Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
Можно ввести плотность тока поляризации
E
B
:j
div div
Током смещения в среде называют сумму тока смещения в вакууме и
тока поляризации, т. е. тока действительного смещения зарядов:
Таким образом, Максвелл был вполне прав, когда давал название
открытому им новому току.
6.4. ЦИРКУЛЯЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
ИСТОЧНИКИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Теорема о циркуляции магнитного поля для нестационарного случая должна быть пересмотрена. Если мы проведем измерения в рассмотренном конденсаторе, то обнаружим в вакуумном пространстве
помимо электрического магнитное поле. Причем мы будем вынуждены
считать, что это поле порождено током смещения. Таким образом, мы
должны признать, что вихревыми источниками магнитного поля явля
ются как токи проводимости (движущиеся заряды), так и токи смещения (переменное электрическое поле).
Полный ток в среде (с учетом и молекулярных токов)
Поэтому теорема о циркуляции магнитного поля должна быть подправлена следующим образом:
jjj jj j J
t
j
jEP
см 00
0
см 0
tt
PD
ttt t
P
,
EP
P
j
. (6.14)
t
tt
. (6.15)
. (6.16)
rot
-
Отсюда после введения напряженности магнитного поля
получим
101
dl j dS j J dS
00
t
Hdl jdS DdS
D
t
rot
t
. (6.18)
. (6.17)
/HB J
0
Дифференциальная форма этого уравнения
D
F
R
rot
Hj
. (6.19)
t
Таким образом, магнитное поле имеет источники вихревого типа:
движущиеся заряды и изменяющиеся электрические поля.
6.5. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Теперь мы покажем, почему в нестационарном случае следует подправлять и теорему о циркуляции электрического поля. Речь пойдет о
явлении электромагнитной индукции.
Явление электромагнитной индукции подробно обсуждалось в курсах физики в школе и в вузе. Поэтому нет нужды детально его излагать.
Возможны разные подходы к описанию явления электромагнитной
индукции. Можно
это явление зафиксировать просто как экспериментальный факт. Можно связать его с теорией относительности и т. д.
Мы изберем простейший путь, который с неизбежностью подводит нас
к признанию существования этого явления.
Рассмотрим хрестоматийный пример. Имеется электрическая цепь,
состоящая из источника ЭДС и двух проводов (сопротивление
R), по
которым свободно может скользить проводящая перемычка. Вся цепь
помещена в магнитное поле указанного на рис. 6.1 направления. Рассмотрим процессы, происходящие в этой цепи. Если по цепи потечет
ток, то перемычка будет испытывать на себе действие магнитной силы
(силы Ампера) и перемещаться. Энергия источника расходуется на выделение джоулева тепла
в цепи и на совершение работы по перемеще-
нию перемычки:
Idt IRdt Fdx
2
,
A
IlB
A
. (6.20)
Отсюда находим электрический ток в цепи
Ф /
ddt
I
(Здесь учтено, что /Ф /)
IBl dx dt d dt
. (6.21)
. Из вида этого соотношения
следует, что наряду с обычной ЭДС мы вынуждены вводить представление об ЭДС, индуцированной переменным магнитным потоком:
102
Ф /iddt
. (6.22)
Так мы приходим к необходимости учитывать в нестационарном случае новое физическое явление – электромагнитную индукцию.
Рис. 6.1
Таким образом, закон сохранения энергии с неизбежностью подво-
дит нас к явлению электромагнитной индукции.
Полный электрический ток складывается из тока, вызванного сторонней ЭДС, и индукционного тока. Индукционный ток возникает всегда такого направления, что своим магнитным полем он препятствует
изменению вызывающего ток потока внешнего магнитного поля (правило Ленца).
6.6. ЦИРКУЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Явление электромагнитной индукции (возникновение индукционного тока) имеет место при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего проводящий контур. При этом причина изменения магнитного потока совершенно не важна.
В нашем примере это означает, что можно получить электрический
ток и при неподвижной перемычке, и даже в отсутствие сторонней
ЭДС. Достаточно, чтобы магнитное
поле было переменным. Тогда попрежнему магнитный поток будет переменным, что и вызовет индукционный ток.
Внимательный анализ этого факта имеет далеко идущие последствия. Прежде всего данный факт вызывает дополнительный вопрос: а
что движет заряды в проводнике? Электрическое поле, конечно. Заряды перемещаются этим полем по замкнутому контуру цепи
тока, следовательно, оно есть всюду вдоль всей замкнутой цепи. Однако это
поле не создано зарядами от внешнего источника ЭДС. И мы вынуждены в нестационарном случае вводить представление о новом типе
103
электрического поля – о вихревом электрическом поле, порождаемом
E
B
D
E
не зарядами, а переменным магнитным полем.
Можно в этих рассуждениях пойти еще дальше. Уберем вообще
провода. Пусть в свободном (от проводов, источников, зарядов) пространстве обнаруживается изменяющееся магнитное поле. Тогда мы
непременно зарегистрируем и изменяющееся электрическое поле. Это
поле является вихревым. Циркуляция этого поля
замкнутому контуру (математическому) определяется изменением
магнитного потока через поверхность (математическую), натянутую на
этот контур:
Если на место математического контура мы поместим реальный провод, то по нему обязательно потечет ток – вихревое электрическое поле станет перемещать заряды по всему замкнутому контуру-проводу.
Провод является лишь индикатором существующего (и без него) вихревого электрического поля.
Таким образом, электрическое поле имеет два типа источников: источники
вого типа (изменяющиеся магнитные поля).
ременное электрическое поле порождает магнитное поле, и это следует
рассматривать как факт одновременного их существования, как факт
их единосущности.
истокового типа (электрические заряды) и источники вихре-
Переменное магнитное поле порождает электрическое поле, а пе-
dl BdS
dt
d
. (6.23)
по произвольному
6.7. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Соберем воедино все уравнения, описывающие электромагнитные
процессы (в локальной и интегральной формах):
div
D
, rot
E
B
div 0
104
dS dV
, rot
Hj
dl BdS
,
,
t
D
,
t
, (6.24)
t
DE
B
E
E
E
E
E
0BdS
Эта система уравнений называется системой уравнений Максвелла
(добавлены материальные уравнения). Они описывают все возможные
электромагнитные процессы, происходящие в природе и в технических
творениях человечества.
К системе уравнений Максвелла следует добавить граничные условия (которые можно получить из этих же уравнений), если в конкретных задачах имеются границы раздела сред.
6.8. ПОТОК ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ
ПОТОК ИМПУЛЬСА ПОЛЯ
Мы знаем, что уравнения Максвелла содержат в неявной форме как
закон сохранения заряда, так и закон сохранения энергии. Получим
закон сохранения электромагнитной энергии в явной форме.
Умножим уравнение, содержащее rot
держащее rot
Левая часть представляет собой div[ ]
преобразована дальше, если учесть пропорциональность индукций по-
ля напряженностям поля:
, на
H
HEEH H E jE
rot rot
div[ ]
,
Hdl jdS DdS
,
0
и вычтем их. Тогда получим
HjE
0
H
HB ED
22
t
t
,
H
jE
, на H, а уравнение, со-
BD
tt
, а правая часть может быть
,
.
. (6.25)
. (6.26)
Введем обозначения:
H
[]
105
,
1
()
wEDHB
2
(6.27)
и перепишем уравнение
E
w
или в интегральной форме
Полученное уравнение (называемое уравнением Пойнтинга) дает нам
баланс энергии, если интерпретировать величину
ность электромагнитной энергии (это нам известно), а величину
(вектор Умова–Пойнтинга) как плотность потока энергии. Последнее
слагаемое представляет собой мощность, передаваемую полем частицам:
wdV dS jEdV
t
div
t
jE
, (6.28)
. (6.29)
w как объемную плот-
Содержание уравнения Пойнтинга таково. Убыль электромагнитной
энергии в некотором объеме обусловлена потерями энергии за счет
двух причин: во-первых, имеется поток энергии поля из этого объема
наружу через замкнутую поверхность, ограничивающую объем; вовторых, если в объеме имеются заряды, то электромагнитное поле затрачивает часть своей энергии на перемещение этих
При отсутствии движущихся зарядов (токов) уравнение Пойнтинга в дифференциальной форме полностью аналогично уравнению непрерывности и описывает закон сохранения энергии электромагнитного поля. Оно справедливо и для стационарного случая.
Рассмотрим передачу электромагнитной энергии по кабелю. Для не
очень высоких частот процесс передачи энергии по линии переменного
тока мало отличается
ного тока. Кабель состоит из центрального проводника (жилы) и оболочки, между которыми находится диэлектрик.
Сначала рассмотрим центральный проводник. Пусть по этому проводнику с радиусом сечения
плотностью тока
раллельное оси проводника z, которое можно определить из закона
/
Ома:
jI r . Так как тангенциальная компонента при
z
от процесса передачи энергии по линии постоян-
j. Внутри проводника есть электрическое поле, па-
jEdV EvdV
r
протекает постоянный ток с объемной
1
2
1
. (6.30)
частиц.
106
переходе границы раздела сред непрерывна, то точно такое же поле
E
есть и вне проводника вблизи его поверхности. Напряженность магнитного поля у поверхности проводника равна по величине
/2HI r
. Таким образом, вблизи поверхности проводника длиной l
1
имеется поток энергии, направленный внутрь проводника:
2
SEH rl IR
rz
2
Il
1
2
2
r
1
,
Rr
l
, (6.31)
2
1
где R – омическое сопротивление проводника.
Электромагнитная энергия втекает в проводник из окружающего
пространства через его боковую поверхность, и эта энергия в точности
совпадает с количеством джоулева тепла, выделяющегося на этом
участке проводника за единицу времени.
Таким образом, вся выделяемая при прохождении тока в проводнике тепловая энергия поступает из окружающего пространства через
боковую поверхность проводника. Следовательно, передаваемая по
кабелю энергия движется вне проводника в пространстве между центральной жилой и оболочкой кабеля.
Пусть проводимость центрального проводника и оболочки достаточно велика (сопротивление мало´), чтобы можно было пренебречь
потерями энергии при его передаче по кабелю. Это дает нам возможность пренебречь падением потенциала вдоль
кабеля и считать, что
изменение потенциала происходит на потребителе и на источнике.
Пусть падение потенциала на потребителе энергии равно
ность потенциалов между жилой и оболочкой равна
U. Тогда раз-
U. Следовательно,
в кабеле есть радиальное электрическое поле (мы пренебрегаем компонентой поля вдоль кабеля).
Уравнение Максвелла div
D
для пространства между жилой и
оболочкой принимает вид (полагаем, что здесь нет свободных зарядов)
1
()0
rE
rr
. (6.32)
r
Следовательно,
Ar
/
107
r
. (6.33)
Разность потенциалов между жилой и оболочкой
r
2
UEdrA
r
r
1
r
2
ln
. (6.34)
r
1
Отсюда находим неизвестную константу
/ln( / )AU r r.
21
Итак, в пространстве между жилой и оболочкой имеется электро-
магнитное поле
E
r
U
ln( / )
rrr
21
,
H
I
. (6.35)
2
r
Вектор плотности потока энергии направлен вдоль кабеля и численно
равен
EH
zr
UI
2
2ln( / )
rrr
. (6.36)
21
За единицу времени через поперечное сечение кабеля переносится
электромагнитная энергия величиной
r
2
2
dS d rdr UI
z
r
0
1
что совпадает с мощностью, потребляемой потребителем (
UI
2
2ln( / )
rrr
21
, (6.37)
I – это ток
на нагрузке).
Таким образом, вся используемая потребителем энергия перено-
сится вдоль кабеля в виде электромагнитной энергии.
Мы рассмотрели случай линии постоянного тока. Случай линии
передачи переменного тока (не слишком высокой частоты) может быть
рассмотрен аналогично. Результат получится тот же. Когда ток меняет
свое направление, меняются направления и электрического,
и магнитного поля, а вектор Пойнтинга не меняет своего направления – он
направлен от источника к потребителю.
Отметим еще одну особенность вектора плотности потока энергии.
Вектор Пойнтинга не является настоящим вектором – он не подчиняется принципу суперпозиции, а именно, если электромагнитное поле
108
создано двумя источниками поля:
E
H
R
,EH
22
сумма полей
ность потока энергии полного поля
ко энергию, но и импульс. Как известно, экспериментально импульс поля был исследован в
опытах Лебедева (давление света).
пульса электромагнитного поля. Подвесим заряженный цилиндрический конденсатор на нити и понаблюдаем за его поведением в
магнитном поле, направленном по оси
дра (рис. 6.2). При изменении величины магнитного поля экспериментально обнаруживается закручивание нити.
Максвелла
div
видно, что
, то полное поле, конечно же, есть
E
12
Электромагнитное поле переносит не толь-
Рассмотрим иной случай проявления им-
Оценим количественно проявляющийся эффект. Из уравнений
,
H
12
. Однако плот-
D
,
rot
,EH
11
12
цилин-
E
и
.
Рис.6.2
B
(6.38)
t
B
Следовательно, на заряды конденсатора действует сила
Момент этой силы и приводит во вращение конденсатор.
Таким образом, при изменении магнитного поля в пространстве
возникает вихревое электрическое поле, которое, воздействуя на заряды в конденсаторе, приводит его во вращение.
Правомерно и иное объяснение наблюдаемого явления. Заметим,
что 2
плотность силы (6.40)
109
hd V – это объем, занятый полем конденсатора, а объемная
D
r
FRhEDRhd
22
Ed
,
z
. (6.39)
t
B
z
r
t
. (6.40)
B
g
g
g
E
fD
z
(6.41)
r
t
содержит лишь характеристики поля. Так как сила – это производная
от импульса, то это выражение позволяет каждой единице объема, занятой электромагнитным полем, приписать импульс
DB
. (6.42)
rz
В векторной записи объемная плотность импульса поля
DB
[]
где
1/v
– скорость распространения электромагнитных
00
,
[] /
EH v
00
, (6.43)
волн.
Теперь наблюдаемое явление получает следующую интерпретацию. Электромагнитное поле обладает (наряду с энергией) импульсом:
в конденсаторе имеется циркуляция импульса электромагнитного поля
(наряду с потоком энергии). При соприкосновении с цилиндрическими
обкладками конденсатора этот импульс передается обкладкам и в результате происходит увлечение полем конденсатора – мы наблюдаем
закручивание
нити.
Интересно отметить следующий момент. Продифференцируем выражение для плотности импульса
dg D B
dt t t
BD
. (6.44)
Первое слагаемое – это сила Лоренца, действующая на ток смещения.
Второе слагаемое – сила Лоренца, действующая на «магнитный ток
смещения».
6.9. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Из уравнений Максвелла можно получить уравнения для электри-
ческого и магнитных полей, развязанные друг от друга. Для этого надо
рассмотреть
rotrot
и rot rot H. С учетом равенства (2.33) можно
получить уравнения
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]