Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
q
E
B
B
B
B
div ( );
-функция учитывает особенность поля при 0r
Однородное магнитное поле
0
( const)B
0
r
(2.47)
.
можно считать порож-
денным другим векторным полем
1
так как
rotAB
. (Сравните с примером (2.24).) Это поле называют
0
векторным потенциалом поля
ABr
2
.
0
, (2.48)
0
2.3. ПОТЕНЦИАЛЫ СТАТИЧЕСКОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Ввиду потенциальности электростатического поля наряду с напряженностью электрического поля E можно ввести скалярное поле –
скалярный потенциал, или просто электрический потенциал
. Исто-
рически связь потенциала с напряженностью поля введена соотношением
gradE
. (2.49)
Магнитное поле является вихревым. Поэтому наряду с индукцией
магнитного поля
с полем
соотношением
Скалярный (электрический)
можно ввести новое, векторное поле A, связанное
. (2.50)
rot
A
и векторный (магнитный) A потен-
циалы электромагнитного поля вводятся неоднозначно. Действительно, если выполнить преобразование потенциалов (калибровочные преобразования)
const
, gradAA
(2.51)
и связать новые потенциалы с напряженностью электрического поля и
индукцией магнитного поля прежними соотношениями, то мы полу-
31
чим то же электромагнитное поле, что и до преобразования. Таким об-
E
B
и
разом, силовые характеристики электромагнитного поля
ока-
зываются инвариантными относительно калибровочных преобразований потенциалов поля
и A.
Произвол в выборе потенциалов поля может быть исключен наложением некоторых условий, или, как говорят, калибровкой потенциалов. Для статических электромагнитных полей часто выбирают так
называемую кулоновскую калибровку
div 0A
(2.52)
(векторный потенциал является строго вихревым полем).
Электрический потенциал одиночного точечного заряда, как известно, равен
1
q
()
r
q
4
. (2.53)
r
0
Магнитный потенциал движущегося одиночного точечного заряда
имеет вид
qv
Ar
()
q
Нетрудно проверить непосредственным вычислением rotA
0
4
. (2.54)
r
, что получается правильное выражение для индукции магнитного поля движущегося заряда (1.12) (с учетом переобозначения движущегося заряда).
Между электрическим и магнитным потенциалом одиночного заряда
имеется простая связь
v
A
qq
. (2.55)
2
c
Для элементарных токов магнитный потенциал можно записать в виде
Idl
0
dA
4
или
r
dA
jdV
0
4
. (2.56)
r
В случае макроскопических распределений зарядов и токов электрический и магнитный потенциалы определяются с помощью принципа суперпозиции:
32
B
()
1()
r
4||
0
rdV
rr
,
()
Ar
jr dV
0
4| |
()
rr
. (2.57)
Таким образом, если распределения зарядов и токов известны, то
приведенные выше формулы полностью решают задачу определения
электрического и магнитного потенциалов, а значит, и электрического
и магнитного полей. Эти формулы являются альтернативой формулам,
позволяющим проводить непосредственный расчет статических полей
по заданным зарядам и токам (1.39), (1.43).
2.4. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ
И МАГНИТОСТАТИКИ
Основными уравнениями электростатики и магнитостатики принято называть уравнения для электрического и магнитного потенциалов.
Эти уравнения получаются простой подстановкой выражений (2.49) и
(2.50) в уравнения поля (2.44):
E
rot grad (div ) .
AAj
0
2
(2.58)
0
2
div ,
Таким образом, если принять кулоновскую калибровку потенциалов (2.52), мы придем к основным уравнениям электро- и магнитостатики:
2
– оператор Лапласа.
, 0Aj
0
, (2.59)
Основное уравнение электростатики называют уравнением Пуассона. Для области, свободной от заряда в уравнении Пуассона, правая
часть равна нулю (однородное уравнение). В данном случае это уравнение называют уравнением Лапласа.
Если распределения зарядов и токов полностью известны, общими
решениями основных уравнений электро- и магнитостатики будут, конечно, потенциалы
поля (2.57). Однако это также довольно редкий
случай.
33
2.5. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА
Рассмотрим общее решение уравнения Пуассона. Перепишем это
решение с учетом того, что имеются разные «виды» заряда:
1() 1() 1()
()
r
4||4||4||
000
VSL
rdV rdS rdl
rr rr rr
. (2.60)
Это решение предполагает, что известны (заданы, измерены) все объемные, поверхностные и линейные источники электрического поля.
Однако такие случаи довольно редки.
Разделим все пространство на две части: область объемом V, ограниченную поверхностью S, и остальную часть. Избранная область
пусть будет нашей областью достижимости и интереса: здесь мы мо-
измерить распределение зарядов (или они уже заданы, измерены
жем
нашими предшественниками), и здесь же нас интересует распределение электрического потенциала и напряженности поля. Область вне
объема либо действительно нам недоступна (не можем измерить распределение зарядов), либо эта область не представляет для нас интереса (не хотим просто знать). Однако недоступность внешней
области
или ее неинтересность не освобождает нас от необходимости учитывать все источники поля, которые находятся там, вне объема V, поскольку они существенно могут влиять на распределение поля внутри
объема V.
Таким образом, для нашей области интереса должна быть правильно поставлена так называемая внутренняя задача электростатики. Оказывается,
что для этого на границе области, т. е. на поверхности S,
достаточно измерить либо распределение потенциала, либо распределение нормальной (к поверхности) компоненты напряженности электрического поля. Знание этих распределений эквивалентно знанию
распределений всех внешних источников поля.
Для произвольного случая возможные математические постановки
так называемых граничных (более точно – краевых) задач электроста
тики таковы:
, () ( )
0
rr
S
i
, (2.61)
iS
-
34
или
, ()
В первой постановке на граничных поверхностях
0
n
S
i
r
. (2.62)
iS
S (их может
i
быть несколько) задаются распределения электрических потенциалов
(условие Дирихле). Это граничная задача Дирихле. Во второй поста-
новке на граничных поверхностях задаются производные по нормали к
граничным поверхностям (условие Неймана), т. е. нормальные компоненты напряженности электрического поля. Это граничная задача
Неймана.
Аналогичным образом ставятся и граничные (краевые) задачи
маг-
нитостатики для векторного (магнитного) потенциала.
В математической физике доказывается, что задавать на границе
саму функцию и ее производную одновременно нельзя, так как в этом
случае задача оказывается переопределенной и возникают сложности с
существованием и единственностью решения.
2.6. МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА
Решение граничных задач – это целое искусство. Существуют различные методы решения граничных задач. Одним из наиболее важных
и эффективных методов является метод функций Грина.
Для уравнений электро- и магнитостатики функциями Грина
(, )Gr r
называют решения уравнения
(, ) ( )Gr r r r
(2.63)
с соответствующими граничными условиями типа Дирихле или
Неймана.
Красота и эффективность метода функции Грина заключается в
том, что если вы сумели построить функцию Грина (т. е. решить правильно поставленную граничную задачу для функции Грина), то решение исходной граничной задачи получается простым интегрированием
с использованием построенной функции. Более того
, функция Грина
дает решение сразу целой совокупности граничных задач с произвольными распределениями зарядов или токов в области интереса.
35
Как же правильно поставить граничную задачу для построения
функции Грина? Рассмотрим сначала общее решение уравнения (2.63)
для функции Грина. Подойдем к этому с физической точки зрения.
Так как
-функция описывает «распределение» точечного заря-
да, то частным решением уравнения для функции Грина будет электрический потенциал точечного заряда. Тогда по известному правилу общее решение уравнения для функции Грина можно записать в
виде
(, ) (, )
Gr r r r
1
4| |
rr
, (2.64)
где первое слагаемое – сингулярная часть решения, второе слагаемое –
регулярная часть решения, причем функция Ф подчиняется однородному уравнению, т. е. уравнению Лапласа
(, ) 0rr
. (2.65)
Как видно, имеется неоднозначность в выборе функции Грина, которая
может быть исключена лишь наложением правильных условий.
Запишем вторую формулу Грина (2.43), полагая, что функция
электрический потенциал поля, а функция
– сингулярная часть
–
функции Грина, т. е.
2
,
0
(, )
rr
1
4| |
rr
2
,
(, )rr
. (2.66)
Тогда
()( )
rrr dV
V
111()
4||||
() .
rdS
S
nr r r r n
()
r
4| |
0
rr
r
(2.67)
С учетом фильтрующего свойства
-функции после переноса вто-
рого слагаемого вправо мы получаем результат
36
V
rdV
rr
1()
()
r
4||
0
11() 1
4| | | |
rr n nrr
S
r
()
rdS
. (2.68)
(Сравните с (2.60). Содержание уравнений (2.60) и (2.68) различно!)
Если заряды занимают ограниченную область пространства, то по-
верхность интегрирования можно удалить на бесконечность. Тогда при
убывании электрического потенциала быстрее, чем
1| |rr
, поверх-
ностный интеграл исчезает и
V
r
rr
, (2.69)
()
1()
rdV
4||
0
т. е. мы приходим к общему решению уравнения Пуассона для безграничного пространства. (Здесь ()r
включает в себя все «виды»
зарядов.)
Если поверхность интегрирования удалить на бесконечность нельзя, то в силу невозможности одновременного задания потенциала и его
производной на поверхности формула (2.68) не может претендовать на
решение задачи о распределении потенциала – она остается интегральным уравнением относительно потенциала.
Пусть теперь во второй формуле Грина функция
– функция
Грина. Тогда мы получаем
(, ) ( )
Gr r r dS
S
1
rrGrrdV
() ( ) (, )
0
V
() (, )
rGrr
nn
. (2.70)
Наложим на функцию Грина (типа Дирихле) условие
rS
, (2.71)
(, ) 0
Grr
Д
а значит, на регулярную часть накладываем граничное условие
37
rr
(, )
Д
rS
(тем самым ставится граничная задача для
1
4| |
rr
Ф (, )rr
Д
(2.72)
rS
).
Если мы решили задачу построения функции Грина типа Дирихле,
то решение исходной граничной задачи Дирихле (2.61) дается формулой
(, )
1
() ( ) (, ) ( )
rrGrrdVr dS
0
Д
S
Grr
Д
n
. (2.73)
Таким образом, построив одну функцию – функцию Грина
G , мы
Д
получим решение целой совокупности граничных задач Дирихле с
различными распределениями зарядов ()r в области интереса и по-
()r
тенциалов
на граничных поверхностях.
Из вида соотношения (2.70) можно было бы заключить, что для построения функции Грина типа Неймана достаточно наложить на нее
условие
(, )
Grr
H
n
rS
0
. (2.74)
/
Однако легко показать, что такой функции Грина вообще не существует. В самом деле, проинтегрируем обе части уравнения для функции
Грина по объему:
2
() 1GdV r r dV
. (2.75)
Левую часть можно преобразовать согласно теореме Гаусса–
Остроградского, и тогда окажется, что
G
dS
n
1
. (2.76)
Следовательно, функция Грина не может удовлетворять условию (2.74).
Для правильной постановки задачи построения функции Грина
типа Неймана поступим следующим образом. Наложим на функцию
Грина условие
38
H
nS
/
rS
а значит, на регулярную часть функции Грина (, )
1
, (2.77)
Ф rr
н
(, )
Grr
ем граничное условие
H
n
rr
rS
11 1
/
Snrr
Ф (, )
4
/
rS
Тогда мы получим
1()
() ( ) (, ) (, )
rrGrrdV GrrdS
– среднее по поверхности значение потенциала
где
S
0
HH
r
n
мы накладыва-
. (2.78)
, (2.79)
S
1
S
S
rdS
()
. (2.80)
Конечно, среднее значение потенциала невозможно вычислить,
имея лишь граничное условие Неймана. Однако незнание этой величины всего лишь означает, что решение для электрического потенциала
будет найдено с точностью до константы. Это вполне допустимая,
обычная ситуация.
Таким образом, построив одну функцию – функцию Грина
G , мы
Н
получим решение целой совокупности граничных задач Неймана с
различными распределениями зарядов в области интереса и произ-
водных от потенциалов /n
на граничных поверхностях.
Метод функций Грина – весьма мощный метод решения граничных
задач не только в теории электромагнитного поля, но и в широчайших
областях физики и других дисциплин. Нахождение функций Грина
обычно не является простой задачей. Однако даже если функция Грина
не построена, использование представлений Грина оказывается весьма
полезным для вывода
ряда теоретических результатов.
39
2.7. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Рассмотрим кратко вопрос об энергии электромагнитного поля
(в вакууме). Как известно, электрический потенциал является энерге-
тической характеристикой статического электрического поля. Кулоновская энергия взаимодействия совокупности зарядов вычисляется по
формуле
11
Здесь
– электрический потенциал в месте расположения заряда
ij
Uq
iij
224
ij ij
который создан всеми зарядами, за исключением заряда
qq
ij
. (2.81)
r
ij
0
q
q . Коэффи-
i
i
циент 1/2 учитывает то обстоятельство, что каждый заряд в сумме
участвует дважды. Кулоновская энергия – это потенциальная энергия
взаимодействия электрических зарядов.
Формулу (2.81) для энергии взаимодействия можно обобщить на
случай непрерывного распределения зарядов
где
1
UdV dV
22
VV
V
– объем, занятый зарядами (мы воспользовались уравнением
0
2
, (2.82)
Пуассона). Как видно, теперь интеграл содержит характеристики электрического поля.
Проведем дальнейшее обобщение: распространим интеграл на весь
объем ,V занятый электрическим полем, и назовем обобщенное выра-
жение полной энергией электрического поля
2
WdVdV
э
22
2
00
VV
E
. (2.83)
,
Здесь мы провели интегрирование по частям. Каждый элементарный
объем пространства, занятый электрическим полем, и весь объем обладают энергиями поля:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]