нет! На самом деле, когда заряд меняется, возникает не только некоторое «разбухающее» распределение потенциала, но и волна потенциала. Справедливо не уравнение Пуассона, а уравнение Даламбера
2
11
2
Всюду, за исключением точки
ставим потенциал в виде /
22
ct
rr
, где
0
, правая часть равна нулю. Пред-
q
qt r r
() ( )
. (6.73)
q
rr
. Тогда для функ-
q
ции получим уравнение (учитываем сферическую симметрию)
22
1
22
c
Rt
0
. (6.74)
Это одномерное волновое уравнение, которое имеет общее решение
вида
117
() ( /) ( /)
ftRc ftRc
. (6.75)
12
qq q
Так что
(,) ( /) ( /)
rt ftRc ftRc
. (6.76)
qq q
11
12
RR
qq
Интерпретация этого решения в одномерном случае (6.75) не представляет сложностей: это волны, распространяющиеся «вправо» и
«влево». Они совершенно равноправны. Здесь же (6.76) имеет иной
смысл: первая волна – это волна, расходящаяся от начала координат,
т. е. от заряда; вторая волна – волна, сходящаяся к началу координат,
т. е. сходящаяся из бесконечности к заряду
. По другой терминологии
первая волна представляет собой запаздывающее решение уравнения
Даламбера: волна возникает вслед за изменением возбуждающего волну заряда. Вторая волна представляет собой опережающее решение:
сначала волна приходит из бесконечности, после чего происходит изменение заряда.
В рассматриваемой простейшей ситуации опережающее решение
можно отбросить на основе абсурдного его смысла.
Однако имеются
случаи, когда без учета подобного типа решения нельзя получить правильные результаты.
Итак, при учете только запаздывающего потенциала потенциал в
данном месте определяется прошлым заряда – состоянием заряда в
момент времени
ttRctr r c
/| |/,
(,)
rt dV
p
11
4||4
00
qpq
(/)( ) ( /)
qt R c r r qt R c
V
rr R
pq
qq
(6.77)
. (6.78)
Если заряд не точечный, то решение уравнения Даламбера имеет
вид
0
V
rt
rr
p
. (6.79)
(,)
rt dV
p
1(,)
4| |
Вклад в потенциал в момент времени t происходит за счет состояний
(, )rt
источника потенциала
в предшествующие моменты времени.
Величина запаздывания определяется скоростью распространения действия от источника потенциала в точку, где это действие проявляется.
118
Рассмотрим движущийся точечный заряд, величина которого те-
x
R
перь неизменна во времени. Пусть траектория заряда описывается
функцией ()
формуле
rt. Тогда потенциал этого заряда следует вычислять по
q
qrrt
,
rt dV
p
1
4||
0
V
()
q
rr
p
. (6.80)
Интеграл от
вычисляется не просто. Сложности возникают из-за того, что элементарный объем является неявной функцией времени.
Перейдем от интегрирования по r к интегрированию по
rrt
Отсюда для потенциала находим
-функции из-за зависимости времени t
() | |/
tr t r r c
. Находим якобиан перехода
()
q
x
,
rt dV
px
ii
rr crr
jj p
D
rrt
xx
ii
det 1 , .
rrRc
jj
1()1
4| ()|
0
V
(6.81)
p
rr
v
() ,
qij
i
qx
rrt x
pq
1
4
0
qqq
qi
R
1/
q
Rv c
/
||
. (6.83)
p
v
RR
q
от r
(6.82)
Аналогичным образом можно получить формулу для векторного потенциала.
Итак, для произвольно движущегося заряда скалярный и векторный потенциалы с учетом запаздывания имеют вид
119
nRR
/
qq
R
R
(,) ,
rt
p
Ar t
(,) .
p
1
4
0
1
4
0
q
n
1
q
qv
1
q
(6.84)
q
n
Эти формулы называются потенциалами Лиенара–Вихерта.
Вычисление величин электрического и магнитного полей достаточно громоздко из-за неявной зависимости времени от координат.
Поэтому приводим лишь результат:
E
qq
4
R
0
n
23 3
q
11
2
1
nn
BnE
4
1
.
0
nn
cR
q
,
(6.85)
c
Это поле состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое – поле кулоновского типа, спадающее обратно пропорционально квадрату расстояния. Второе слагаемое – это поле излучения заряда. Оно спадает обратно пропорционально первой степени расстояния. Это поле
существует только для зарядов, движущихся с ускорением (точка
над
во втором слагаемом означает дифференцирование по времени).
В заключение приведем иное представление для электромагнитного поля произвольно движущегося заряда, которое получил американский физик Фейнман:
Ee
4
ee
qrd d
rr
2222
rrcdt
0
BeE
cdt
1
c
.
r
1
2
r
,
(6.86)
e
Здесь штрих означает учет запаздывания,
– единичный вектор,
r
направленный от точки наблюдения (!) к заряду. В такой записи за излучение ответственно третье слагаемое.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]