Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитные поля. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям 211000, 210400
.pdf
1.5. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
r
r
Электростатическое поле зарядов, распределённых с объёмной плот-
ностью ρ в объёме V, обладает запасом энергии
dW
dV
1
×=ϕρ=
dVdVW DE
∫∫
2
VV
1
э
, Дж. (1.33)
DErr×==
, Дж/м3. (1.34)
2
1
э
Объёмная плотность энергии равна
2
w
э
Для изотропной среды
2
2/
Ew ε= . (1.35)
aэ
Контрольные вопросы
1. Что собой представляет электростатическое поле?
2. Сущность закона Кулона.
3. От каких параметров зависит напряжённость электрического поля?
4. От каких параметров зависит потенциал электрического поля?
5. Напряжённость и потенциал поля системы зарядов.
6. Напряжённость и потенциал поля электрического диполя.
7. Поле объёмных зарядов.
8. Электростатическое поле в диэлектрике.
9. Энергия электростатического поля.
11
2. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
t
r
r
E
r
r
r
r
r
=
ϕ1ϕ2ϕ
r
E
r
2.1. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.
Постоянный электрический ток – упорядоченное движение элек-
трически заряженных частиц.
Сила тока – скорость изменения заряда q в объёме V со временем,
взятая с обратным знаком:
Знак «–» означает, что ток направлен против движения электронов.
Вектор плотности тока. Так как сила тока I – скаляр, она не даёт
исчерпывающей информации об электрическом токе. Введём понятие
вектора плотности электрического тока проводимости
сти тока (рис. 2.1)
1. Ориентация jr совпадает с направлением движения положительных зарядов, т.е. совпадает с вектором
2. Модуль
тельных зарядов, пересекающих единичную
поверхность, перпендикулярную направлению
их движения (рис. 2.1).
2.2. ЗАКОН ОМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ.
Определим связь между вектором плотности
.E
ности
Рассмотрим прямолинейный участок внешней электрической
ВЕКТОР ПЛОТНОСТИ ТОКА
dq
I −= . (2.1)
d
dI
=j
.
dS
внешнего поля.
j
равен силе тока положи-
Рис. 2.1. Плотность тока
УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ
j
и вектором напряжён-
j
или плотно-
ϕ
2
>
1
l
S
j
j
цепи в виде однородного проводника постоянного сечения. Модуль
равен
Сопротивление проводника R равно
SIj /= , откуда
jSI
. (2.2)
l
1
Rγ=
, где γ – удельная про-
S
водимость.
12
Тогда
r
r
r
E
r
rrr
E
r
rrr
E
r
r
r
r
r
r
r
U
I E
R
С учетом (2.2) и (2.3) можно записать
21
∫
l
., Ej
γ=γ= Ej (2.4)
./)(
γ===ϕ−ϕ==
SEEldlR
(2.3)
Эти выражения – закон Ома в дифференциальной форме для участка
внешней цепи.
Закон Ома для полной цепи. Если имеет место в цепи стороннее
электрическое поле
стор
, которое обусловлено действием внешних причин, не связанных с электрическими зарядами, то в этом случае закон Ома
запишется
стор
)(
EEj
+γ= . (2.5)
Внешние причины могут быть механического, химического, теплового
или иного происхождения.
стор
Выясним характер стороннего поля
, для чего рассмотрим циркуляцию векторов плотности тока проводимости по контуру l, включающему внутренние и внешние цепи. Проинтегрируем (2.5) по «dl»:
1
γ
Поле
а это значит, что
постоянного тока потенциально ( ϕ−== grad ,0rot EE
=ldl 0E
∫
. Учтём, что полное сопротивление контура
стор
+=
∫∫
ll
dldl )(
EEj
. (2.6)
),
RRR += .
внешвн
Тогда
1
I
=
jl
γ
γ
S
RRIIRl
внешвн
,)(
ε=+==
E
стор
=ε
dl
∫
l
. (2.7)
Этот результат показывает, что циркуляция вектора напряжённости
стороннего электрического поля по замкнутому контуру отлична от нуля,
из чего следует вывод, что это поле не может быть потенциальным и яв-
стор
0rot
≠E
ляется вихревым, т.е.
Уравнение
Ома для полной цепи
стор
l
(закон Ома в интегральной форме).
.
)(
RRIdl
+==ε∫E
представляет собой закон
внешвн
Уравнение непрерывности (закон сохранения заряда в дифферен-
циальной форме). Изменение заряда в объёме V, ограниченном поверхностью S, определяется силой тока I
13
t
q
∂
ρ
∂
r
r
r
ρ
r
t
r
r
S
r
r
r
r
I
−= или .
∂
−=
I (2.8)
dV
∫
∂
t
V
Данное выражение устанавливает связь между интегральными характеристиками – силой тока и совокупным электрическим зарядом q в
объёме V, ограниченном поверхностью S.
Исходя из определения плотности тока проводимости
Гаусса–Остроградского, можно записать
Приравнивая правые части (2.8) и (2.9), получим
==
dVdSI jj
div . (2.9)
∫∫
VS
∂
−=
dVj
dV
∫∫
∂
t
VV
.div
j
и теоремы
Тогда
div . (2.10)
∂
ρ∂
−=j
Дифференциальное уравнение (2.10) в частных производных называется
уравнением непрерывности и может рассматриваться как математи-
ческая формулировка закона сохранения заряда для бесконечно малого
объёма.
2.3. ЗАКОН АМПЕРА. МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Свойства магнитного поля рассмотрим для случая постоянного тока.
Пусть в вакууме расположены два элемента тока
lrd . Под элементом
тока понимают тонкий отрезок проводника с током, длина которого значительно меньше расстояния до точки наблюдения, а направление совпа-
j
дает с направлением вектора плотности тока
I
(рис. 2.2).
I
вн
Frd
ld
lrd
Рис. 2.2. Взаимное влияние двух элементов
14
j
d
r
j
вн
вн
Brd
Согласно закону Ампера первый элемент тока будет действовать на
r
r
r
r
r
r
r
rrr
r
rrr
rrr
r
r
r
r
r
внешний элемент тока с силой
r
где
μ – магнитная проницаемость среды (вакуума); B
0
r
dId ×=
×=
lF
внвн
r
Id
⎤
×
rl
⎥
3
r
⎦
⎡
μ
0
⎢
π
4
⎣
r
ddI
,
Bl
внвн
(2.11)
– вектор магнит-
ной индукции согласно закону Био–Савара–Лапласа.
Для контура постоянного тока длиной L и сечением S вектор магнит-
ной индукции в любой точке пространства определяется по формуле
r
B
×
μ
=
4
rj
0
π
dV
∫
r
V
. (2.12)
3
Магнитное поле постоянного тока соленоидально – магнитные силовые линии всегда замкнуты, источников магнитного поля, на которые они
замыкаются, в пространстве нет. Силовые линии электрического поля
начинаются и оканчиваются на электрических зарядах.
2.4. НАПРЯЖЁННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
При отсутствии магнитного поля стороннего источника в намагниченных средах магнитное поле создаётся только молекулярными
токами
. При введении в среду внешнего магнитного поля
м
B
вн
созда-
B
ётся результирующее поле
BBB
+= . (2.13)
внм
Поскольку вакуумное магнитное поле молекулярных токов
звано соленоидальным полем, то и результирующее поле соленоидально:
0div ,0div ,0div
=== BBB
.
внм
B
вы-
м
Кроме того:
rot ,rot jBjB
где
j
– вектор плотности молекулярных токов (или вектор плотности
м
магнитных токов), определяемый как
rotм= ,
где J
– вектор намагниченности или намагниченность единицы объёма
μ=μ= ,
м0м0вн
Jj
вещества.
15
Циркуляция вектора Br равна
rrrrr
r
H
r
r
r
rrr
r
r
rrr
Из выражения (2.14) находим
r
=
j
где
– вектор напряжённости магнитного поля.
Для изотропных сред справедливо
где
k – магнитная восприимчивость вещества.
м
С учётом выражений (2.15) и (2.16) получим
где μ=+
1 k – относительная магнитная проницаемость среды;
м
μ=μμ – абсолютная магнитная проницаемость среды.
a0
JjBBB
rotrot
μ+μ=+= . (2.14)
⎡
B
−
⎢
μ
⎢
⎣
0
k= (2.16)
)1( μ=μμ=+μ= k , (2.17)
00мвн
rr
⎤
=
⎥
⎥
⎦
, (2.15)
HJ
rotrot
,мНJ
HHHB
a0м0
Уравнение (2.17) называется материальным, так как описывает мак-
роскопические свойства вещества в магнитном поле.
2.5. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ РАМКИ С ПОСТОЯННЫМ ТОКОМ
Простейшим источником магнитного поля (МП) постоянного тока в
природе является электрон, вращающийся с постоянной скоростью вокруг ядра. Орбита электрона образует элементарную рамку.
Элементарная рамка – плоский замкнутый контур, выполненный из
тонкого проводника длиной, много меньшей расстояния до точки наблюдения, с постоянным током (рис. 2.3). Поместим рамку в сферическую
систему координат (рис
. 2.4).
Магнитное поле в точке М (r >> 2πa) определится как
r
2
π
aI
= eeH
3
4
π
v
r
r
)sincos2(
θ+θ
. (2.18)
θ
Данное выражение имеет ту же
I
a
структуру, что и для электрического
диполя, поэтому элементарную рамку ещё называют магнитным диполем. По аналогии с диполем здесь
вводится понятие магнитного мо-
Рис. 2.3. Элементарная
магнитная рамка
16
мента
2
nnm
ISaI =π=
, (2.19)
Z
X
M
r
r
r
θ ψ
r
r
r
e
r
e
ψ
l
0
r
мj
r
θ
e
θ
Y
Рис. 2.4. Магнитная рамка в сферической системе координат
где nr – вектор нормали к плоскости рамки, направление которого определяется как
Магнитное поле обладает запасом энергии
ja
× (правило буравчика).
2.6. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
∞
1
м
∫
2
∞−
Дж, (2.20)
,
dVW BHrr×=
распределённой с плотностью
dW
1
w
м
м
dV
BHrr×==
2
, Дж/м
3
. (2.21)
Для изотропных сред
2
Hwμ
a
2
, Дж/м
=
м
Контрольные вопросы
3
. (2.22)
1. Что собой представляет постоянное магнитное поле?
2. Сущность закона Био–Савара–Лапласа.
3. Методика расчёта напряжённости магнитного поля.
4. Методика расчёта индукции магнитного поля.
5. От каких параметров зависит напряжённость магнитного поля?
6. От каких параметров зависит индукция электрического поля?
7. От каких параметров зависит движение электрона в магнитном поле?
8. Методика расчёта энергии
магнитного поля.
17
3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
=
ρ
∂
r
r
=
r
(
ρ
∂+t
r
r
t
3.1. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
ЭМП – это вид материи, оказывающей силовое воздействие на заряженные частицы, характеризуемый неразрывно связанными друг с другом
и меняющимися во времени электрическим и магнитным полями.
Электростатическое поле (ЭП) создаётся неподвижными и неизменными во времени зарядами (
ЭП и стационарное магнитное поле (МП) постоянного тока (
r
r
jH
=rot
,
0div =H
) являются частными случаями электромагнитного
поля (ЭМП).
ЭМП заряженных частиц, состояние которых характеризуется скоростью их движения v и величиной заряда, являющегося функцией времени –
()
)
tdtdtf /,v ρ= .
,
0v
,
0/=∂
t
,
0rot =E
/div ερ=E
a
constv
),
,
Исходя из уравнения непрерывности
j
и учитывая, что,
0div =
∂
например, в диэлектрике помимо тока проводимости присутствует также
ток смещения, можно получить
первое уравнение Максвелла (I УМ)
r
r
rot , (3.1)
∂
E
jH
ε+=
a
t∂
устанавливающее связь между переменным во времени электрическим
полем и возникающим вокруг него магнитным полем.
Физический смысл:
когда имеет место ток проводимости
во времени электрического поля
МП возникает не только при движении зарядов,
, но и при наличии изменяющегося
.
Второе уравнение Максвелла (II УМ) вытекает из закона ЭМ ин-
дукции Фарадея (1831):
dФ
, (3.2)
−=ε
d
согласно которому, если через поверхность, ограниченную проводящим
контуром, проходит меняющийся во времени магнитный поток Ф, то в
контуре возникает ЭДС индукции. II УМ имеет вид
rot . (3.3)
r
r
∂
μ−=HE
a
t∂
Физический смысл: В ЭМП электрическое поле является вихревым.
Причиной ЭП
времени МП
18
, помимо электрических зарядов, является изменяющееся во
.
Полная система дифференциальных уравнений Максвелла
r
rrr
r
r
I
r
r
включает в себя следующие уравнения:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Вспомогательные уравнения: .;
r
r
r
E
r
E
=
r
H
=
E
∂
jH
μ−=
ρ
ε
a
;rot
ε+=
a
t
∂
r
H
∂
;rot
a
t
∂
(3.4)
;div
.0div
HBED
μ=ε=
aa
Интегральная форма уравнений Максвелла. Интегральным ана-
логом первого уравнения Максвелла является так называемый закон полного тока или теорема циркуляции: циркуляция вектора по замкнутому
контуру интегрирования равна полному току, протекающему через площадь, охваченную контуром интегрирования:
H
∫
l
Физический смысл I УМ: Токи смещения
проводимости
образуют магнитное поле. Закон изменения ЭП во вре-
мени определяет закон распределения МП в пространстве
+==
IIIdl
. (3.5)
смещп
I наравне с токами
смещ
.
Интегральным аналогом второго уравнения Максвелла является за-
кон электромагнитной индукции
r
∫
l
∂
. (3.6)
−=
dlФE
∂
t
Физический смысл II УМ: Переменное магнитное поле образует
вихревое электрическое поле
закон распределения ЭП в пространстве
. Закон изменения МП во времени определяет
.
Интегрируя III УМ по объёму и применяя формулу Остроградского–
Гаусса, получим
∫∫
SV
=ρ=
qdVdSD
. (3.7)
Это равенство называется теоремой Гаусса: поток вектора элек-
трической индукции через произвольную замкнутую поверхность определяется электрическим зарядом q
ном поверхностью S
.
, содержащимся в объёме V, ограничен-
19
Подобным образом получим интегральную запись IV УМ
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
=Sd 0SB
∫
, (3.8)
выражающую непрерывность линий магнитной индукции.
Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:
⎧
∫
⎪
l
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
+==
lH
r
r
d
lЕ
∫
L
r
∫
S
r
∫
S
IIId
;
смещп
∂
Ф
−=
;
∂
t
r
=
qd
SD
(3.9)
;
r
=
.0
d
SB
Отметим, что уравнения Максвелла в дифференциальной форме
справедливы лишь тогда, когда параметры среды либо не зависят от координат, либо являются их непрерывными функциями. Уравнения Максвелла в интегральной форме применимы во всех случаях, включая и те, когда
параметры среды, или хотя бы один из них, изменяются скачками.
3.2. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Распространение электромагнитного поля в пространстве определяется решением системы уравнений Максвелла (3.9) применительно к конкретной среде, в которой распространяется электромагнитное поле.
Рассмотрим, как будут выглядеть эти уравнения при условии, что на
среду, в которой распространяется электромагнитное поле, накладываются следующие условия:
1. Среда является изотропной. Тогда ED
ческая проницаемость среды ε и магнитная проницаемость μ являются
скалярными величинами. Тогда, используя определения
HB
μμ=
, получаем уравнения Максвелла в следующем виде:
0
r
⎧
rot
⎪
r
ε+=
jH
0
⎪
⎪
r
⎪
rot
E
⎨
⎪
⎪
0
⎪
⎪
0
⎩
μ∂
H
μ−=
0
∂
t
r
;)div(
ρ=εε
E
|| , HB
)(
ε∂
E
;
∂
t
r
)(
;
|| , а диэлектри-
ED
εε=
и
0
(3.10)
rr
0.)div( ;0)div(
=μ=μμ
HH
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]