Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитное поле. Учебное пособие
.pdf
222
EB
E
EH
IFF BEc
kn kn
1
IFF BDEHc
kn kn
2
В случае поля в вакууме инвариантны величины:
IEB
2
.
Рассмотрим некоторые следствия инвариантности этих величин.
1. Если в какой-либо инерциальной системе отсчета
2. Если
1
0)I
0)I
2
, либо
, то эти поля будут ортогональны и в любой другой инер-
B
(инвариант
(второй класс полей: инвариант
0E
риант
циальной системе отсчета.
система отсчета, в которой либо 0B
2( / ) inv,
2( / ) inv
0)I
, то найдется такая инерциальная
2
(первый класс полей: инвариант
2
222
1
/IBEc
(инва-
0)I
.
1
(7.50)
3. Если оба инварианта равны нулю, то это соответствует случаю
поперечных электромагнитных волн: электрическое и магнитное поля
в них поперечны друг другу, электрическая и магнитная части энергии
в них равны, скорость распространения в любой инерциальной системе
отсчета одна и та же, равная величине скорости света.
7.6. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
,
Энергетическими характеристиками электромагнитного поля яв-
ляются плотность энергии и плотность потока энергии
1
wDEHB
2
,
. (7.51)
Они подчиняются уравнению типа уравнения непрерывности
wt
div 0
. (7.52)
Как мы знаем, из плотности заряда и плотности тока можно составить
четырехвектор – четырехток, и уравнение непрерывности легко записывается в ковариантной форме /0
jx
. Однако аналогичные,
kk
казалось, им величины плотности энергии и плотности потока энергии
131
не образуют четырехвектор. Дело в том, что электрический заряд – ве-
x
x
личина инвариантная, а энергия – не инвариантная.
С другой стороны, мы видели, что для частиц можно образовать
четырехвектор из импульса частицы и ее энергии. Напрашивается вывод: для конструирования тензора необходимо привлечь также вектор
плотности импульса поля.
Тензором энергии-импульса является тензор
, сконструированный
следующим образом:
1
TFF FF
kn km nm km nm
2
//
00
. (7.53)
Он имеет структуру
z
1
2
icg
icg
, (7.54)
icg
. (7.55)
xxyxzx
yx yy yz y
где
– трехмерный тензор:
Этот тензор называется тензором натяжений Максвелла. Вектор
/gc
2
– вектор плотности импульса.
T
zx zy zz z
iii w
()()
D E H B DE HB
x
ccc
y
Пусть в свободном пространстве имеется только электрическое поле, параллельное оси
z. Тогда тензор натяжений приобретает вид
2
E
/2 0 0
0
2
0/20
00 /2
E
0
2
E
0
. (7.56)
Элементы тензора действительно имеют смысл натяжений поля. Точнее,
определяет продольное натяжение поля, а
zz
и
x
опреде-
yy
ляют поперечные давления поля.
132
Локальный закон сохранения энергии поля
wt
div 0
может
быть записан в тензорной форме
T
4
k
0
x
. (7.57)
k
Всего локальных законов сохранения четыре:
T
где
n = 1, 2, 3, 4. При n = 4 это уравнение определяет перенос полем
энергии, при
n = 1, 2, 3 – перенос полем импульса.
kn
0,
x
k
(7.58)
Из-за ограниченного объема учебного пособия на этом мы вынуждены закончить изложение собственно теории электромагнитного поля.
Вне нашего рассмотрения оказалось большое число интереснейших
тем!
Но, к сожалению, нельзя объять необъятное!
РЕКОМЕНДУЕМАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Мешков И.Н., Чириков Б.В. Электромагнитное поле. – Новосибирск:
Наука, 1987. – Ч. 1. Электричество и магнетизм. – 256 с.; Ч. 2. Электромагнитные волны и оптика. – 272 с.
2. Матвеев А.Н. Электродинамика. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1980. – 383 с.
3. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. – М.: Высшая школа, 1983. –
464 с.
4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. – 4-е изд., стереот. – М.:
ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2004. – 656 с.
5. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские
М.: Либроком, 2014. – Вып. 6. – 360 с.
6. Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю.П. Электродинамика. – 2-е изд., перераб. –
М.: Высшая школа, 1990. – 352 с.
7. Ким В.Ф. Электромагнитное поле: учеб. пособие. – 1-е изд. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. – 116 с.
8. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике и
специальной теории относительности: учеб. пособие. – 4-е изд., перераб. –
СПб.: Лань, 2010. – 480 с.
9. Говорков В.Л., Купалян С.Д. Теория электромагнитного поля в упражнениях и задачах. – 3-е изд., доп. – М.: Высшая школа, 1970. – 304 с.
лекции по физике. –
133
E
H
ДОПОЛНЕНИЕ
УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА В РАЗЛИЧНЫХ ФОРМАХ
Известно, что уравнения Максвелла наряду с уравнениями механики и термодинамики являются на данный момент основой большинства технических решений человечества. Однако можно найти многочисленные высказывания ученых прошлого и настоящего, которые
указывают, что к самим уравнениям Максвелла есть претензии [1], а к
их решениям надо периодически возвращаться и переосмыслять их.
Отдельно стоит упомянуть проблему лучистого трения – реакции излучения ускоренно движущегося заряда (см., например, [2–5]).
В данном дополнении мы приведем несколько различных представлений уравнений Максвелла, которые не освещаются в учебной
электродинамической литературе (изложение основано на работе [6]).
1. Уравнения Максвелла
в «
k » спектральном представлении
Запишем симметризованные уравнения Максвелла в однородной
среде в пространственно-временном представлении [7]:
ee
,,,
Здесь
Ej
ct c
ct c
4
H
E
4
– электрические напряженность поля, плотность то-
m
E
j
,
H
e
j
,
ка, плотность зарядов и проницаемость среды;
134
e
4
,
m
4
,
Hj
e
t
m
t
,,,
e
j
m
j
mm
0,
(Д.1)
0.
– магнит-
ные напряженность поля, плотность тока, плотность зарядов и прони-
f
f
с
цаемость среды;
– скорость света, – дифференциальный оператор
«набла». Первые две пары уравнений – собственно уравнения Макс-
велла, третья пара уравнений – законы сохранения электрического и
магнитных зарядов – уравнения непрерывности.
Рассмотрим переменные электромагнитные поля, возбуждаемые
произвольной системой электрических и магнитных токов и зарядов.
Известно, что в
Х-пространстве связь между полями и токами опреде-
ляется интегро-дифференциальными соотношениями, как, например, в
известных формулах Стрэттона–Чу [7]. Однако если перейти в про-
странство волновых векторов
(К-пространство), то можно получить
k
связь между полями и токами локального характера, что облегчает
расчет полей.
Выполним пространственно-временное преобразование Фурье вся-
xt
кой векторной и скалярной функции поля (,)
3() ()
ikx i t
(, ) (,)
kdxedtefxt
k
:
, (Д2)
Тогда найдем, что
ikE H j
kkk
ikH E j
kkk
i
cc
i
cc
iikj
iikj
4
m
,
4
e
,
ee
kk
mm
kk
ik E
k
ik H
k
0,
0.
e
4
k
,
m
4
k
,
(Д3)
После исключения зарядов с помощью уравнений непрерывности мы
приходим к уравнениям Максвелла в « k »-представлении
[] ,
ik E H j
kkk
[] ,
ik H E j
135
kkk
i
cc
i
cc
4
m
4
e
() ,
ik E ik j
() ,
ik H ik j
4
kk
i
4
i
kk
e
(Д4)
m
Эти уравнения являются локальными алгебраическими уравнения-
ми, которые допускают простое решение. Выразим из первой группы
уравнений поля ,
торно на эти поля. Тогда произойдет разделение уравнений для полей
,
kE
:
kH
E
kH
k
kkE ikj E i j
kk kk
kkH ikj H i j
kk kk
, затем умножим волновой вектор
44
c
44
c
me
em
2
22
cc
2
22
cc
,
.
век-
k
(Д5)
Отсюда определяем связь полей с возбуждающими их токами:
Ejkkjikj
kkkk
Hjkkjikj
kkkk
4
222 2
4
222 2
cc
kc c
cc
i
i
kc c
2
2
ee m
,
(Д6)
mm e
.
С учетом этого получим решения уравнений Максвелла в квадратурах
для переменных полей в однородной среде, возбуждаемых произвольной системой электрических и магнитных токов:
(,) (, ),
Ext dk e d e E k
(,) (, ).
Hxt dke d e H k
1
(2 )
(2 )
3() ()
ikx i t
4
1
3() ()
4
ikx i t
k
(Д7)
k
Обратим внимание на то, что решения (Д7) найдены без привлечения волновых уравнений – дифференциальных уравнений второго
порядка. Записанные решения содержат как запаздывающие, так и
опережающие компоненты. Исключение опережающих решений произойдет при интегрировании, когда путем аналитического продолжения интегрирование будет перенесено на комплексное пространство
волновых векторов и
придется выбирать «правильный» путь интегри-
рования при обходе особенностей интегралов.
136
Надо заметить, что использование пространственно-временного
E
F
J
F
преобразования Фурье – широко известный прием, а запись решений
уравнений Максвелла в виде (Д7) имеет обманчивую простоту. Реальное применение этих формул к прикладным задачам не является простым делом.
Вместе с тем плодотворность спектрального представления электромагнитного поля при расчете излучающих структур плоской системы
токов была продемонстрирована, например, в работах сотрудников
НГТУ [8–10].
2. Уравнения Максвелла для шестивекторов поля
Уравнения поля могут быть записаны в компактной форме, если
ввести следующие матричные дифференциальные операторы и новые
объекты поля:
MD
rot / 0 div
,,,
ct
ee
j
,.
mm
j
H
(Д8)
ct
/ rot div 0
ˆˆ
Для электромагнитного поля в вакууме, возбуждаемого токами и зарядами, мы получаем запись уравнений поля в виде
ˆ
4
M
, ˆ 4D
c
,
ˆ
(Д9)
0.D
t
Возможно, что такое «переписывание» исходных уравнений Максвелла не несет ничего нового, кроме компактности формы.
3. Уравнения Максвелла в классической форме
«Хевисайда–Герца», записанные через векторы Крамерса
Более плодотворна идея объединения электрической и магнитной
составляющих в комплексные объекты
EiH
GEiH
Здесь
137
и
G
– векторы Крамерса [11].
,
,
Ijij
jij
em
em
,
,
em
i
em
i
,
(Д10)
.
Уравнения поля принимают классическую форму «Хевисайда–
F
F
F
g
Герца»:
iF
ct c
Gi iI
4
iJ
4
G
tc
t
t
0,
J
0.
I
,
,
4,
F
4,
G
(Д11)
В спектральном «
»-представлении решения уравнений поля
k
(Д11) можно получить процедурой, аналогичной той, с помощью которой получены выражения (Д6). В результате находим:
FkkJJikJ
kkkk
GkkIIikI
kkkk
4
222 2
4
222 2
ic c
kc c
ic c
kc c
2
,
(Д12)
2
.
Заметим, что
() 8
FEH w
где w и
ного поля. Аналогичные выражения можно записать через функцию
поля
– плотность энергии и плотность импульса электромагнит-
.
G
22
()( )2()inv,FF E H i EH
,
22
[]2[]8
FiEHicg
(Д13б)
, (Д13а)
4. Уравнения Максвелла в форме уравнений
типа «Дирака–Вейля» со спином 1
Покажем, что уравнения Максвелла можно непосредственно переписать в квантово-механической форме. Для этого надо заметить
следующее. Скаляру
, вектору
, тензорам
и
можно
поставить в соответствие дуальные объекты [12], которые конструируются с помощью совершенно антисимметричного псевдотензора
138
3-го ранга
H
H
F
FF
F
p
повторяющимся индексам ,1,2,3)
:
(здесь принято тензорное правило суммирования по
/3!
, / 1!
, / 2!
. Например, вектору напря-
,
женности магнитного поля H
ричный тензор
, а дифференциальному оператору ставится в
соответствие антисимметричный дифференциальный тензор
HH
0
(тензор
HH H
zx
HH
yx
является элементом тензора электромагнитного поля).
zy
0
ставится в соответствие антисиммет-
;
0
zx
yx
zy
0
0
0
и []
получают следующее представ-
:
(Д14)
ление:
[]HF HF
, [ ] .
(Д15)
Вместе с тем всякий антисимметричный тензор 3-го ранга может
быть разложен по системе трех спиновых матриц для частиц со спином 1 [13]:
00 0
ˆ
00
x
00
i
ˆ
i
,
00
000
y
i
i
00
,
ii
00
ˆ
z
00
000
. (Д16)
Теперь для антисимметричного дифференциального тензора
мы
находим новое представление:
ˆˆˆ
() ()ip
1
ˆ
i
где
– оператор импульса. Введя наряду с оператором импуль-
са также оператор энергии
, при этом
ˆ
/ it
[] ()
1
, уравнения поля (Д11) можно
ˆˆ
pF
, (Д17)
переписать в форме уравнений типа «Дирака–Вейля» со спином 1:
139
f
F
J
ˆˆ
cp Fi J
() 4,
ˆˆ
() 4,
cp Gi I
ˆ
ˆ
ˆ
() ,
pJ
ˆ
() .
pI
ˆ
pF i
() 4,
ˆ
() 4,
pG i
ˆ
ˆ
(Д18)
Аналогичные уравнения, только для частного случая свободного
пространства, впервые были получены Арчибальдом [14].
Если перейти к представлению «Фурье–де-Бройля»:
ii
() ()
(,) (,) ,
pdpe efxtd
p
3
px t
(Д19)
то можно найти, что решениями уравнений поля являются выражения:
ii
p x t
() ()
(,)
Fxt d pe d e
1
(2 )
3
3
2
ic c
222 2
pc c
(,)
Gxt d pe d e
2
ic c
222 2
pc c
1
(2 )
ppJ J pJ
pp p
3
3
ppI I pI
pp p
2
ii
px t
( ) ( )
2
ˆˆ
() .
(Д20)
ˆˆ
( ) .
(Д21)
5. Уравнения Максвелла в форме «Дирака–Гамильтона»
Еще одно представление уравнений поля можно получить, если
ввести комплексные шестивекторы и оператор поля:
140
ˆ
H
0()
cp
ˆˆ
,
ˆˆ
() 0
cp
,
G
,
Q
I
,e
(Д22)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]