Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитные поля. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям 211000, 210400
.pdf
2. Среда является однородной. Тогда для всех точек среды диэлек-
r
r=μ
r
=
ε
r
=
μ
r
=
ρ
r
трическая проницаемость и магнитная проницаемость не зависят от координат –
=ε и ).(const r
Максвелла будет иметь вид
)(const r
r
⎧
rot
⎪
⎪
⎪
r
⎪
rot
E
⎨
⎪
⎪
0
⎪
⎪
0
⎩
При этом условии система уравнений
r
ε+=
jH
μ−=
0
r
ρ=εε
;div
E
)(
ε∂
E
0
;
∂
t
r
μ∂
)(
H
;
∂
t
(3.11)
rr
=μ=μμ
0.)div( ;0)div(
HH
3. Среда не является сегнетоэлектрической. Тогда диэлектриче-
ская проницаемость среды не зависит от времени –
лучаем:
r
⎧
⎪
⎪
⎪
r
⎪
E
rot
⎨
⎪
⎪
0
⎪
⎪
0
⎩
r
jH
μ−=
r
E
E
∂
εε+=
;rot
0
∂
t
r
H
μ∂
)(
0
ρ=εε
;
∂
t
;div
rr
HH
=μ=μμ
(3.12)
0.)div( ;0)div(
).(const t
Тогда по-
4. Среда не является ферромагнитной или ферритной. Тогда маг-
нитная проницаемость среды не зависит от времени –
получаем
r
⎧
rot
⎪
⎪
⎪
r
⎪
E
⎨
⎪
⎪
0
⎪
⎪
0
⎩
5. Среда не заряженная. Тогда ,0
ниях (3.10)
r
jH
r
E
E
ε∂
ε+=
μμ−=
0
ρ=εε
)(
0
;
t
∂
r
H
∂
;rot
t
∂
;div
rr
HH
=μ=μμ
0.)div( ;0)div(
следовательно, в уравне-
.0div =E
(3.14)
(3.13)
).(const t
Тогда
21
6. Среда не проводит электрический ток (непроводящая). Тогда
r
r
rrrrrrrrr
ttt
t
r
r
t
r
t
r
.0=j
Тогда уравнения (3.10) примут вид
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
r
H
r
E
r
E
E
∂
εε=
;rot
0
t
∂
r
H
∂
μμ−=
;rot
0
=
;0div
(3.15)
t
∂
r
H
=
0.)div(
Проанализируем систему уравнений (3.15) в целях получения волнового уравнения. Для этого применим операцию rot ко второму уравнению
системы (3.15). При этом правая часть этого уравнения преобразуется,
согласно свойству векторных операций и двойного векторного произведения, к виду
)()rot(rot , (3.16)
2
∂
где Δ – оператор Лапласа, .
∂
+
=Δ
2
∂
∂
2
2
∂
+
2
2
zyx ∂
22
EEEEE
Δ−=×∇−=×∇−×∇×∇=
Операция rot, применённая к правой части второго уравнения системы (3.15), приводит к выражению
r
∂
μμ
H
∂
∂
μμ=
∂
∂
εε
rotrot
∂
2
∂
EE
. (3.17)
εμεμ=
00000
2
∂
Подставляем формулы (3.16) и (3.17) во второе уравнение системы
(3.15), получаем
r
2
∂
. (3.18)
εμεμ=ΔEE
00
2
∂
Формула (3.18) представляет собой волновое уравнение для напряжённости электрического поля.
Если применить операцию rot к первому уравнению системы (3.15),
то получим волновое уравнение для напряжённости магнитного поля
r
2
∂
.
εμεμ=ΔHH
00
(3.19)
2
∂
Таким образом, электромагнитная волна представляет собой распространение в пространстве электрического и магнитного полей, которое
происходит согласно волновым уравнениям, имеющим вид:
22
r
r
rrr
=
μ
rrr
r
r
r
r
⎧
E
⎪
⎪
⎨
r
⎪
H
⎪
⎩
2
∂
E
εμεμ=Δ
;
00
2
∂
t
(3.20)
r
2
∂
H
εμεμ=Δ
00
.
2
∂
t
Форма этих уравнений совпадает с формой волнового уравнения в
механике. При этом коэффициент перед второй производной по времени
равен
1
=εμεμ , (3.21)
00
V
где V – скорость распространения электромагнитных волн. Эта величина
получается и при проверке размерности названного коэффициента. Теперь волновые уравнения для электромагнитных волн имеют вид:
r
⎧
E
⎪
⎪
⎨
r
⎪
H
⎪
⎩
00
00
2
∂
E
εμεμ=Δ
∂
∂
εμεμ=Δ
E
2
r
2
∂
r
H
H
2
2
∂
E
=
εμεμ−Δ
00
∂
∂
εμεμ−Δ
00
0; ,
2
tt
2
∂
tt
r
H
=
2
(3.22)
0. ,
Из формулы (3.21) найдём скорость распространения электромагнитных волн в среде
1
=
В вакууме 1 и 1
кууме будет равна
V
=ε , тогда скорость электромагнитных волн в ва-
8
м/c103/1
⋅=εμ=V .
00
εμεμ
00
. (3.23)
Волновые уравнения (3.22) являются уравнениями в частных производных. Эти уравнения решаются методом Фурье или методом Даламбера. Применение этих методов показывает, что решением таких волновых
уравнений являются функции, которые имеют вид:
⎧
⎪
rr
⎨
⎪
⎩
+×−ω=
t
0
0
r
t
; )αcos(
rkEE
r
rkHH
(3.22)
+×−ω=
, )αcos(
где fT π=π=ω 2/2 – циклическая частота; Т – период колебаний; f – час-
)/2( nk
λπ=
тота колебаний;
вектор);
fVVT /==λ – длина волны, которая показывает, на какое рас-
стояние распространяется волна за время, равное периоду;
– коэффициент распространения (волновой
0
n
– вектор
0
23
по модулю равен единице, а по направлению совпадает с направлением
r
r
r
r
r
r
r
распространения волны.
Формулы (3.24) показывают значения векторов напряжённости элек-
трического и магнитного поля в момент времени
r
которой равен
. Это уравнение называется уравнением монохроматиче-
t в точке, радиус-вектор
ской волны, которая распространяется в направлении любого радиусвектора
r
.
Волны характеризуются волновой поверхностью. Волновой поверхностью называется поверхность, все точки которой колеблются в одинаковой фазе, т.е. уравнение волновой поверхности имеет вид
t (3.25)
const.α =+×−ω rk
Волна называется плоской, если её волновые поверхности представляют собой плоскости. Волна называется сферической, если её волновые
поверхности представляют собой сферы.
Кроме понятия волновой поверхности, используется понятие волнового фронта. Волновым фронтом называется последняя волновая поверхность, до которой дошла волна в данный момент времени. Волновой
фронт делит всё пространство на
две части, в одной из них волна уже рас-
пространилась, а в другой – ещё нет.
3.3. ПРОДОЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ
Волны любой природы принято делить на продольные и поперечные
волны. Это два предельных случая распространения колебаний.
Волна называется продольной, если направление колебаний мате-
риального объекта (частиц, полей) совпадает с направлением распространения волны или с направлением распространения колебаний. Типичным
примером продольных волн являются звуковые волны, распространяющиеся в твёрдых, жидких и газообразных телах. Если рассматривать механические волны, то продольные волны связаны с деформацией растяжения и сжатия упругой
среды, в которой волны распространяются.
E
H
Рис. 3.1. Распространение электромагнитной волны
24
n
Волна называется поперечной, если направление колебаний мате-
rrr
r
E
r
H
r
r
риального объекта (частиц, полей) перпендикулярно направлению распространения волн или направлению распространения колебаний. Если
рассматривать механические волны в упругой среде, то такие волны связаны с деформацией сдвига. Такие волны возможны в твёрдых и жидких
телах. В качестве примера поперечных волн можно привести волны на
поверхности
воды, хотя, если учесть все особенности этих волн, то строго
поперечными их считать нельзя.
Если электромагнитная волна распространяется в однородной и изотропной среде, не обладающей сегнетоэлектрическими и ферромагнитными свойствами, а также не проводящей электрический ток, так что векторы напряжённости электрического и магнитного полей и единичный
вектор направления распространения
nHE
⊥⊥ , то в указанных условиях электромагнитные волны являются
волны взаимно перпендикулярны
поперечными волнами (рис. 3.1).
В общем случае электромагнитные волны могут быть и продольными, например, если электромагнитная волна распространяется в плазме.
В других средах векторы напряжённостей электрического и магнитного
полей могут колебаться под углами, не равными 90°. Таким образом, при
изучении распространения электромагнитных волн
важную роль играют
свойства среды, в которой они распространяются.
3.4. ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН.
ВЕКТОР ПОЙНТИНГА
Основным свойством волн любой природы является то, что волна
переносит на расстояние энергию. Поэтому найдём плотность энергии,
которую несёт электромагнитная волна. Для решения этой задачи запишем первое и второе уравнения из системы (3.15):
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Умножим первое из этих уравнений скалярно на вектор
на вектор
:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
r
H
r
E
E
∂
εε=
;rot
0
t
∂
(3.26)
r
H
∂
μμ−=
.rot
0
t
∂
, а второе –
rrr
E
∂
EHE
×εε=×
0
0
;rot
t
∂
(3.27)
r
rrr
H
∂
HEH
×μμ−=×
.rot
t
∂
25
Теперь вычитаем из второго уравнения формулы (3.27) первое урав-
rrr
rrrrrrrrrrrrrrr
rrr
нение
rrrrr
⎛
rotrot . (3.28)
Рассмотрим подробно левую часть формулы (3.28)
⎜
⎜
⎝
H
∂
HHEEH
×μμ−=×−×
∂
E
00
⎞
E
∂
⎟
×εε+
⎟
∂
tt
⎠
)(div)()()(rotrot HEHEHEEH HEEH
×=××∇=×∇×−×∇×=×−× .
(3.29)
Рассмотрим правую часть выражения (3.28)
r
⎛
⎜
⎜
⎝
H
∂
H
×μμ−
E
×εε−
∂
Подставляем формулы (3.29) и (3.30) в формулу (3.28)
)(div
⎞
E
∂
⎟
⎟
∂
⎠
∂
⎛
−=× EHHE
⎜
⎜
t
∂
⎝
1
∂
⎛
−=
⎜
⎜
2
ttt
∂
⎝
1
0
2
2
000
1
2
εε+μμ
0
2
rr
1
2
rrrr
2
⎞
2
EH
εε+μμ
⎟
0
⎟
⎠
⎞
.
(3.31)
⎟
⎟
⎠
. (3.30)
Из электростатики известно, что плотность энергии электрического
поля определяется формулой
rrr
1
0э
2
1
2
2
.
DEE
×=εε=w (3.32)
При изучении магнитного поля также было получено, что плотность
энергии магнитного поля определяется формулой
1
w
2
2
0м
rrr
1
BHH
×=μμ=
. (3.33)
2
Тогда плотность энергии электромагнитного поля определяется фор-
мулой
1
0мэ
2
1
2
0
2
Подставляем формулу (3.34) в формулу (3.31)
rr
1
2
2
∂
w
−=× )(div HE
. (3.35)
t∂
rrrrrr
)(
BHDEHE
×+×=μμ+εε=+= www . (3.34)
Если среда не проводит электрический ток, то плотность энергии
магнитного поля и плотность энергии электрического поля в электромагнитной волне равны
rr
1
2
2
2
.
HE
μμ=εε== ww
(3.36)
0
26
1
0мэ
2
Из этой формулы следует, что в бегущей электромагнитной волне
H
E
rrr
×
=
rrr
плотность энергии магнитного поля равна плотности энергии электрического поля. Это естественный вывод, который отражает закон сохранения
энергии. В случае если волны распространяются в проводящей среде, это
условие выполняться не будет.
С учётом формулы (3.36) плотность энергии электромагнитного поля
можно записать в виде
1
0мэ
2
1
2
2
2
0
2
0
rrrr
HEHE
μμ=εε=μμ+εε=+= www
0
2
.
(3.37)
Формула (3.35) показывает, какова скорость плотности энергии волны, распространяющейся в пространстве. В левой части формулы (3.35)
содержится величина, которая определяется формулой
П
. (3.38)
Величина Пr называется вектором Умова–Пойнтинга, который направлен по направлению распространения волны, т.е. по направлению
вектора
r
(рис. 3.1). Вектор Умова–Пойнтинга определяет плотность по-
n
тока энергии электромагнитного поля.
Найдём модуль этого вектора
rrrrr
r
=××=×=
П
nHE HE
Если ввести обозначение показателя преломления среды εμ=
тогда вектор Умова–Пойнтинга можно выразить через скорость света
r
wс
П . (3.40)
n
Амплитудная связь между Еm и Нm имеет вид
H
=
где Z – волновое сопротивление среды:
a
Для вакуума
/
ωμ
2
εε
E
0
==
k
E
a
=ωμ= kZ
000
00
wс
n
mm
ωμ
=×
n
μεμε
rr
nn
прпр
E
m
=
, (3.41)
Z
a
=
μεω
aa
377120/
≈π=εμ=Z
2
μμ
H
0
μεμε
00
μ
a
. (3.42)
ε
a
rr
wV=×
nn
. (3.39)
n ,
пр
Ом.
27
3.6. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ
Н
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
На рисунке 3.2 изображена граница раздела двух сред с различными
электрическими параметрами. Для примера показано разложение вектора
напряжённости электрического поля на тангенциальную (касательную к
границе раздела) и нормальную (перпендикулярную к границе раздела)
составляющие.
На границе раздела двух сред тангенциальные составляющие векторов напряжённости электрического поля непрерывны E
= Eτ2, а нормаль-
τ1
ные составляющие векторов электрического поля претерпевают скачок,
определяемый отношением диэлектрических проницаемостей сред:
Направление вектора E на границе раздела двух сред изменяется
tg
α
1
tg
α
2
ε
a2
EE
=
1
ε
EE
τ
n
12
EE
12
n
. (3.43)
nn
2
a1
E
ε
n
1
2
===
. (3.44)
ε
E
τ
1
2
n
На границе раздела (рис. 3.3) двух сред тангенциальные составляющие векторов напряжённости МП непрерывны
I
ε
, μa1, γ1
a1
E
n1
H
= Hτ2, а нормальные
τ1
E1
E
τ1
E
, μa2, γ2
ε
a2
II
E
n2
τ2
E
2
Рис. 3.2. Среды с различными электрическими параметрами
Н2
1
Н
τ1
Н
τ2
I
, μa1, γ1
ε
a1
ε
, μa2, γ2
a2
II
Н
n1
Н
n2
Рис. 3.3. Среды с различными электрическими параметрами
28
составляющие векторов напряжённости МП претерпевают скачок, опре-
E
r
E
r
E
r
E
r
r
r
r
E
r
деляемый отношением магнитных проницаемостей сред:
Направление вектора H на границе раздела двух сред изменяется
tg
β
1
tg
β
2
μ
2a
=
HH
. (3.45)
nn
1
HH
τ
HH
n
2
μ
1a
H
μ
n
n
1
12
H
12
τ
2
===
. (3.46)
μ
1
2
n
3.7. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Под поляризацией ЭМВ понимают ориентацию в пространстве вектора напряжённости электрического поля
дящая через вектор
называют плоскостью поляризации, а плоскость, проходящую через векторы
r
картинной плоскостью (рис. 3.4).
и
,H
и направление распространения волны (вектор Пr),
(рис. 3.4). Плоскость, прохо-
Если при распространении плоской волны изменение во времени
вектора
по величине и направлению не приводит к изменению ориентации плоскости поляризации в пространстве, то волна называется линейно поляризованной (рис. 3.5). При этом поляризация называется вертикальной, если плоскость поляризации перпендикулярна плоскости
y0z.
Поляризация называется горизонтальной, если плоскость поляризации
параллельна плоскости
y0z.
E
H
Рис. 3.4. Ориентация в пространстве вектора
П
29
Другие случаи линейной поляризации
E
r
E
r
E
r
E
r
H
r
r
r
r
λ
r
r
r
r
λ
E
r
E
описывают наклонную поляризацию. Она характеризуется углом наклона относительно
плоскости
x0y (рис. 3.5).
В тех случаях, когда пространственное
положение плоскости поляризации изменяется,
поляризация называется вращающейся.
r
E
Если вектор
величине, но вращается с угловой скоростью в
остаётся постоянным по
картинной плоскости (перпендикулярной направлению распространения волны), то поляризация называется круговой. При этом волна
Рис. 3.5. Линейная
поляризация
считается волной правого вращения, если,
смотря по направлению распространения вол-
ны, вектор
поворачивается по часовой
стрелке. В другом случае (вращение против часовой стрелки), волна левой
поляризации (рис. 3.6).
Если вектор
за период изменяет свою амплитуду совместно с поворотом плоскости поляризации, волна называется эллиптически поляризованной (рис. 3.7).
Для создания различных видов поляризации ЭМВ можно использовать
два взаимно перпендикулярные элементарные электрические вибраторы с
I
токами
и I2, которые могут отличаться по амплитуде и фазе (рис. 3.8).
1
Вектор
имеет две составляющие Е
и Еу, которые могут иметь
х
разные амплитуды и изменяются с некоторым фазовым сдвигом в зависимости от соотношения между амплитудами и фазами токов вибраторов
I
и I2. Вектор
1
(на рис. 3.7 не показаны), связанные с Ех и Е
при этом также имеет две составляющие Н
характеристическим
у
и Н
х
у
λ
E
r
E
E
E
E
Рис. 3.6. Круговая поляризация
30
Рис. 3.7. Эллиптическая поляризация
E
E
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]