Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитные поля и волны. Ч.2. Практикум
.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное
бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Московский технический университет связи и информатики
Кафедра технической электродинамики и антенн
Федотова Т.Н., Муравцов А.Д.
Практикум
по дисциплине
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ
Часть 2
(направление 11.03.02)
Москва 2018
УДК 53
Федотова Т.Н., Муравцов А.Д. Электромагнитные поля и волны. Ч.2:
Практикум./ МТУСИ.- М., 2018.- 27 с.
Издание утверждено советом факультета РиТ.Протокол №7от 15.03.18
Рецензент: Т.А.Гайнутдинов,доцент
Московский технический университет
связи и информатики, 2018
Цель практикума
m
E
m
H
.
.
2
2
2
0
m
m
dE
kE
dz
.
.
2
2
2
0
m
m
dH
kH
dz
.k
.
m
E
. . .
01
ikz ikz
m
E E e E e
.
0
E
.
1
E
(1 )i tg
tg
Re Imk k i k
Re Im (1 tgk i k i
Методические указания призваны помочь в организации всех видов внеаудиторной, индивидуальной работы; их можно использовать при изучении
электродинамических дисциплин с целью получения знаний, умений, навыков решения задач без участия преподавателя и для реализации различных
видов контроля знаний. Методические указания содержат задачи по разделам
первой части курса «Электромагнитные поля и волны»: «Плоские электромагнитные волны». «Излучение электромагнитных волн». Задачи составлены
так, что не требуют привлечения большого объема знаний и значительных
затрат времени на вычисления. Результаты оформляются в виде рефератов по
указанным разделам согласно рабочей программе по курсу “Электромагнит-
ные поля и волны”.
1. Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной
среде с потерями и без потерь
1.1. Свойства плоской волны в однородной изотропной среде
Исследуем основные свойства плоской волны, распространяющейся в
безграничной однородной изотропной среде. Источники, создающие волну,
находятся за пределами рассматриваемой области. Поэтому векторы
и
удовлетворяют однородным уравнениям Гельмгольца. Предположим, что
поле не зависит от координат х и у. Тогда уравнения Гельмгольца принимают
вид:
где
где
и
Решая уравнение для вектора
– некоторые векторные, в общем случае, комплексные
,
, (1.1)
, получаем:
, (1.2)
постоянные.
Для анализа формулы (1.2) необходимо в параметре k отделить
действительную и мнимую части. Ограничимся рассмотрением случая, когда
потери в среде обусловлены только ее проводимостью, т.е. будем считать,
что
, а
потерь. Полагая
, где
, получаем
– тангенс угла электрических
.
3
Возводя в квадрат обе части последнего равенства и разделяя затем
Rek
Imk
2 2 2
(Re ) (Im )kk
2
2(Re )(Imk) tgk
2
22
(Re ) (1 1 tg )
2
k
2
(Re )k
2
( 1 tg 1)
2
Rek
2
( 1 tg 1)
2
Imk
ikze
ikz
e
z i z
ee
z i z
ee
z i z
ee
z i z
ee
ikze
ki
k
1
0E
00
ikz z i z
m
E E e E e e
вещественную и мнимую части, приходим к системе двух алгебраических
уравнений относительно
и
:
,
. (1.3)
Из (1.3) следует, что
Так как
не может быть отрицательной величиной, то в формуле
. (1.4)
(1.4) нужно выбрать знак «+». Вводя обозначение
получаем
получаем
. Аналогично, обозначая
.
, (1.5)
, (1.6)
Физический смысл коэффициентов α и β. Первый показывает уменьшение
амплитуд полей при распространении волны, и потому он называется коэф-
фициентом ослабления (затухания). Второй характеризует изменение фазы
при распространении волны и потому называется фазовым коэффициентом.
Рассмотрим функции
и
, входящие в (1.2). С учетом полученных
соотношений их можно записать одним из следующих способов:
1)
; 2)
; 3)
и 4)
.
Предположим, что источник находится со стороны отрицательных
значений координаты z. Тогда выражения 1) и 2) описывают волны,
амплитуды которых возрастают по мере удаления от источника.
Существование таких волн в рассматриваемом случае физически
невозможно. Амплитуда волны типа 3) убывает с увеличением расстояния от
источника, однако эта волна распространяется в направлении к источнику.
Следовательно, положительным t соответствуют отрицательные значения
z, т.е. волна распространяется в сторону отрицательных значений z. При
сделанных предположениях о месте нахождения источника такой волны не
должно быть. Единственной волной, не противоречащей физическому
смыслу задачи, является волна типа 4). В первом слагаемом в формуле (1.2) в
соответствии с выбором вида множителя
При выбранном значении
второе слагаемое в (1.2) описывает волну,
следует положить
. (1.7)
распространяющуюся к источнику. Так как среда является однородной, то
. Следовательно,
.
4
Аналогично, из уравнения Гельмгольца для вектора
m
H
00
ikz z i z
m
H H e H e e
0
H
.
m
E
.
m
H
.
m
E
.
m
H
.
m
E
m
H
0
zm
E
0
zm
H
.
m
E
.
m
H
ym xm
kH E
xm ym
kH E
.
.
0
0
0
[ , ]
Z
c
zE
H
ñ
Z
.
m
E
.
m
H
ñ
Z
c
cc
ZZ
(1 tg )
i
k
e
i
c
cos
Z
c
1
arctg tg
22
c
c
ZZ
c
c
arg Z 0
..
0
..
.
00
2
00
cc
,
.
[ , ] [ , ]
ZZ
z i z
m
iz
z i z z
m
E E e e
z E z E
H e e e e
k
..
0
ikz
m
E E e
.
.
0
0
c
[ , ]
Z
ikz
m
zE
He
находим, что
, где
– некоторый постоянный (в общем случае
комплексный) вектор. Непосредственно из уравнений Гельмгольца (1.1)
дополнительной информации о векторах
векторы
векторы
и
и
должны удовлетворять уравнениям Максвелла. Так как
не зависят от переменных х и у, то, проецируя указанные
уравнения на ось Z, замечаем, что
≠0 векторы
и
перпендикулярны направлению распространения
и
и
получить нельзя. Однако,
. Таким образом, и в случае
волны. Такие волны называют поперечными. Проецируя затем уравнения
Максвелла на оси Х и Y, приходим к соотношениям
, из которых следует, что
где
– характеристическое сопротивление волны (отношение поперечных к
, (1.8)
,
направлению распространения волны составляющих векторов
волны, распространяющейся в среде с потерями,
– комплексное число. В
и
рассматриваемом случае
, (1.9)
где
В среде без потерь = 0 и
,
,
. (1.10)
.
Таким образом, поле плоской волны в среде с проводимостью, отличной
от нуля, определяется выражениями
(1.11)
). У
В среде без потерь = 0,
,
5
и формулы (1.11) имеют вид
. (1.12)
При изменении удельной проводимости от нуля до бесконечности угол
4
c
Z
||H
||E
H
E
.
m
E
.
xm
E
.
m
H
.
m
E
ym
H
.
0
E
..
00
0
E x E
E
H
.
00
.
0
0
c
cos( ),
cos
Z2
z
z
E x E e t z
E
H y e t z
00
E cos ( )E x t kz
0
0
c
E
cos( )
Z
H y t kz
m
E
m
H
E
0
E
0 0 0
E x E
E
H
E
c увеличивается от нуля до
, а модуль
убывает от
до нуля. Как
видно, наличие потерь приводит к уменьшению абсолютной величины
характеристического сопротивления, т.е. к увеличению
значении
. Это обусловлено тем, что величина
определяется как током
при заданном
проводимости, так и током смещения. В среде без потерь существуют только
токи смещения. В среде с потерями при тех же значениях
и токи
смещения остаются прежними, но к ним добавляются токи проводимости.
Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим сначала случай,
когда вектор
вектор
также будет иметь одну составляющую, перпендикулярную
(в рассматриваемом примере
(
) и переходя к мгновенным значениям векторов
имеет лишь одну составляющую, например,
). Считая вектор
вещественным
и
получаем:
Тогда
. (1.13)
В случае среды без потерь формулы (1.13) принимают вид
,
. (1.14)
Из полученных формул видно, что поле плоской волны в однородной
изотропной среде обладает следующими свойствами.
Волна является поперечной. Комплексные амплитуды (
и H всегда взаимно перпендикулярны, а в частном случае, когда вектор
имеет одну составляющую (например,
), взаимно перпендикулярны и
и
) векторов
их мгновенные значения. Поверхности равных фаз определяются уравнением
z = const и представляют собой семейство плоскостей, перпендикулярных
оси Z. Амплитуды векторов E и H экспоненциально убывают вдоль оси Z.
Постоянную называют коэффициентом ослабления. В среде без потерь
= 0, и амплитуды векторов E и H не зависят от координат. При ≠ 0
поверхности равных амплитуд (ПРА) совпадают с ПРФ. Волны, обладающие
таким свойством, как и волны, амплитуды векторов
зависят от координат, называют однородными. При ≠ 0 между векторами E
и
имеется фазовый сдвиг. Вектор H опаздывает по фазе относительно
вектора
на угол = /2. В среде без потерь векторы E и H изменяются
и H которых не
6
синфазно. При изменении от нуля до бесконечности фазовый сдвиг
2
1
Re
1 tg 1
2
ф
v
k
0tg
1
ф
v
k
,
tg
.
2
2 2 1
Re
1 tg 1
2
k
f
0
rr
21cc
kf
ff
2
0
2
2
0
c
2
i
z
E
П z e e
Z
2
0
2z
0
с
Re cos
2 Z 2
cp
E
П П z e
2
0
0
c
2Z
cp
E
П П z
возрастает от нуля до /4. Фазовая скорость vф плоской волны находится путем рассмотрения перемещения z ПРФ за время t.
. (1.15)
В среде без потерь
среде с теми же параметрами и . Так как > k =
и
, т.е. равна скорости света в
то vф в среде с
потерями меньше vф в среде без потерь с теми же и .
Параметр , определяющий фазовую скорость, называют
коэффициентом фазы. Как видно из (1.15), при 0 фазовая скорость
зависит от частоты
Предельное значение vф при равно c = 1/
: с увеличением последней она возрастает.
Кроме того, величина
vф зависит от проводимости среды: при одинаковой частоте она будет
меньше в среде с большей проводимостью.
Длина волны при 0:
. (1.16)
Она меньше длины волны в среде без потерь с теми же и . Ее значение
зависит от проводимости среды. При фиксированной частоте длина волны
убывает с увеличением ; при = 0 длина волны
Распространение волны сопровождается переносом энергии. При 0
комплексный вектор Пойнтинга
(1.17)
содержит как действительную, так и мнимую части. Это означает, что
имеется как активный, так и реактивный поток энергии. Средняя за период
плотность потока энергии экспоненциально убывает вдоль оси Z:
. (1.18)
При = 0 комплексный вектор Пойнтинга является чисто
действительным и не зависит от координат:
. (1.19)
.
7
Как видно, в этом случае имеется только активный поток энергии.
jE
0
э
2
w
1 tg 1
2
cp
cp
z
П
v
1
Э
vc
c
Z
c
Z
c
.Z
22
1
1 tg 1
2
tg
2
1
1 tg
8
2
ф
2
11
1 tg
8
(1 0,125 tg )
Э
v v c
Возникновение реактивного потока энергии в среде с 0 может быть
объяснено следующим образом. При распространении электромагнитной
волны в среде возникают электрические токи с плотностью
, на
поддержание которых расходуется часть энергии волны. В свою очередь,
возникшие в среде электрические токи излучают электромагнитное поле:
создают вторичную плоскую волну, которая складывается с первичной,
происходит непрерывный обмен энергией между волной и средой, что и
приводит к возникновению реактивного потока энергии.
Скорость распространения энергии равна фазовой скорости:
. (1.20)
Как видно, при 0 скорость распространения энергии зависит от
частоты. В среде без потерь
Характеристическое сопротивление волны
частоты. Модуль
возрастает с увеличением f. Его предельное значение
- одинакова при любой частоте.
при 0 также зависит от
при f совпадает с характеристическим сопротивлением волны,
распространяющейся в среде без потерь с теми же и , т.е. равно
Аргумент характеристического сопротивления c изменяется от /4 (при
f0) до нуля (при f).
Из изложенного следует, что свойства плоской волны,
распространяющейся в среде с проводимостью и в среде без потерь,
различны. Основное отличие состоит в том, что в среде без потерь параметры
плоской волны (vф, vэ, , Zc и др.) одинаковы при любых частотах, а в среде с
проводимостью они зависят от частоты. Зависимость свойств волны от
частоты называется дисперсией, а соответствующие среды –
диспергирующими.
В диэлектриках tg ≪1, поэтому можно приближенно положить:
1.2. Волны в диэлектриках
. Применяя дважды это приближенное равенство к
выражению (1.5), получаем
. (1.21)
Подставляя (1.21) в (1.15) и (1.16), находим
, (1.22)
8
2
21
1 tg
8
c
f
tg
22
( , , , , )
с
фэ
v v Z
2
f
ф
2
2
э
f
vv
22
ff
4
(1 )
2
i
с
Z e i
c
Z
. (1.23)
Аналогично преобразовывается и выражение (1.6) для коэффициента
ослабления:
. (1.24)
Из полученных результатов следует, что параметры волны
, распространяющейся в реальном диэлектрике, мало
отличаются от ее параметров в среде без потерь с теми же и .
Коэффициент ослабления является малой величиной и в первом
приближении не зависит от частоты. Дисперсионные свойства проявляются
незначительно.
1.3. Волны в проводниках
В проводниках (например, в металлах) tg ≫1. Поэтому в выражениях для
и можно пренебречь единицей по сравнению с tg. В результате получим:
. (1.25)
Постоянные и нелинейно зависят от частоты. Следовательно,
свойства волны на разных частотах будут существенно различаться.
Формулы для фазовой скорости, длины волны и волнового сопротивления в
этом случае принимают вид:
, (1.26)
, (1.27)
. (1.28)
Сравним параметры плоских волн, распространяющихся в вакууме и в
меди ( = 5,65107 сим/м) на частоте 1 МГц:
в вакууме: в металле:
vф = vэ ≈ 3108 м/с; vф = vэ ≈ 421 м/с;
= 300 м; ≈ 4,2110–4 м;
Zc = 120 Ом ≈ 377 Ом;
≈ 3,7410–4 Ом.
9
1.4. Затухание волн
()
m
Ez
zl
()
m
E z l
()
()
l
m
m
Ez
e
E z l
l
()
ln
()
m
m
Ez
l
E z l
()
20lg 20lg 8.69
()
m
m
Ez
l e l
E z l
2 7 7 6
4 10 5.65 10 10 14800f
2
11
1
( 1 tg 1)
2
1
f
Коэффициент ослабления волны, распространяющейся в проводнике,
большая величина. Поэтому амплитуды векторов поля резко уменьшаются
вдоль направления распространения: волна быстро затухает. Пусть
амплитуда напряженности электрического поля в точке с координатой z
равна
, а амплитуда в точке с координатой
равна
Отношение
(1.29)
показывает, во сколько раз уменьшилась амплитуда волны при прохождении
ею расстояния
.
Затухание измеряют в неперах (Нп) и децибелах (дБ). Затухание в
неперах определяют как натуральный логарифм отношения
Затухание в децибелах определяют как двадцать десятичных логарифмов
того же отношения:
, т.е. 1 Нп ≈ 8,69 дБ.
Коэффициент таким образом определяет затухание волны при
прохождении ею пути в один метр и измеряется в неперах на метр (Нп/м),
децибелах на метр (дБ/м).
Вычислим затухание волны, распространяющейся в меди, на частоте 1 МГц.
.
.
Коэффициент ослабления
Нп/м.
Это означает, например, что при прохождении волной расстояния в один
миллиметр ее амплитуда уменьшается в е
14,8
раз, т.е. примерно в 2,67
миллиона раз. Приведенный пример показывает, что переменное
электромагнитное поле на частотах радиотехнического диапазона
практически не проникает в глубь проводника.
Расстояние
1.5. Глубина проникновения
0
, при прохождении которого электромагнитное поле
ослабевает в е раз, называют глубиной проникновения поля в среду. На
расстоянии 0 ослабление составляет 1 Нп, т.е. 0 = 1 и, следовательно,
. (1.30)
В случае металла выражение (1.30) упрощается:
. (1.31)
Как видно из формулы (1.31), глубина проникновения зависит от
частоты: чем больше частота, тем меньше 0.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]