Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитные поля и волны. Ч.2. Практикум
.pdf
1.6. Поляризация волн
E
E
x
E
H
E
.
0
E
00
E cos ( )E x t kz
0
0
c
E
cos ( )
Z
H y t kz
00
EE
E
0
1
,
c
H z E
Z
E
E
H
H
E
Ориентация векторов
и H относительно осей Х и Y в плоской волне,
распространяющейся вдоль оси Z, зависит от источника, создающего волну.
Пусть, например, волна создается элементарным электрическим вибратором,
расположенным на оси Z параллельно оси Х в среде без потерь. Тогда в
области, примыкающей к оси Z и удовлетворяющей условиям, при которых
сферическую волну можно приближенно считать плоской, вектор
иметь одну составляющую
, а вектор
– только составляющую Н
будет
. Поле
у
такой плоской волны в среде без потерь определяется формулами (1.14). При
выводе этих формул предполагалось, что начальная фаза вектора
(фаза в
момент времени t = 0 в точке z = 0 или, что то же самое, фаза вектора
равна нулю. Если начальная фаза равна , то формулы (1.14) принимают вид:
где
Так как векторы
.
и H взаимосвязаны
рассмотрением одного вектора
периода направление вектора
,
. Из формулы (1.32) следует, что половину
совпадает с направлением оси Х, а другую
, (1.32)
, ограничимся
половину периода – противоположно. Таким образом, в фиксированной
точке пространства (z = const) конец вектора E с течением времени
перемещается вдоль отрезка прямой линии, а величина вектора изменяется в
интервале [– E0, E
]. Волны, обладающие таким свойством, принято называть
0
линейно поляризованными. Плоскость, проходящую через ось Z и вектор E,
называют плоскостью поляризации. В рассматриваемом примере плоскостью
поляризации является плоскость ХОZ.
)
Если источником волны является элементарный магнитный вибратор,
параллельный оси Х, или элементарный электрический вибратор,
параллельный оси Y, то вектор E имеет только составляющую Е
– только составляющую Н
поляризованной.
Предположим теперь, что волна создается двумя вибраторами, например
взаимно перпендикулярными элементарными электрическими вибраторами,
расположенными на оси Z. В этом случае вектор E имеет две составляющие
Е
и Еу, которые изменяются либо синфазно, либо с некоторым фазовым
х
сдвигом в зависимости от соотношения между фазами токов вибраторов.
Вектор
при этом имеет также две составляющие Нх и Ну. В общем случае
выражение для вектора
виде:
, а вектор
у
. Волна в этом случае также будет линейно
х
плоской волны в среде без потерь записывается в
11
0 1 0 2
cos( ) cos( )
xm ym
E x E t kz y E t kz
0 z
xm ym
E E e
0 z
ym xm
E E e
0
xm
E
0
ym
E
00
0 1 0 2
cos( ) cos( )
zz
xm ym
E x E e t z y E e t z
E
E
0
xm
E
0
ym
E
0
2
0
1
cos ( )
tg
cos ( )
y ym
x xm
E E t z
E E t z
0
0
ym
xm
E
E
00
00
cos ( )
tg const
cos ( )
ym ym
xm xm
E t z E
E t z E
E
ym
xm
E
arctg
E
, (1.33)
где Exm и Eym – амплитуды составляющих Ех и Еу соответственно, а 1 и
2 – фазы этих составляющих в точке z = 0 при t = 0.
Для перехода к случаю среды с отличной от нуля проводимостью нужно
в (1.33) заменить k на и положить
где
и
– значения амплитуд составляющих Ех и Еу соответственно в
и
плоскости z = 0. При этом получим:
. (1.34)
Формулы (1.33) и (1.34) однотипны, и для дальнейшего достаточно
исследовать любую из них, например (1.34). Волну (1.34) можно
рассматривать как суперпозицию двух плоских линейно поляризованных
волн с взаимно перпендикулярной ориентацией векторов
распространяющихся в одном направлении (вдоль оси Z). Характер
изменения вектора
волны (1.34) с течением времени в фиксированной
точке пространства зависит от соотношения между начальными фазами 1 и
2 и от амплитуд
и
.
Угол между осью Х и вектором E в фиксированной точке
пространства (z) определяется соотношением
. (1.35)
,
,
Как следует из формулы (1.35), угол зависит от соотношения между 1
и
, а также от отношения
2
. В общем случае угол может изменяться со
временем. Предположим вначале, что начальные фазы 1 и 2 совпадают.
Полагая в формуле (1.35) 1 = 2 = , получаем:
Следовательно, вектор
, определяемый равенством (1.36) в любой
. (1.36)
момент времени, лежит в плоскости, проходящей через ось Z и
составляющей угол
с плоскостью ХОZ .
Аналогичное явление имеет место также в том случае, когда разность
между 1 и 2 равна целому числу :
1 – 2 = n, (1.37)
где n = 0, ±1, ±2, …
В фиксированной точке пространства конец вектора E с течением
времени перемещается вдоль отрезка прямой линии, составляющей с осью Х
12
угол
0
0
( 1)
ym
n
xm
E
arctg
E
2
00
0xm ym
E E E
12
2
01
cos( )
z
x
E E e t z
01
sin( )
z
y
E E e t z
1
()
y
x
E
tg tg t z
E
1
t z m
22
0xy
E E E E
E
0
z
00
0xm ym
E E E
2
(2 1)
2
n
0, 1, 2, ...n
E
00
0xm ym
E E E
12
2
00
xm ym
EE
12
(1 4 )2n
0, 1, 2, ...n
00
xm ym
EE
12
(1 4 )2n
0, 1, 2, ...n
. Таким образом, волна при выполнении условия (1.37)
является линейно поляризованной.
Рассмотрим второй частный случай. Пусть амплитуды составляющих Е
и Е
равны, а начальные фазы отличаются на
у
(
,
).
х
Тогда
,
. Подставляя
эти выражения в (1.35), получаем равенство:
,
откуда следует, что
, (1.38)
где m – целое число.
Равенство (1.38) означает, что угол в фиксированной точке
пространства (z) увеличивается пропорционально t. Величина вектора E при
этом остается неизменной:
.
Таким образом, в фиксированной точке пространства вектор
оставаясь неизменным по величине, вращается с угловой частотой вокруг
направления
. Конец вектора E при этом описывает окружность. Волны
такого типа называют волнами с круговой поляризацией.
Нетрудно убедиться в том, что при
волна будет иметь
круговую поляризацию, если
,
где
В зависимости от направления вращения вектора
, (1.39)
различают волны с
правой и с левой круговой поляризацией. В случае правой круговой
поляризации вектор E вращается по часовой стрелке (если смотреть вдоль
направления распространения волны), а в случае левой круговой
поляризации – против часовой стрелки.
В рассмотренном примере (
,
) волна имеет
правую круговую поляризацию. Очевидно, что такая же поляризация будет и
в том случае, если
,
, где
(1.40)
При выполнении условий
,
, где
(1.41)
волна имеет левую круговую поляризацию.
13
Таким образом, вектор
E
E
0
xm
E
0
ym
E
-5
μ = 1, ε = 2, σ = 10
rr
0 0 0
H = H y 10y
ƒ 0,5
= 1l
П = Е H
-5
5 -9
σ 36π×10
tgδ = = = 0,18.
ωε 2π×5×10 ×2×10
0,1< tgδ < 10,
oo
-9 -5
5 -7
5
6 -17 -18 -3 -i5 -2 i85
iσ
= iω μ ε = i2π μ(ε - ) =
2π
2×10 10
= i2π×5×10 4π×10 ( -i ) =
36π 2π×5×10
= iπ×10 2,22×10 -i4×10 = iπ×10 ×4,75e = 1,49×10 e ;
kf
f
вращается в направлении от опережающей по
фазе составляющей вектора
к отстающей. Отметим, что винтовая линия,
соответствующая волне с правой круговой поляризацией, имеет левую
намотку, и, наоборот, в случае волны с левой круговой поляризацией
винтовая линия имеет правую намотку.
Любая волна круговой поляризации является суперпозицией двух
линейно поляризованных волн.
В общем случае, т.е. при произвольных 1, 2,
и
в
фиксированной точке пространства (z) конец вектора E описывает эллипс.
Волны такого типа принято называть эллиптически поляризованными.
Примеры решения задач
Задача № 1. Плоская волна с линейной поляризацией распространяется
вдоль оси OZ в среде с параметрами
См/м. Амплитудное
значение напряженности магнитного поля в начале координат
мА/м, частота колебаний
МГц.
1. Определить вектор напряженности электрического поля.
2. Определить среднее значение вектора Пойнтинга в точке, удаленной
на расстояние
км от начала координат.
3. Рассчитать параметры плоской волны.
Решение. 1. Выбираем прямоугольную систему координат и ориентируем ее
так, чтобы направление движения волны совпадало с осью OZ, а вектор H
был параллелен оси OY. В этом случае векторы E и П должны быть
направлены вдоль осей OX и OZ соответственно, поскольку
. Для
выбора расчетных формул определим характер среды распространения. Вы-
числим тангенс угла диэлектрических потерь
Так как
то в данном случае
среда не является ни проводником, ни диэлектриком, и параметры волны
необходимо рассчитывать по общим формулам:
k - комплексный коэффициент распространения
14
α - коэффициент затухания
2
9 - 7
5 2 -3
εμ
α = ω ( 1+tg δ -1) =
2
2×10 ×4π×10
= 2π×5×10 ( 1+0,18 -1) = 1,3×10 1/м;
2×36π
2
-9 -7
5 2 -2
εμ
β = ω ( 1+tg δ +1) =
2
2×10 ×4π×10
= 2π×5×10 ( 1+0,18 +1) = 1,48×10 1/м;
2×36π
-2
2π 2π
λ = = = 422,8 м;
β 1,486×10
5
8
ф
-2
ω 2π×5×10
ν = = = 2,114×10 м/с.
β 1,486×10
o
c
-i0,5arctg0,18 i5
22
4
μ μ 120π
Z = = = =
ε ε 1-itgδ
2(1-itgδ)
377
= e = 264,4e Ом,
2 +(2×0,18)
00
μ /ε = 120π = 377 Ом
= 1l
-α
00
-2
0 0 c
E = x E e cos(ωt-β +δ/2),
где
E = H Z = 10 ×264,4 = 2,64 В/м.
l
l
= 1l
-3 3
- -1,33×10 ×10
m0
E = E e = 2,64×e = 0,7 В/м.
l
β - коэффициент фазы
λ - длина волны
ν
- фазовая скорость и скорость распространения энергии
ф
Определим комплексное характеристическое сопротивление среды
где учтено, что
- характеристическое сопротивление
свободного пространства.
Запишем вектор напряженности электрического поля в точке
начала координат:
Тогда амплитуда напряженности электрического поля в точке
равняется
15
км от
км
2. Найдем среднее значение вектора Пойнтинга в точке
= 1l
22
-4 2
0 m 0
m
ср m 0
c
z E cos( /2) z (0.7) cos(5°)
1
П = Re[E H ]= = =z 9,2×10 , Вт/м .
2 2 Z 2×264,4
- z - z o
0 mx 0 my
E = x E e cos(ωt-βz) + y E e cos(ωt-βz-90 ),
mx my
E =10 мВ/м; E =20 мВ/м.
f = 1
-3
00
μ = μ ; ε = ε ; σ = 10
mx my
EE
my
E
mx
E
α
0m
A = 201g(E /E ) = 201g(e ) = 8,69α = 20 дБ.
l
l
-3
6 -9
σ 10 ×36π
tgδ = = = 18.
ωε 2π×10 ×10
tgδ >10,
6 -7 -3 -2 -2
α = π μ σ = π×10 ×4π×10 ×10 = 2π×10 = 6,28×10 1/м.f
-2
A 20
= = ×6,28×10 = 36,6 м.
8,69α 8,69
l
км:
3. Параметры плоской волны определены в п. 1.
Задача № 2. Вектор напряженности электрического поля плоской волны
изменяется по закону
где
среды
Частота колебаний
См/м.
МГц, параметры
1. Определить тип поляризации волны.
2. Вычислить расстояние l, на котором затухание волны составит А = 20 дБ.
Решение. 1. Определим тип поляризации волны. Поскольку
составляющая
отстает по фазе от
на 90о, задана волна с правой эл-
, и
липтической поляризацией. Вектор E такой волны будет вращаться по часовой стрелке, если смотреть вслед волне, движущейся вдоль оси OZ.
2. Расстояние l находим, используя условие задачи
Тангенс угла диэлектрических потерь среды
Поскольку
среда является проводником. Коэффициент затухания
волны в проводнике
Отсюда искомое расстояние l равняется
16
2. Излучение электромагнитных волн. Элементарные излучатели
Рисунок 2.1
Возможность излучения и распространения электромагнитной энергии в
пространстве непосредственно следует из положения Максвелла, согласно
которому электрический ток может циркулировать в диэлектрике и
свободном пространстве в виде тока смещения. При этом ток смещения, как
и ток проводимости, создает вокруг себя магнитное поле. Своим
предположением, основанным на опытах Фарадея, Максвелл как бы
приписал диэлектрику и свободному пространству свойства проводника –
проводника тока смещения. Так как электромагнитное поле является
носителем электромагнитной энергии, то распространение в пространстве
токов смещения сопровождается возникновением активного потока энергии
(мощности излучения), распространяющегося от источника, создающего
токи смещения, в окружающее пространство. Принципиальная возможность
ответвления (излучения) электромагнитной энергии в пространство
доказывается теоремой Пойнтинга, являющейся прямым следствием
уравнений Максвелла. Таким образом, любая электрическая схема,
способная создавать в пространстве токи смещения, является излучателем
электромагнитной энергии или, как принято говорить, излучателем
электромагнитных волн.
Один из вариантов схемы, обеспечивающей интенсивное излучение, показан
на рис. 2.1. Эта схема, в которой к генератору подключен разомкнутый на
конце отрезок длинной линии, провода которой расположены вертикально, а
на их концах установлены шары. Эта схема была впервые осуществлена
Генрихом Герцем и известна под названием диполя Герца. Протекающие
по проводам токи проводимости интенсивно ответвляются в окружающее
пространство в виде токов смещения, что приводит к излучению электромаг-
нитного поля
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ
Элементарным электрическим излучателем (ЭЭИ) называют короткий по
сравнению с длиной волны провод, обтекаемый электрическим током,
амплитуда и фаза которого не изменяются вдоль провода. Этот излучатель
является по существу идеализированной, удобной для анализа излучающей
системой, так как практически создание излучателя с неизменными по всей
длине амплитудой и фазой тока невозможно. Однако диполь Герца (рис. 2.1)
оказывается весьма близким по своим свойствам к ЭЭИ. Благодаря имею-
17
щимся на его концах металлическим шарам, которые обладают значительной
Рисунок 2.2
Рисунок 2.3
ст
m
I
ст
m
I
стст
m
II
стст
mm
II
.HH,
krkr
kIi
H
mrm
kr
m
m
0 e sin
1
i
1
4
2
2ст
,e cos
1
i
1
2
i
32
3ст
kr
m
rm
krkr
kI
E
. e sin
1
1
i
1
4
i
i
32
3ст
kr
m
m
krkrkr
kI
E
mm
HE и
емкостью, амплитуда тока слабо изменяется вдоль диполя. Неизменность фазы обеспечивается малыми по сравнению с длиной волны размерами излуча-
теля.
Пусть в центре совмещенной системы декартовых и сферических координат
размещен ЭЭИ (рис. 2.2), расположенный в безграничной однородной изотропной среде, характеризуемой параметрами а,
. Ток в ЭЭИ будем счи-
а
тать известным, т.е. сторонним током, изменяющимся по закону
Iст =
сos (t +
), где
0
– его амплитуда, а 0 – начальная фаза (фаза в
момент времени t = 0). Так как поле, создаваемое ЭЭИ, в данном случае яв-
ляется монохроматическим, удобно воспользоваться методом комплексных
амплитуд. Вместо тока Iст введем комплексную величину
где
exp (i0) – комплексная амплитуда стороннего тока. Для опреде-
exp (it),
ления полей, создаваемых в окружающем пространстве, по заданному току
находят векторный потенциал, с помощью которого определяют магнитное
поле Н, а с помощью уравнений Максвелла находят Е [1]:
(2.2)
(2.3)
(2.1)
Из полученных формул следует, что вектор напряженности
электрического поля, создаваемого ЭЭВ, имеет две составляющие Er и E
вектор Н – одну H. Таким образом, в любой точке пространства вектор Е
лежит в меридиональной плоскости, т.е. в плоскости, проходящей через ось
ЭЭИ и рассматриваемую точку, а вектор Н – в азимутальной плоскости, т.е. в
плоскости, перпендикулярной оси ЭЭИ. Из выражений (2.1), (2.2) и (2.3)
видно, что зависимость амплитуд составляющих векторов
расстояния r определяется величинами 1/(kr), 1/(kr)2 и 1/(kr)3. При больших
, а
от
18
значениях kr (kr≫1) величинами 1/(kr)2 и 1/(kr)3 можно пренебречь по
.Н
r
E
.E
HE и
, /
.esin
r2
Ii
H ,esin
r2
Ii
E
)krt( i
ст
m
)krt( i
ст
m
,E
,H
,c)k( v
000ф0ф
rrrrv
rr
cc //1/
0
8
00
103/1
с
. sin /
2
2
1
Re
2
2
ст
0ср
r
Im
rППП
сравнению с 1/(kr), и, наоборот, при малых значениях kr (kr≪1) основными
будут величины 1/(kr)3 для составляющих вектора E и 1/(kr)2 – для вектора
Поэтому при анализе структуры электромагнитного поля ЭЭИ а
пространство вокруг него делят на три зоны: дальнюю или волновую (kr≫1),
ближнюю (kr≪1) и промежуточную, где kr соизмеримо с единицей. Так как
k = 2/, то условия kr≫1, kr≪1, kr∼1, определяющие дальнюю, ближнюю и
промежуточную зоны, эквивалентны условиям 2r≫, 2r≪, 2r∼
соответственно. В промежуточной зоне ЭЭИ поля вычисляются по форму-
лам (2.1) – (2.3). В дальней зоне при 2r≫ формулы упрощаются. Из
сравнения формул (2.2) и (2.3) следует, что в этом случае можно пренебречь
составляющей
по сравнению с
Кроме того, в выражениях для
можно в квадратных скобках пренебречь слагаемыми 1/(kr)3 и i/(kr)2 по
сравнению с 1/(kr). Учитывая, что k = 2/ и k2 = 2
получаем:
(2.4)
Таким образом, в дальней зоне напряженность электрического поля имеет
только составляющую
а напряженность магнитного поля – составляющую
которые изменяются синфазно. Поверхность равных фаз (или фронт
волны) определяется уравнением r = const, т.е. представляет собой
концентрические сферы с центром в середине ЭЭИ. При этом фронт перемещается во все стороны от ЭЭИ со скоростью
где
– скорость света в среде с параметрами
(2.5)
, а, а
а
м/с – скорость света в вакууме. Значит, поле (2.4) –
электромагнитная волна, расходящаяся от ЭЭИ. Распространение волны
сопровождается переносом энергии. Средняя за период плотность потока
энергии равна Пср = Re .П Комплексный вектор Пойнтинга в
рассматриваемом случае является чисто вещественной величиной
(2.6)
Из этого выражения следует, что излучение электромагнитной энергии
максимально в направлениях, перпендикулярных оси ЭЭИ ( = /2), и не
зависит от угла . Вдоль своей оси ( = 0 и = ) ЭЭИ не излучает.
Векторы Е и Н изменяются синфазно. На рис. 2.4 показано изменение
векторов Е и Н вдоль радиуса r в некоторый момент
19
Рисунок 2.4
Рисунок 2.5
времени t = t0, а на рис. 2.5 приведена зависимость значений Е и Н в точке
. и mmHE
.//
mmc
HEZ
sin
2cтr
ZI
EE
cm
m
r = r0 от времени.
Важным параметром электромагнитной волны является ее
характеристическое сопротивление Z
направлению распространения волны составляющих векторов
, равное отношению поперечных к
с
Так
как рассматриваемая волна является поперечной, то
(2.7)
В дальней зоне поле ЭЭИ представляет собой расходящуюся
неоднородную сферическую волну, векторы Е и Н которой взаимно
перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения волны
(вектор r0). При этом вектор Е лежит в плоскостях, проходящих через ось
ЭЭИ, а Н – в плоскостях, перпендикулярных этой оси. Векторы Е и Н
изменяются синфазно.
Для более наглядного представления о характере излучения
(направленных свойствах) антенны строят графики зависимости амплитуды
напряженности поля или амплитуд ее составляющих от направления в точку
наблюдения при r = const. Такие графики называют амплитудными
диаграммами направленности или просто диаграммами направленности
(ДН). Обычно строят нормированные ДН. На них показывают не абсолютные
значения амплитуды напряженности поля, а нормированные значения,
отнесенные к ее максимальной величине.
Амплитуды напряженности электрического поля, создаваемого в дальней
зоне ЭЭИ записываются из (2.4)
(2.8)
Наиболее полную информацию о характере излучения дает
пространственная диаграмма направленности. Она может быть построена
таким образом, чтобы расстояние от начала сферической системы координат
до любой точки, характеризуемой углами и , было пропорционально
отношению амплитуды напряженности электрического поля в данном
направлении (, ) к максимальной амплитуде для того же значения r. Во
многих случаях построение такой диаграммы сложно, поэтому чаще
пользуются диаграммами, показывающими зависимость амплитуды поля от
одного из углов ( или ) при постоянном значении другого.
Диаграмма направленности, соответствующая = const, показывает
изменение амплитуды напряженности поля в меридиональной плоскости.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]