Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
E
B
E
F
B
F
B
K
и
, компоненты которых и образуют тензор электромагнитного
поля.
Итак, электромагнитное поле одиночного точечного электрическо-
Q
го заряда
, движущегося со скоростью
, много меньшей световой,
v
Q
описывается (в соответствии с определяющими соотношениями (1.11)
и выражениями (1.10) для сил) следующими электрическим и магнитным полями:
[]
Qv r
Qr
Er
4
,
3
0
(Здесь введена магнитная постоянная
Электрический заряд
рождает электрическое поле
на другой, покоящийся или движущийся, заряд
qE
э
поле
. Движущийся (!) заряд Q порождает, кроме того, и магнитное
. Это поле воздействует на другой, движущийся (!), заряд q
магнитной силой
vv v
qQ
.
Q
– покоящийся или движущийся – всегда по-
. Это электрическое поле воздействует
[]
qv B
м
. В рассмотренном частном случае
q
B
4
Q
0
3
r
1410c
00
. (1.12)
27
q
электрической силой
Гн/м.)
Обратим внимание на весьма простую связь электрического и маг-
нитного полей одиночного движущегося заряда:
1
2
c
. (1.13)
[]
vE
Q
Данный факт не случаен.
1.4. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ
Магнитное поле порождается только движущимся зарядом.
K
В нашем примере магнитное поле в системе отсчета
наблюдатель
(
и
K
его не регистрирует. Вместе с тем оба наблюдателя
)K
регистрируют наличие электрических полей, но разных по
отсутствует и
величине. Таким образом, электрическое и магнитное поля относительны. Абсолютным в полевой картине взаимодействия электриче-
11
ских зарядов является факт присутствия вокруг зарядов новой для
p
p
p
E
B
x
EE
E
наблюдателей сущности – электромагнитного поля.
Всякая сущность характеризуется некоторым числом инвариантных величин (т. е. величин абсолютных). Так, электрическая частица
характеризуется как минимум двумя инвариантами: массой и зарядом.
Инвариантность массы (
(inv)m
), как известно, приводит к тому, что
любые инерциальные наблюдатели получают одно и то же значение
величины
2 22 2 22 24
invpc p c mc
. (1.14)
В то же время разные инерциальные наблюдатели получают различные
значения энергий
(эйнштейновской) и импульса
. Энергия и им-
пульс – величины относительные. Связь величин энергий и импульса,
измеряемых разными инерциальными наблюдателями, определяется
преобразованиями Лоренца:
V
,
2
V
1
2
c
V
p
p
x
x
2
c
,
2
V
1
2
c
p
. (1.15)
Электромагнитное поле – новая сущность. Оно также характеризуется
инвариантами, отражающими эту сущность. Приводим два из них:
222
invEcB,
. (1.16)
invEB
и
Сами же силовые характеристики поля
– величины не абсолютные, а относительные. Поскольку характеристики электромагнитного поля введены определяющими соотношениями (1.11), связывающими силовую и полевую картину взаимодействия, из формул
преобразований импульсов и сил можно получить формулы преобразования для напряженности электрического поля и индукции магнитного поля. Математические выкладки не сложны, но громоздки. Поэтому приведем
лишь результат:
[]
VB
12
x
,
E
; (1.17)
2
V
1
2
c
x
BB
B
g
p
1
[]
VE
,
B
x
c
1
2
. (1.18)
2
V
2
c
V
Здесь
счета
– скорость системы отсчета
K
.
В нашем примере наблюдатель
части электромагнитного поля
Q
заряд
покоится. Однако наблюдатель K регистрирует наличие
(0)B
K
относительно системы от-
K
не обнаруживает магнитной
, так как относительно него
(наряду с электрическим полем) магнитного поля, равного (1.13), что
непосредственно следует из формул преобразований полей (1.18) (ско-
рости зарядов в нашем примере равны )
vvV
qQ
.
1.5. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ФОТОНЫ
Электромагнитное поле обладает также характеристиками, приписываемыми частицам, в частности, энергией и импульсом. Каждая
единица объема, занятого электромагнитным полем, имеет энергию и
импульс:
2
()wEcB
0
222
1
,
[]
EB
(1.19)
0
(объемные плотности энергии и импульса электромагнитного поля).
В третьей, квантовой, картине электромагнитного поля полагают,
что переносчиками взаимодействия зарядов являются кванты электромагнитного поля (фотоны) – особые элементарные частицы с массой,
равной нулю. Отсутствие массы вынуждает фотоны вечно двигаться с
8
310
предельно возможной скоростью
м в секунду. Причем ни один
инерциальный наблюдатель не может застать фотоны в покое (инвариантность величины скорости света). Энергия
и импульс
фотона
относительны, однако абсолютна (инвариантна) величина
13
222
. (1.20)
0invpc
В полевой картине свободно распространяющееся электромагнит-
ное поле представляет собой электромагнитную волну, в которой электрическое и магнитное поля ортогональны, электрическая и магнитная
части энергии поля равны друг другу. Поэтому для этого поля
wE
2
,
0
gEc
2
0
(1.21)
и, следовательно,
222
0,wgc
(1.22)
что в точности соответствует соотношению (1.20) для фотонов. Если
ввести плотность числа фотонов
, то можно считать, что
n
wn
, gnp
. (1.23)
Эти формулы связывают между собой представления в квантовой и
полевой картине электромагнитного поля.
1.6. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. СОХРАНЕНИЕ ЗАРЯДА
Макроскопические тела могут обладать электрическим зарядом
только благодаря тому, что они в определенном смысле состоят из
элементарных частиц. Так, если мы заряжаем электрический конденсатор емкостью 0,1 мкФ напряжением 1,6 В, то «перебрасываем» с одной
обкладки конденсатора на другую 1 000 000 000 000 электронов.
В результате одна обкладка оказывается заряженной до значения
= +1,6 710 Кл, другая – до значения q = –1,6
q
7
10Кл.
Поскольку число элементарных зарядов (электронов) на поверхности обкладок конденсатора огромно, ради упрощения можно считать,
что этот заряд распределен по поверхности непрерывно. При этом говорят о поверхностной плотности зарядов макроскопического тела
dq
. (1.24)
ds
Здесь ds и dq – физически бесконечно малые величины: ds – очень
малая часть поверхности тела, но все еще содержащая много избыточных элементарных зарядов (например, 137 избыточных электронов);
14
dq – малый заряд, которым обладает этот участок поверхности
f
x
137 ).eq
(dq =
ряда единицы поверхности заряженного тела.
Аналогично вводятся понятия линейной
ности зарядов:
которые имеют смысл величин заряда единицы длины и единицы
объема.
Если размерами заряженного тела в данных условиях можно пренебречь, то вводят полезную идеализацию – представление о точечном
заряде
вой объем.
Полный заряд тела или системы заряженных тел Q вычисляется как
сумма всех «видов» заряда
Как видно из определения, имеет смысл величины за-
()
и объемной
dq
()qr
, находящемся в некоторой точке
,
dl
dq
, (1.25)
dV
r
и занимающем нуле-
()
плот-
Q =
Удобно ввести обобщенную
следующим фильтрующим свойством:
Очевидно, что
Это трехмерная
ввести двумерные и одномерные
(, ) 1
Тогда точечному заряду q может быть приписана объемная плотность
() ()rqr
(
-функция «распределяет» точечный заряд по нулевому объему).
Действительно,
15
-функция. Аналогичными определениями можно
qdldSdV
k
k
() ( )( ) .
rfrrrdV
() 1.rdV
ydxdy, ( ) 1.zdz (1.29)
() () .rdV q rdV q
-функцию – функцию, обладающую
-функции, для которых
(1.28)
(1.30)
.
(1.26)
(1.27)
(1.31)
Поверхностной и линейной плотностям также можно приписать
p
j
объемные плотности заряда:
() ()rz
, ( ) ( , ).rxy
(1.32)
Введение
«виды» заряда, суммарный заряд тела или системы тел:
Q =
Электрический ток представляет собой направленное движение зарядов. В результате протекания тока происходит перенос электрического заряда. Перенос одиночного заряда описывается количественно
произведением величины заряда на скорость его движения
величина аналогична величине импульса частицы
зующего перенос массы. Если плотность (концентрация) электриче-
ских частиц равна n, средняя направленная скорость –
заряда описывается плотностью электрического тока
Если заряды пересекают малую поверхность
поверхности, то электрический ток через поверхность равен
dI jdS
где введено общепринятое обозначение:
Когда рассматривается перенос заряда по тонким (в данных условиях) проводам, вводят представление об элементе тока
вектор, направленный вдоль вектора j
Рассмотрим некоторый объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S. Предположим, что электрический заряд в объеме, по нашим
наблюдениям, с течением времени убывает. Тогда из факта сохранения
электрического заряда мы должны заключить, что заряд в объеме убывает вследствие его переноса из объема наружу через поверхность.
личественно происходящий процесс можно описать уравнением
Это уравнение может быть названо интегральной формой закона сохранения электрического заряда.
-функции позволяет единообразно описывать разные
(1.33)
vqnv
d
dV jdS
dt
.dV
qv
mv
, характери-
v
, то перенос
. (1.34)
dS
с нормалью n к этой
, (1.35)
dS dS n
и длина которого равна dl.
. (1.36)
.
Idl
. Эта
, где dl –
Ко-
16
1.7. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ.
E
E
E
ПОЛЕ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ И ТОКОВ
Электрическое и магнитное поля подчиняются принципу суперпозиции: если есть несколько источников, порождающих электромагнитное поле, то наблюдаемое поле представляет собой суперпозицию
(сумму) полей, порождаемых каждым из источников:
12
...EE E
,
12
...BB B
, (1.37)
где
ных источников;
– электромагнитное поле источника 1 в отсутствие всех осталь-
1
– поле источника 2 в отсутствие всех остальных
2
источников и т. д.
Принцип суперпозиции позволяет легко вычислить электромагнитное поле известных распределений макроскопических зарядов и токов.
Элементарный заряд
dq dV
создает напряженность электриче-
ского поля
r
– радиус-вектор, направленный от данного элементарного заря-
где
dE
dV r
4
, (1.38)
3
r
0
да к точке наблюдения поля.
V
Если макроскопический заряд распределен в объеме
, то резуль-
тирующее электрическое поле представляет собой суперпозицию элементарных полей
()( )
rrr
rdV
()
4| |
0
rr
. (1.39)
3
r
– вектор,
– ради-
r
ра-
–
Здесь введены обозначения:
ус-вектор точки наблюдения;
диус-вектор электрического заряда;
разность векторов
()rr R
направленный от элементарного заряда
dq к точке наблюдения;
объема, занятый элементарным зарядом.
17
dV
– элемент
Рис. 1.2
Если элементарный заряд dq имеет направленное движение со ско-
B
v
ростью
Если можно ввести представление о плотности тока или элементе тока,
то элементарное магнитное поле может быть записано и в других
формах:
, то индукция магнитного поля
dq vr
dB dV
0
3
4
r
. (1.40)
поскольку
.dq v j dV I dl
Формулы (1.41) называются формулами Био–Савара–Лапласа.
Для произвольного распределения постоянных токов результирующее магнитное поле представляет собой суперпозицию элементарных полей
Таким образом, если распределение макроскопических электрических зарядов и токов известно (что является, вообще говоря, большой
редкостью), то формулы (1.39), (1.43) полностью решают задачу расчета стационарного (статического) электромагнитного поля.
Нестационарное электромагнитное поле обладает как определенной структурой, так и определенным «движением». Поэтому необходимо количественно описать особенности структуры поля и решить
«уравнения движения поля» – уравнения Максвелла для нестационарного электромагнитного поля. При этом расчетные формулы для полей
видоизменяются.
dB dV
jr
0
4
r
() .
rdV
,
3
0
4
jr r r
Idl r
dB dV
()( )
||
0
4
3
rr
3
r
(1.42)
,
(1.41)
(1.43)
18
2. СВОЙСТВА СТАТИЧЕСКИХ
E
B
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Статическое электромагнитное поле характеризуется лишь некоторой структурой. Структура поля количественно описывается с помощью понятий: поток, циркуляция, дивергенция, ротор, градиент.
В этом разделе мы дадим (почти справочно) элементы теории поля и описание особенностей структуры статического электромагнитного поля. Кроме того, обсудим основные уравнения электро- и магнитостатики.
2.1. ГЕОМЕТРИЯ ПОЛЯ. ПОТОК
И ЦИРКУЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Электромагнитное поле характеризуется векторными величинами
напряженности электрического поля
и индукции магнитного поля
Если бы мы стали изображать эти векторы в каждой точке пространства, то у нас получилась бы сильно загроможденная, избыточная картина, не обладающая особой наглядностью. Поэтому мы довольствуемся изображением геометрической структуры поля в виде силовых
линий. Силовой линией поля мы называем линию, в каждой точке ко-
торой вектор
E
или
B
является касательным к этой линии. Чтобы указать, в какую сторону надо изображать вектор в данной точке пространства, мы на силовых линиях рисуем «птички» (сам вектор поля –
это прямая стрела!). Густотой силовых линий мы указываем на величину поля: где линии проведены гуще, там поле сильнее.
Из известных изображений
геометрической структуры статических
электромагнитных полей легко усмотреть некоторые особенности этой
структуры. Можно заметить, что силовые линии статического электрического поля всегда исходят из зарядов (или входят в заряды), а
силовые линии магнитного поля как бы охватывают направление движения зарядов (или направление протекания электрических токов).
Силовые линии электрического поля всегда разомкнуты
(не замкнуты),
силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Силовые линии
электрического поля обладают некоторой расходимостью, а силовые
линии магнитного поля – некоторой циркулярностью.
.
19
По-видимому, такое поведение статического электромагнитного
F
F
F
поля есть проявление каких-то общих свойств поля. Количественными
характеристиками этих свойств являются поток и циркуляция поля.
Элементарным потоком dФ векторного поля
мы называем вели-
чину
ФdFdS
. (2.1)
Поток через замкнутую поверхность S
Ф
. (2.2)
dS
S
Элементом циркуляции dЦ векторного поля F мы называем величину
ЦdFdl
. (2.3)
Циркуляция по замкнутому контуру L равна
Ц
dl
. (2.4)
L
Если мы окружим (мысленно) одиночный точечный заряд сферой
(радиусом R) с центром в месте расположения заряда и подсчитаем
поток вектора электрического поля через эту сферу (т. е. проведем
оценку расходимости силовых линий поля), то легко найдем
EdS EdS E dS ES R
SS S
qq
4
R
0
2
4
2
. (2.5)
0
Результат вычисления потока не зависит от радиуса сферы R.
Это не случайно. Нетрудно доказать, что этот результат вовсе не
зависит от вида замкнутой поверхности – важно лишь, чтобы поверхность охватывала заряд. В самом деле, для начала можно вообразить
поверхность из двух полусфер разных радиусов
R
и
,R
1
дополненных
2
до замкнутой поверхности. Для этого случая
EdS E S E S
S
11 2 2
qqq
44
RR
01 02
22
44
RR
12
22
22
. (2.6)
0
Результат вычисления тот же. Независимость потока от радиусов полусфер указывает на тот факт, что этот поток действительно не зависит
от вида замкнутой поверхности, охватывающей заряд.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]