Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитные поля. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям 211000, 210400
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тамбовский государственный технический университет»
Ю. Н. ПАНАСЮК, А. П. ПУДОВКИН
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию
в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и
автоматизации в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся
по направлениям 211000 «Конструирование и технология
электронных средств», 210400 «Радиотехника»
Тамбов
Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ»
2014
1
УДК 621.385.6 (075)
ББК Á845я73-5
П16
Рецензенты:
Кандидат технических наук, доцент,
начальник отдела информационных технологий, телекоммуникаций и
связи ООО «Газпром Межрегионгаз Тамбов»
С. Н. Румянцев
Кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры
«Конструирование радиоэлектронных и микропроцессорных систем»
ФГБОУ ВПО «ТГТУ»
О. А. Белоусов
П16
Панасюк, Ю. Н.
Электромагнитные поля : учебное пособие для студентов,
обучающихся по направлениям 211000, 210400 / Ю. Н. Панасюк,
А. П. Пудовкин. – Тамбов : Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ»,
2014. – 96 с. – 100 экз. – ISBN 978-5-8265-1266-1.
Рассмотрены основные характеристики статических электрических и
магнитных полей, методы описания и характеристики электромагнитных
волн на основе системы уравнений Максвелла, характеристики плоских
электромагнитных волн в однородных средах и на границе раздела различных сред, свойства электромагнитных волн в направляющих структурах.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям
211000 «Конструирование и технология электронных
«Радиотехника» очной и заочной форм обучения.
средств», 210400
УДК 621.385.6 (075)
ББК з845я73-5
ISBN 978-5-8265-1266-1
2
© Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Тамбовский государственный технический
университет» (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»), 2014
ВВЕДЕНИЕ
В данное время в радиотехнике продолжается освоение диапазонов
УВЧ и СВЧ. В этих диапазонах размеры устройств соизмеримы с длиной
волны, поэтому приходится учитывать волновой характер ЭМП. В таком
случае теряется понятие электрической цепи, которое позволяло абстрагироваться от существующего в системе электромагнитного поля (ЭМП).
Законы теории цепей, справедливые на низких и
стают действовать. Поэтому при изучении быстропеременных электрических процессов необходим анализ именно ЭМП с учетом его волнового
характера и конечной скорости распространения электромагнитных волн
(ЭМВ).
Цель данного учебного пособия – познакомить студентов с основами
теории ЭМП и подготовить к изучению более сложных дисциплин:
«Электродинамика и распространение радиоволн», «
ва СВЧ».
Предполагается, что студентами уже пройден курс высшей математики и изучены явления электромагнетизма в курсе общей физики.
высоких частотах, пере-
Антенны и устройст-
3
1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
r
1.1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯДОВ. ЗАКОН КУЛОНА
S
V
q
Рис. 1.1. Электрический
заряд
ваемом объёме V элементарные заряды распределены не дискретно, а непрерывно с объёмной плотностью
Если совокупный заряд q распределён по поверхности S, то говорят о
поверхностной плотности зарядов
Иногда бывают заданы законы распределения величин ρ и σ, тогда
совокупный заряд
q определяется:
Пусть в некотором объёме V, ограниченном
поверхностью S, сосредоточен совокупный электрический заряд q (рис. 1.1), так как диаметр
электрона как элементарного отрицательного
заряда, составляет порядка 5,6⋅10
–13
см, то даже в
самом малом объёме, который доступен наблюдателю, содержится большое число элементарных зарядов. Можно считать, что в рассматри-
dq
=ρ
, Кл/м3. (1.1)
dV
dq
, Кл/м2. (1.2)
=σ
dS
ρ=VdVq ; (1.3)
∫
σ=SdVq . (1.4)
∫
В самом простом случае совокупный заряд
q характеризуется посто-
янством во времени, т.е. dq/dt = 0 и неподвижностью в пространстве v = 0,
где v – скорость перемещения совокупного заряда
q. Такой заряд создаёт
так называемое электростатическое поле.
Закон Кулона. Пусть два неподвижных, постоянных во времени то-
чечных заряда разнесены в пространстве (в вакууме) на расстояние
r
(рис. 1.2). Понятие «точечный заряд» условно. Говоря о точечных зарядах,
предполагают, что размеры тел, на которых распределены заряды q и q
значительно меньше расстояния
рактеризуется законом Ш. Кулона (1785) в вакууме
где ε0 = 1/36π⋅10–9 [Ф/м] – электрическая постоянная q
4
r. Взаимодействие между зарядами ха-
1
=
4
πε
0
r
qq
вн
rF
, (1.5)
0
2
r
.
вн
,
вн
Единичный вектор
r
F
F
r
r
r
r
r
rrr
ϕ
∂+ϕ
∂+ϕ
∂
rrr
∂
ϕ
∂
r
F
r
r
E
ϕ1ϕ
E
r
ентирован от источника силового поля
r
(заряда q к точке наблюдения) к заряду
заряд q и q
сила
q
, будет совпадать с вектором
вн
r
– будет наблюдаться оттал-
0
одного знака, то
вн
, действующая на заряд
r
0
q
. Если
вн
ори-
кивание зарядов. Если заряды
разного знака, они будут притягиваться.
1.2. НАПРЯЖЁННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛ
r
r
0
q
r
r
0
q
Рис. 1.2. Силовые линии
точечных зарядов
q
вн
q
вн
Для характеристики силового воздействия поля заряда q вводится
понятие напряжённости электростатического поля как силы, действующей на единичный положительный заряд
/ qFE
или с учетом выражения (1.5)
= , В/м, (1.6)
1
=
4
πε
0
q
:
вн
вн
r
q
rE
, В/м. (1.7)
0
2
r
Свойства поля точечного заряда. Градиент скалярной функции
потенциала ϕ(r) – векторная величина, определяемая как (рис. 1.3)
r)(grad
∂
где kji
∂
=∇ – оператор ∇ (набла) в прямоугольной системе
+
+
dzdydx
координат.
=ϕ∇=ϕ ,
r
kji
dzdydx
Другими словами, градиент скалярной
функции ϕ(r) в любой точке М(r) есть вектор, нормальный к поверхности уровня в
данной точке и направлен в сторону наибольшего возрастания функции, численно
равный её производной по нормали к эквипотенциальной поверхности
)(grad n
r
=ϕ∇=ϕ .
dx
r
0
Рис. 1.3. Градиент
скалярной функции
grad ϕ
M(r)
>
2
5
2. Дивергенция векторной функции )(rEr – скалярная величина, оп-
r
r
r
rrr
r
r
r
rrr
r
ределяемая как
rr
∂
=∇= div EE
dx
E
∂
E
x
+
dy
E
∂
y
z
. (1.8)
+
dz
Геометрический смысл дивергенции заключается в том, что дивергенция (расходимость) поля есть предел отношения потока векторного
поля через замкнутую поверхность, окружающую данную точку
ёму
V, ограниченному этой поверхностью, когда она стягивается к точке.
М, к объ-
Если дивергенция отлична от нуля, то физически это значит, что в
0div >E
рассматриваемой точке имеются источники поля (
(
0div <E
). Если 0div =Er, то в рассматриваемой точке поля отсутствуют
) или его стоки
источники и стоки поля.
)(rE
3. Ротор (вихрь) векторной функции
есть векторная величина,
определяемая как
kji
rot
r
=
E
∂∂∂
. (1.9)
dzdydx
EEE
zyx
Ротор характеризует степень завихрённости векторного поля в точке
М(r).
Вихревые линии любого векторного поля обладают тем свойством,
что они нигде не начинаются и нигде не кончаются:
0rotdiv =E
.
Чтобы определить свойства электростатического поля, описываемого
равенством (1.7), необходимо определить дифференциальные характери-
стики поля в точке:
−=
⎧
Errot
⎨
−≠
⎩
−=
⎧
E
div
⎨
−≠
⎩
Для получения
где
Errot , Erdiv . Если в каждой точке поля:
;0
ноепотенциальполе
вихревоеполе
;0
замкнутоеетьноесоленоидалполе
. 0
ьноесоленоидалнеполе
Errot и Erdiv представим выражение (1.7) в виде
q
kjir
zyx ++= .
1
=
4
πε
=
3
r
0
;..,0
rr
rrE
)(
rf
, (1.10)
6
После соответствующих вычислений получим, что для электростати-
r
E
r
r
r
=
ϕ
rrrrr
r
∂
∂∂∂
∂
∂∂∂
∂
E
r
E
r
ческого поля одиночного заряда
0rot =E
, 0div =Er. (1.11)
Это означает:
1. Из первого равенства следует, что поле потенциальное, вектор
является градиентом скалярного поля, называемого
потенциалом ϕ элек-
тростатического поля:
ϕ−= gradE
. (1.12)
2. В потенциальном поле работа сил поля по перемещению вносимо-
го заряда определяется только разностью потенциалов исходной и конечной точек и не зависит от формы пути.
3. Поле соленоидальное в точках, не принадлежащих области
V. Ли-
нии напряжённости электростатического поля непрерывны, а это значит,
что в этих точках источники поля отсутствуют.
Потенциал электростатического поля. Установлено, что в электро-
статическом поле имеет место равенство (1.12). Определим выражение
ϕ. Так как )(rf=E
для
∂
=
grad rkjikji
где
0
+
∂
Поскольку выражение для
и (1.13) и найдя первообразную, определим
Знак «–» в выражении (1.12) учитывает, что вектор
«+» к «–», а grad
, то предположим, что и )(rf
∂
∂
2222
zyxr ++= .
+
=
∂
∂
+
+
∂∂∂
∂
, тогда
=
r
rzrryrrxrrzyx ∂
, (1.13)
0
известно, приравнивая выражения (1.7)
ϕ как
q
=ϕ
41πε
, В. (1.14)
r
0
направлен от
ϕ направлен в сторону увеличения потенциала. Линии
равных потенциалов (эквипотенциали) образуют своеобразные энергетические уровни.
1.3. ПОЛЕ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
Пусть имеется система, состоящая из N зарядов (рис.1.15). Поле в точ-
ке
М будет определяться как векторная сумма полей каждого из зарядов
а потенциал, соответственно,
N
rr
=
EE
, (1.15)
n
∑
n
=
1
7
Z
X
M
r
r
r
θ ψ
r
E
r
ϕ+ϕ
θ=ϕ
r
e
r
e
r1
l
q1
0
θ
r
r
2
ψ
e
θ
l
q
2
Y
В соответствии с выражением (1.16) определим потенциал в точке М.
Рис. 1.4. Система зарядов
N
ϕ=ϕ
. (1.16)
n
∑
n
=
1
q
=ϕ+ϕ=ϕ
21
πε
q
πε
r
=
444 rr
−
r
πε
⎛
q
11
⎜
−
⎜
⎝
2102010
⎞
⎟
. (1.17)
⎟
⎠
В сферической системе координат (рис. 1.4) рассмотрим два различ-
ных заряда, отстоящих на расстоянии
Для того чтобы записать выражение для вектора
системе координат, вспомним, что
d
=ϕ eee
grad
и учитывая, что ), ( rf
= eeE
ql
πε
4
0
r
, запишем
()
3
r
l друг от друга.
11
+
θ
rddrdr
sin
rr
θ+θ
sincos2
r
θ
в сферической
rrr
d
, (1.18)
ψθ
ψϕθ
d
, В/м. (1.19)
1.4. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО–ГАУССА,
МАТЕРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Поле объёмных зарядов. Пусть заряды расположены в некотором
объёме не дискретно, как было на рис. 1.4, а непрерывно с объёмной
плотностью
ρ. В этом случае потенциал в точке М, если использовать вы-
ражения (1.3) и (1.14), запишется
8
=ϕ
r
r
r
r
r
r
ϕ
−
4
πε
dV
. (1.20)
∫
r
0
V
ρ
1
Во всех предыдущих случаях мы рассматривали ситуацию, когда по
известному распределению заряда определялось поле – так называемая
прямая задача. Иногда необходимо решать обратную задачу – найти закон
распределения заряда по заданному полю.
Пусть в объёме V распределён электрический заряд q с объёмной
плотностью
дом. Определить закон распределения заряда в области
замкнутой поверхностью
ρ. Известно электростатическое поле, создаваемое этим заря-
V. Окружим V
S. Для этого обратимся к закону Гаусса
q
=
E
dS
∫
S
, (1.21)
ε
0
согласно которому поток вектора напряжённости электростатического
поля через замкнутую поверхность
S, охватывающую совокупный заряд q,
пропорционален величине этого заряда.
С учётом соотношения (1.3) закон Гаусса можно записать
1
ρ
=
E
dVdS
. (1.22)
∫∫
ε
0
VS
С учётом теоремы Остроградского–Гаусса, которая непосредственно
вытекает из определения дивергенции (поток вектора напряжённости
электростатического поля через замкнутую поверхность, ограничивающую объём
V, равен расхождению поля из этого объёма), запишем
=
Приравнивая правые части равенств (1.22) и (1.23), получим
divE
dVdS EE
div . (1.23)
∫∫
VS
1
ρ
=
dVdV
, (1.24)
∫∫
ε
0
VV
откуда
/div ερ=E
. (1.25)
0
Уравнение (1.25) даёт возможность решать обратную задачу. Если
известен закон изменения потенциала
уравнения Пуассона
ϕ, уравнение (1.25) принимает вид
/ =) graddiv( ερ
. (1.26)
0
9
E
r
r
r
rrr
−
=
rrrrr
P
r
r
r
r
σ
−
σ
σ
−
+
E
r
r
0
E
д
Электростатическое поле
в диэлектрике.
В соответствии
с принципом суперпозиции результирующее поле
вается из внешнего поля
поля поляризационных зарядов
E
(рис. 1.5):
д
EEE
+= ,
д0
Вектор электрической индукции или вектор электрического смещения, Кл/м
Рис. 1.5. Электрическое поле
где
– вектор электрической поляризации; kэ – диэлектрическая воспри-
имчивость вещества; k
в диэлектрике
– абсолютная восприимчивость; 1 + kэ = ε – от-
эε0
носительная диэлектрическая проницаемость среды; εε
k
= εа – абсолютная
0
диэлектрическая проницаемость среды.
С другой стороны:
ED
ε= . (1.29)
00
Сравнивая (1.28) и (1.29), находим напряжённость электрического
поля в изотропном диэлектрике
Поле
Е определяется формулой
0
0
Поле
Е определяется формулой
д
д
r
E
0
E
=
. (1.30)
ε
σ+
+
=+=
EEЕ . (1.31)
σ−σ+
=+=
EEЕ . (1.32)
σ−σ+
дд
22 ε
ε
σ
ε
00
д
д
д
0
=
+
22
ε
ε
0
0
склады-
EEE
(1.27)
2
:
EEPED
k
0э00
rrr
EEE
ε=εε=+ε=
a0э0
(1.28)
E
и
0
.
д0
=ε+ε=+ε=
,)1(
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]