Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
Пусть теперь имеется произвольное распределение заряда. Для
E
B
каждого из элементарных зарядов справедлив предыдущий результат.
Поэтому, воспользовавшись принципом суперпозиции, находим
– поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен (с точностью до постоянного раз-
мерного множителя 1/
поверхностью (теорема Гаусса). Источниками (истокового типа) элек-
тростатического поля и его потока являются электрические заряды.
Силовые линии магнитного поля замкнуты. Поэтому какую бы мы
ни взяли замкнутую поверхность, поток вектора индукции магнитного
поля через эту поверхность будет равен нулю (строго говоря, это экспериментальный факт):
Эта формула является количественным отражением того, что магнитных зарядов нет.
Магнитное поле порождается движущимися электрическими зарядами или электрическими токами. Этот факт, непосредственно описываемый законами типа Био–Савара–Лапласа, мы можем описать в
новой формулировке, если рассмотрим циркуляцию индукции магнитного поля.
Непосредственный расчет индукции магнитного поля прямого
кого провода с током I (по формуле Био–Савара–Лапласа) дает, как
известно, результат
SV
)
суммарному заряду, охваченному этой
0
1
dS dV
0
0BdS
(2.7)
. (2.8)
тон-
I
Вычислим циркуляцию этой индукции магнитного поля по замкнутому контуру, совпадающему с одной из силовых линий поля (окружности радиуса R):
21
dl Bdl B dl BL R I
LL L
Br
.
0
(2.9)
2
I
00
2
2
R
. (2.10)
Результат вычисления циркуляции не зависит от радиуса выбран-
B
ной окружности и определяется только величиной электрического тока. Достаточно очевидно теперь, что это указывает на независимость
величины циркуляции от формы замкнутого контура.
Если мы имеем систему токов, с помощью принципа суперпозиции
легко находим
– циркуляция вектора индукции магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна (с точностью до постоянного размерного
множителя
Ампера). Эта теорема является иной формулировкой той закономерно-
сти, что магнитное поле порождается движущимся зарядом.
Говорят, что магнитное поле носит вихревой характер. Источниками (вихревого типа) магнитного поля и его циркуляции служат движущиеся электрические заряды. Специфических магнитных зарядов
(источников истокового типа) у магнитного
Для электростатического поля теорема о циркуляции имеет вид
где L – произвольный замкнутый контур. Этот результат несложно получить, проводя вычисления циркуляции напряженности электрического поля по замкнутому контуру: сначала для одиночного заряда,
затем обобщая результат вычислений с помощью принципа суперпозиции.
Уравнение (2.12) указывает на то, что у электростатического поля
нет источников вихревого типа. Говорят, что электростатическое поле
носит
невихревой, потенциальный характер. У такого поля есть только
источники истокового типа – электрические заряды.
В заключение этого раздела выпишем систему уравнений, количественно описывающую структуру статического электромагнитного поля:
) суммарному току, охваченному этим контуром (закон
0
EdS dV BdS
Bdl jdS Edl
dl jdS
0
LS
Edl
L
1
0
,0.
0
(2.11)
поля нет.
0,
(2.12)
,0,
(2.13)
22
Отметим нелокальный характер этих уравнений: электромагнитное
F
F
FFx
x
поле в данном месте пространства (на поверхности, на контуре) связывается с зарядами и токами в других местах пространства (в объеме,
внутри контура). Возможна иная (локальная) формулировка уравнений
статического электромагнитного поля. Это требует введения новых
понятий: дивергенции, ротора, градиента.
2.2. ВЕКТОРНЫЕ И СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
В настоящем разделе мы кратко изложим ряд необходимых нам
определений, теорем (без соблюдения математической строгости) из
математической теории поля. При этом учтем, что читателю некоторые
соотношения уже известны.
2.2.1. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
ТЕОРЕМА ГАУССА–ОСТРОГРАДСКОГО
Инвариантным (по отношению к используемой системе координат)
определением дивергенции (расходимости) векторного поля
явля-
ется следующее:
div lim
1
FdS
V
V
0
. (2.14)
S
Дивергенция характеризует мощность источников истокового типа
векторного поля и является локальной характеристикой поля.
Читателю, полагаем, известно, что в декартовой системе координат
дивергенция поля может быть записана в виде
F
div
F
y
x
yz
z
. (2.15)
Удобно ввести дифференциальный оператор «набла» (оператор Гамильтона), который в декартовой системе координат условно можно
рассматривать как вектор с компонентами
23
,,
yz
. (2.16)
Тогда вычисление дивергенции можно рассматривать как операцию
F
FF
Fr
F
F
скалярного умножения двух векторов: вектора «набла» и вектора
div ( )
. (2.17)
:
Рассмотрим два векторных поля:
Непосредственное вычисление дает нам результаты
Оба поля носят радиальный характер, однако степень расходимости у
этих полей разная. Именно поэтому у полей разные величины дивергенции. Дивергенция и есть характеристика расходимости поля.
Во втором результате надо сделать оговорку, что
исключением точки
(см. раздел 2.2.4).
Пусть некоторый объем
Вычислим интеграл от дивергенции поля по этому объему. При этом
разобъем весь объем на множество элементарных объемов, а для элементарного объема для вычисления интеграла воспользуемся определением дивергенции
В сумме интегралов по поверхностям, ограничивающим элементарные
объемы, интегралы по соприкасающимся поверхностям взаимно компенсируются (противоположные потоки), и в результате вся сумма
сводится к интегралу по внешней поверхности – поверхности, ограничивающей собственно объем
Таким образом, мы получаем теорему (математическую) Гаусса–
Остроградского
Эта теорема связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность с мощностью источников в объеме, ограниченном этой поверхностью.
VS
div 3F
0r
div div
dV F V FdS
VS
и
1
, 2div 0F
1
, так как здесь имеется особенность поля
V ограничен замкнутой поверхностью S.
ii
V.
div
dV FdS
Fr
2
r
. (2.18)
3
. (2.19)
div 0F
i
. (2.21)
. (2.20)
i
2
всюду, за
24
Использование этой теоремы позволяет понизить размерность ин-
F
F
FF
Fr
F
F
F
F
F
теграла – интегрирование по объему свести к интегрированию по поверхности. Иногда полезно и повышение размерности интеграла, когда
от интегрирования по поверхности переходят к интегрированию по
объему.
2.2.2. РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА СТОКСА
Инвариантным (по отношению к используемой системе координат)
определением ротора (завихренности) векторного поля является следующее:
(rot ) lim
n
1
S
S
0
. (2.22)
Fdl
L
Ротор поля является его локальной характеристикой и показывает интенсивность источников вихревого типа векторного поля.
Можно показать, что в декартовой системе координат вычисление
ротора поля представляет собой операцию векторного перемножения
двух векторов: вектора «набла» и вектора поля
:
. (2.23)
rot [ ]
Рассмотрим три векторных поля:
где
– постоянный вектор – вектор угловой скорости вращения, а v –
,
1
Fr
2
r
,
3
[] ,
3
(2.24)
rv
вектор линейной скорости. Непосредственное вычисление дает нам
результаты:
Два поля
1
rot 0F
1
, 2rot 0F
, 3rot 2F
. (2.25)
и
имеют расходящийся характер, а третье поле
2
–
3
циркулярный (вихревой) характер. Именно в силу вихревого характера
только для поля
ротор этого поля отличен от нуля. Ротор и есть ха-
3
рактеристика интенсивности вихревого источника – интенсивности
вращения в данном примере.
Рассмотрим замкнутый контур
L и некоторую поверхность S, натя-
нутую на этот контур. Вычислим циркуляцию векторного поля вдоль
25
этого контура. Разделим поверхность S на множество элементарных
F
F
поверхностей
замкнутые контуры
ным контурам воспользуемся определением ротора поля
В сумме интегралов по элементарным контурам интегралы по соприкасающимся участкам контуров взаимно компенсируются (противоположные направления обхода), и в результате вся сумма сводится к одному интегралу по контуру
Таким образом, мы получаем теорему (математическую) Стокса
Эта теорема связывает циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру с интенсивностью вихревых источников, охваченных этим
контуром.
Использование этой теоремы позволяет понизить размерность интеграла, т. е. интегрирование по поверхности свести к интегрированию
по контуру. В ряде случаев полезно также и повышение размерности
интеграла, когда от интегрирования по контуру переходят
рованию по поверхности.
S
, которые оказываются натянутыми на элементарные
i
L
. При вычислении интегралов по элементар-
i
dS F S Fdl
rot (rot )
SL
L.
SL
dS Fdl
n
. (2.27)
ii
rot
. (2.26)
i
к интегри-
2.2.3. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
Для некоторого скалярного поля U (поля температур, поля электрических потенциалов и т. п.) можно ввести градиент поля, который
характеризует быстроту изменения скалярного поля от точки к точке.
Часто величину
Инвариантным (по отношению к используемой системе координат)
определением градиента (завихренности) скалярного поля является
следующее:
26
U называют потенциалом скалярного поля.
grad lim
UUdS
1
V
0
V
. (2.28)
S
В декартовой системе координат градиент поля можно вычислить
x
x
по правилу
grad
Ue e e
UUU
xyz
yz
. (2.29)
Это выражение можно рассматривать как результат умножения вектора «набла» на скаляр
Дифференциал функции
Если мы перемещаемся по поверхности
ной поверхности), то вектор
Из равенства нулю скалярного произведения grad
что вектор grad
U: gradUU
.
U(x, y, z) равен
dU dx dy dz U dr
UUU
xyz
grad
. (2.30)
U = const (по эквипотенциаль-
лежит на этой поверхности и dU = 0.
dr
U на dr
U перпендикулярен вектору перемещения
следует,
по экви-
dr
потенциальной поверхности.
Таким образом, градиент скалярного поля представляет собой вектор, направление которого совпадает с направлением нормали к поверхности
направлению (т. е. скорости изменения значений величины
U = const, а длина численно равна производной по этому
U). Это
направление представляет собой направление быстрейшего возрастания величины
U в окрестности данной точки скалярного поля.
Из определений дивергенции, ротора и градиента можно получить
следующие математические тождества:
div(rot ) 0
F
; (2.31)
rot(grad ) 0
Оператор
2
называют оператором Лапласа. Его можно рассмат-
rot(rot ) grad(div )FFF
U
; (2.32)
2
. (2.33)
ривать как скаляр. В декартовой системе координат он имеет вид
222
27
222
yz
. (2.34)
2.2.4. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВИХРЕВЫЕ ПОЛЯ
F
F
F
F
F
F
ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Векторное поле
точке ротор поля равен нулю. Из теоремы Стокса находим, что это эквивалентно равенству нулю циркуляции поля по произвольному замкнутому контуру. Таким образом, потенциальное поле определяется
двумя эквивалентными условиями:
Потенциальное поле – это поле без вихревых источников поля. Для
потенциального поля
полю (наряду с ним, совместно с ним) другое, скалярное поле
занное с исходным полем соотношением
grad
Действительно, в силу математического тождества rot(grad ) 0
таком введении потенциала поля
творено автоматически. В некотором смысле можно сказать, что скалярное поле
Представление векторного потенциального поля (2.36), однако, не
является однозначным. Если, например, вместо скалярного поля
смотреть иное скалярное поле
(калибровочное преобразование скалярного поля
то как поле
альное векторное поле
Таким образом, представление потенциального поля через скалярное поле действительно неоднозначно. Можно ввести множество скалярных полей, порождающих одно и то же потенциальное поле.
Векторное поле
дивергенция поля равна нулю. Из теоремы Гаусса находим, что это
эквивалентно равенству нулю потока поля через произвольную замкнутую поверхность. Таким образом, вихревое поле определяется двумя
эквивалентными условиями:
U порождает потенциальное векторное поле
U , так и поле U
называется потенциальным, если в каждой его
rot 0F
можно ввести параллельно этому векторному
UU W
.
называется вихревым, если в каждой его точке
div 0F
, 0Fdl
U уравнение
U
, constW , (2.37)
будет порождать одно и то же потенци-
, 0FdS
U
, которое удовлетворяет равенству
. (2.35)
U, свя-
. (2.36)
U
rot 0F
U)
. (2.38)
будет удовле-
.
при
U рас-
28
Вихревое поле – это поле без источников поля истокового типа.
F
F
F
F
F
Для вихревого поля
полю (наряду с ним, совместно с ним) другое векторное поле
занное с исходным полем соотношением
можно ввести параллельно этому векторному
A
, свя-
Действительно, в силу математического тождества div(rot ) 0
таком введении векторного поля
творено автоматически.
Однако представление (2.39) также не является однозначным. Если
A
вместо векторного поля
рое удовлетворяет уравнению (калибровочное преобразование вектор-
ного поля )
grad
то как поле
поле
В математической теории поля доказана следующая теорема Гельмгольца: если
то всегда можно представить это поле в виде суммы потенциального и
вихревого полей
grad rot
причем можно векторное поле
В заключение раздела приведем две полезные формулы, которые
часто используются в физической теории поля, так называемые формулы Грина. Пусть
алы. Тогда теорема Гаусса, примененная к векторному полю
F
A
A
.
, так и поле A
– однозначное, непрерывное и гладкое векторное поле,
дает нам первую формулу Грина
,
рассмотреть иное векторное поле A
AA U
порождает одно и то же векторное
A
выбрать так, чтобы divA = 0.
и – некоторые скалярные поля, т. е. потенци-
. (2.39)
rot
A
A
уравнение div 0F
UA
, (2.40)
, (2.41)
будет удовле-
A
при
, кото-
29
2
()dV dS
. (2.42)
n
Переобозначим на , а на и запишем еще раз первую форму-
Er
лу Грина. Если теперь вычесть эти две формулы, то получим вторую
формулу Грина
22
()dV dS
nn
. (2.43)
Заметим, что в формулах Грина значения потенциалов и их производных в объеме связываются с их значениями на поверхности, ограничивающей этот объем. Это обстоятельство представляет особый интерес в физической теории поля при решении так называемых
граничных задач.
Используя понятия дивергенции и ротора векторного поля, а также
теоремы Гаусса–
Остроградского и Стокса, уравнения, описывающие
структуру статического электромагнитного поля, можно переписать в
виде
div / , div 0,
EB
rot , rot 0.
Bj E
0
0
(2.44)
Эти уравнения представляют собой локальную формулировку уравнений для стационарного электромагнитного поля.
Пусть шар заряжен до значения заряда
(объемная плотность заряда –
). Тогда известно (легко получить из
q равномерно по объему
теорем Гаусса для напряженности электрического поля), что внутри
шара электрическое поле пропорционально расстоянию
r, отсчитывае-
мому от центра шара, а вне шара поле совпадает с полем точечного
заряда
пропорционально квадрату расстояния
q, помещенного в центр шара, т. е. напряженность поля обратно
r:
4
qr
3
r
0
. (2.45)
внутр
3
E
,
0
внеш
Дивергенции этих полей равны соответственно
divE
внутр
,
div 0E
0
внеш
. (2.46)
(Сравните с примером (2.18).) Если теперь устремить радиус шара
к нулю, то мы будем иметь дело с точечным зарядом, для которого эти
две формулы можно объединить в одну:
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]