Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
2
E
B
E
R
,dW w dV
WwdV
ээ
эм
,
0
w . (2.84)
э
2
Величина
w представляет собой объемную плотность энергии элек-
э
трического поля.
Для магнитного поля соответствующие энергии:
2
dW w dV,
мм
WwdV
мм
,
w
м
. (2.85)
2
0
Полная энергия электромагнитного поля вычисляется как сумма электрической и магнитной части энергий:
22
EH
WdV
00
22
V
. (2.86)
/HB
Введя напряженность магнитного поля
, мы симметризовали
0
запись электрической и магнитной части электромагнитного поля.
Очевидно различие между энергией взаимодействия зарядов и
энергией поля. Это видно хотя бы из того (как это следует из приведенных выше формул), что энергия поля всегда положительна (она
определяется квадратом напряженности поля), а энергия взаимодействия вполне может
быть отрицательной (рассмотрите систему из двух
зарядов противоположных знаков заряда). Если подробно разбираться, то увидим различие уже между формулами (2.81) и (2.82): во второй формуле учитывается энергия взаимодействия «разных частей
зарядов
q ».
i
Вообще вопрос об энергии поля не простой при обстоятельном
подходе. Рассмотрим следующий часто приводимый пример. Пусть
имеется равномерно заряженный (по объему) шар радиусом R и с полным зарядом q. Внутри шара и вне шара электрические поля
rR
3
E
r
,
rR
0
q
4
,
2
r
0
q
. (2.87)
4
3
3
Следовательно, электромагнитному полю заряженного шара надо приписать энергию
41
R
R
Rr
Wrrdr
0
22
0
2
0
2
4
0
2
420
R
2
qq
22
rR
00
4
2
rdr
2
3
. (2.88)
Полагают, что электрон является истинной элементарной частицей
и что он – объект точечный. Рассмотренный пример может служить
простейшей моделью заряженной частицы. Если мы применим эту модель к электрону, то радиус сферы придется устремить к нулю, но тогда энергия, которую мы приписываем электрическому полю электрона, будет стремиться к бесконечности!
Что бы это значило? Конечно, здесь присутствуют недостатки, связанные с примитивностью модели. Можно считать, что данная модель
даже грубо не работает для малых расстояний. Начиная с каких расстояний? Подсчитанную энергию припишем электрону, поскольку
именно он является источником поля (в полевой картине). С другой
стороны, покоящемуся электрону мы приписываем эйнштейнову
энер-
гию покоя. Записав равенство двух энергий
2
320e
2
mc
находим «критический» размер модельной сферы
20
3
rmc
e
, (2.89)
2
0
кр e
2
e
. (2.90)
2
0
:
Полученная величина носит название классического радиуса электрона.
Таким образом, если «соберем» электрон из еще более мелких зарядов, которые будем «притаскивать» из бесконечности к месту
«сборки», то затратим на это «собирание», т. е. «порождение» элек-
трона – шарика радиусом
r
, энергию, равную энергии покоя электро-
e
на (заодно «породим» электрическое поле электрона). При этом нам
придется бороться со взаимодействием разных частей собираемого
электрона.
42
Приведенный мысленный пример «собирания» электрона кажется
фантастическим бредом. Однако серьезные исследователи при весьма
серьезном подходе к вопросу: действует ли электрон сам на себя? (мы
переформулировали этот вопрос: действуют ли разные части электрона
друг на друга?) – открыли целую отрасль физики –
тродинамику
получен до сих пор.
! Правда, ответ на сформулированный вопрос так и не
квантовую элек-
3. ПРИМЕРЫ СТАТИЧЕСКИХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
3.1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
В каждом частном случае распределения зарядов и токов требуется
конкретный метод расчета полей, наиболее приспособленный к данной
задаче. Для правильного и обоснованного выбора того или иного способа расчета электромагнитного поля необходимо знать общие принципы, которые можно использовать. Приводим ряд возможных общих
подходов.
1. Мы уже многократно использовали общий подход:
одиночного заряда и применение затем принципа суперпозиции.
2. В ряде редких случаев, когда в задаче имеется какая-либо симметрия, удается использовать эту симметрию и уравнения поля в интегральной форме.
3. При наличии границ раздела сред иногда удается использовать
граничные условия и свести задачу с границами к задаче без
Таков, например, метод изображений.
4. В подавляющем числе случаев не удается использовать перечисленные выше простые подходы и приходится решать дифференциальные или интегральные уравнения всеми доступными способами, в том
числе и методом функций Грина.
5. Наконец, если аналитическое решение уравнений слишком громоздко или невозможно, то неизбежно численное решение
циальных или интегральных уравнений поля.
Мы не ставим перед собой задачу иллюстрировать каждый из подходов. В дальнейшем при рассмотрении отдельных примеров будем
использовать наиболее удобный из них.
знание поля
границ.
дифферен-
43
3.2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ ДИПОЛИ
p
p
p
E
Элементарной нейтральной электрической системой является электрический диполь – система двух зарядов противоположных знаков и
одинаковых величин (рис. 3.1).
Электрический потенциал, создаваемый диполем, есть сумма двух
потенциалов
qq
44
rr
00
, (3.1)
Рис. 3.1
где r
()
r
и r– – расстояния от положи-
+
тельного и отрицательного зарядов
до точки наблюдения.
Рассмотрим электрический потенциал на больших по сравнению с
размерами диполя расстояниях r >> l. Тогда приближенно
1/ 1/ | /2| 1/ / 4 1 /(2 )rrl rlrl rlrr
22 2
Представив аналогичным образом 1/ r
1
где
()
rr
4
– электрический дипольный момент.
e
e
3
0
, легко находим, что
r
, ,
ql
e
(3.3)
Напряженность электрического поля, создаваемая электрическим
диполем:
rprrpr
() 3( )
1
4
0
5
r
ee
2
. (3.4)
. (3.2)
В сферической системе координат
p
44
Er e e
() 2cos sin
e
4
0
r
3
r
. (3.5)
Силовые линии поля определяются уравнением
p
и имеют вид семейства кривых
dr r d
EE
r
(3.6)
const sinr
2
.
Магнитный диполь представляет собой элементарный замкнутый
ток. Рассмотрим модель диполя в виде квадратного (это непринципиально) замкнутого тока. Пусть сторона квадрата равна а, площадь S,
величина тока I. Магнитный потенциал, создаваемый диполем, есть
сумма векторных потенциалов четырех элементов тока:
()
Ar I
aa a
03
12 4
4
rr r r
1234
a
. (3.7)
На больших по сравнению с
размерами диполя расстояниях
можно воспользоваться приближениями и получить следующий результат расчета. Магнитный потенциал (рис. 3.2)
pr
m
0
m
3
4
r
,
(3.8)
Здесь
Ar
() ,
Рис. 3.2
– магнитный дипольный момент, который определяется
m
pISn
током, площадью (а не формой) контура и ориентацией плоскости
контура.
Индукция магнитного поля, создаваемая магнитным диполем,
() rot 3( )
Br A p r r p r
0
mm
5
4
r
2
. (3.9)
В сферической системе координат
() 2cos sin
Br e e
Силовые линии поля – семейство кривых
p
0
m
r
3
4
r
const sinr
. (3.10)
2
.
45
Обратим внимание на сходство и различие полей электрического и
магнитного диполей.
Поля диполей нами найдены на расстояниях, значительно больших
размеров диполей. Как мы видим, геометрия дальних полей обоих диполей полностью совпадает. Потенциалы электрического и магнитного диполей убывают обратно пропорционально квадрату расстояния до точки
наблюдения, сами поля – обратно пропорционально кубу
расстояния.
Различие полей диполей обнаруживается при исследовании ближнего поля. Главное различие состоит в том, что при пересечении плос-
кости расположения диполя силовые линии вектора
B
а силовые линии вектора
не прерываются: электрическое поле носит
E
терпят разрыв,
потенциальный характер, магнитное поле – вихревой.
3.3. ПОЛЕ ОГРАНИЧЕННОЙ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МУЛЬТИПОЛИ
Пусть теперь имеется система электрических зарядов, занимающая
некоторый ограниченный объем V. Определим характер поля на расстояниях, значительно больших размеров системы r >> V
1/3
.
Электрический потенциал всей системы зарядов определяется известным интегралом
0
rdV
rr
. (3.11)
()
1()
r
4||
Разложим расстояние от зарядов до точки наблюдения в ряд по малому
параметру. В результате получим
11 1
||
rr r r
r
...
. (3.12)
Тогда электрический потенциал можно представить в виде ряда (мультипольное разложение потенциала)
() () () () ...rrrr
012
. (3.13)
В нулевом приближении
1
()
r
46
0
Q
,
4
r
0
()QrdV
. (3.14)
Это выражение представляет собой потенциал точечного заряда вели-
p
p
p
p
чиной, равной суммарному заряду системы. Потенциал обладает сферической симметрией и убывает обратно пропорционально расстоянию до точки наблюдения.
В первом приближении потенциал представляет собой потенциал
:
электрического диполя с дипольным моментом
()
()
1
1
rr
4
r
e
, ( )
3
0
rrdV
e
e
. (3.15)
Потенциал обладает цилиндрической симметрией и убывает обратно
пропорционально квадрату расстояния.
Во втором приближении потенциал представляется в более сложной форме
2
QxxrrdV
ij i j ij
42
0
3().
11
() ,
rQ
xx
ij
,
ij
ij
5
r
2
(3.16)
Потенциал обладает существенной асимметрией, описывается новой,
тензорной величиной – тензором квадрупольных моментов
.
Q
ij
В целом этот потенциал убывает обратно пропорционально кубу расстояния.
Можно было бы рассмотреть и следующие члены мультипольного
разложения потенциала (высшие мультипольные моменты: октуполь-
,... , l-польный
ный
3
и т. д.), однако общие черты разложения нам
l
уже ясны.
Необходимо указать на зависимость дипольного и квадрупольного
моментов от выбора начала отсчета координат. Легко обнаружить, что
при сдвиге начала координат
ется:
pQr
0ee
. Очевидно, что если полный заряд системы отли-
()rrr
дипольный момент изменя-
0
чен от нуля, то всегда можно подобрать такое смещение начала координат, что дипольный момент системы окажется равным нулю.
Отсюда следует, что дипольный момент характеризует смещение центра распределения зарядов. Если же полный заряд системы равен
47
нулю, то дипольный момент однозначно описывает пространственное
разделение центров положительных и отрицательных зарядов. Что
касается квадрупольных моментов, то они описывают сплющенность
или вытянутость системы. Высшие мультипольные моменты иным образом характеризуют различные деформации системы зарядов относительно сферически-симметричного случая.
3.4. ПОЛЕ ОГРАНИЧЕННОЙ СИСТЕМЫ ТОКОВ
МАГНИТНЫЕ МУЛЬТИПОЛИ
Пусть теперь имеется система электрических токов, занимающая
некоторый ограниченный объем V. Определим характер поля на расстояниях, значительно больших размеров системы r >> V
Магнитный потенциал всей системы зарядов определяется интегралом
1/3
.
Разложим расстояние от токов до точки наблюдения в ряд по малому
параметру (/)rr, и в результате магнитный потенциал системы будет
представлен в виде мультипольного разложения
Найдем магнитный потенциал системы в нулевом приближении.
Воспользуемся следующим приемом. Разобьем систему токов на отдельные замкнутые (в силу ограниченности системы) трубки тока
(обозначение ТТ) с постоянным током вдоль каждой из них. Тогда
Таким образом, в нулевом приближении для стационарного распределения токов (для нестационарного случая это не так) всегда магнитный потенциал системы равен нулю.
48
00
44
rr
() 0
Ar Idr Idr
0
Ar
() () () ...Ar A r A r
() () ...
jr dV jr r dV
44
()
4| |
01
00
rr
TT TT
()
jr dV
0
rr
. (3.17)
1
. (3.18)
. (3.19)
Следующий член мультипольного разложения равен
p
p
p
p
()
Прежде чем проводить дальнейшее преобразование этого выражения,
рассмотрим два векторных равенства:
В нашем случае
r
. Используя эти соотношения, находим, что
ра
Первый интеграл (интеграл от полного дифференциала) равен нулю.
В итоге векторный потенциал оказывается равным
Наконец, возвращаясь от трубок тока к плотности тока, получаем
Величина
мы токов. Легко показать, что дипольный момент не зависит от выбора
начала отсчета координат.
Магнитный потенциал в первом приближении обладает цилиндрической симметрией и убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.
Согласно боровской модели электроны в атоме вращаются вокруг
ядра по доступным орбитам. Такое орбитальное движение
представляет собой замкнутый ток, благодаря чему атом обладает соответствующим этому движению магнитным моментом. Пусть движе-
ние электрона описывается уравнением
dr r d r r r dr
Ar A r
Ar I dr r
1
[[ ] ( ) ( ),
a rdr r a dr dr a r
drar drar radr
(1 / ) /arrr
11 1 1 1
rrr
() ()
1
называется магнитным дипольным моментом систе-
m
0
() ()( ).
22
m
4
rr
TT
m
0
3
4
r
1
[()]
2
3
– вектор, не зависящий от векто-
r
,
m
rjr dV
1
rt
e
. (3.20)
(3.21)
1
Irdr
TT
. (3.24)
()
[]
2
. Тогда электрический
. (3.22)
. (3.23)
электрона
49
ток, связанный с этим движением, можно описать плотностью
p
p
A
A
jqvrrt
(())
ee
. Магнитный момент вычислим согласно опреде-
лению
qq
ee
[] ()
me ee
rv r r t dV r m v g L
22
m
e
. (3.25)
Таким образом, магнитный момент заряженной частицы пропорционален механическому моменту импульса частицы []Lrp
. Коэффи-
циент пропорциональности называют гиромагнитным отношением.
Для рассмотренного случая орбитального движения электрона это отношение
q
g
e
. (3.26)
e
mm
22
ee
e
Заряженные элементарные частицы обладают, кроме того, магнитным моментом, не связанным с механическим движением, а отпущенным им от рождения. Это магнитный момент, который обязан некоторому «внутреннему движению в частице», обычно называемому
спиновым. Например, электрон благодаря спиновому движению обла-
spin
дает моментом импульса
spin
p
, причем гиромагнитное отношение для этого движения оказыва-
m
ется равным /
qm, т. е. в два раза большим, чем для орбитального
ee
и спиновым магнитным моментом
L
движения. Полный магнитный момент атома или молекулы определенным образом (по законам квантовой механики) складывается из
моментов, связанных с орбитальным движением зарядов и с их спиновым движением. Этот магнитный момент связан также с механическим
моментом гиромагнитным отношением, которое сложным образом
связано с составом и структурой атома или молекулы.
Покажем теперь на примере замкнутого кругового тока, что определение дипольного момента (3.24) не противоречит прежнему определению (3.8). Действительно,
111
m
I rdr In Rdr InR R IS n
[] 2
222
. (3.27)
В заключение отметим, что каждый следующий член мультипольного разложения (квадрупольный
50
, октупольный
2
,
..., l-поль-
3
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]