Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Парный регрессионный анализ. Практикум
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Новосибирский государственный университет
экономики и управления «НИНХ»
Кафедра статистики
А. В. Логачёв, О. М. Логачёва,
М. В. Пудова, С. Е. Хрущев
ЭКОНОМЕТРИКА
Парный регрессионный анализ
Практикум
Новосибирск
2020
ББК 65в6я73
Л69
Логачёв, А. В.
Эконометрика. Парный регрессионный анализ: практикум /
; Новосиб. гос. ун-т экономики и управления. — Новосибирск :
НГУЭУ, 2020. — 184 с.
Л69
Издается в соответствии с планом
учебно-методической работы НГУЭУ
Рецензент:
И. А. Качанова — канд. физ.-мат. наук,
доцент кафедры математических и компьютерных методов КубГУ
Авторы:
канд. физ.-мат. наук А. В. Логачёв,
канд. физ.-мат. наук О. М. Логачёва,
канд. физ.-мат. наук М. В. Пудова,
канд. физ.-мат. наук С. Е. Хрущев
А. В. Логачёв, О. М. Логачёва, М. В. Пудова, С. Е. Хрущев
ISBN 978-5-7014-0958-1
Практикум содержит задачи и упражнения по парному регрессионному анализу, входящему в учебный курс «Эконометрика». Представлены
как теоретические, так и практические задачи по линейным и нелинейным эконометрическим моделям. Приведены необходимые теоретические сведения и примеры решения типовых задач. Практикум также содержит задания для выполнения расчетно-графических работ. В прило-
жение включены таблицы квантилей и критических значений основных
статистических распределений.
Предназначен для преподавателей и студентов экономических вузов.
ISBN 978-5-7014-0958-1
ББК 65в6я73
© НГУЭУ, 2020
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ………………………………………………………………..
4
1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
1.1. Сведения из теории вероятностей ………………………
5
1.2. Сведения из математической статистики …………...
13
1.3. Задачи и упражнения …………………………………………...
24
2. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
2.1. Математическая модель регрессии ……………………..
29
2.2. Линейная регрессия …………………………………………….
32
2.3. Предпосылки линейного регрессионного анализа. Теорема Гаусса–Маркова ………………………
39
2.4. Свойства МНК-оценок ………………………………………….
42
2.5. Прогнозирование …………………………………………………
46
2.6. Корреляционный и дисперсионный анализ ………..
50
2.7. Проверка выполнения условий
Гаусса–Маркова …………………………………………………...
58
2.8. Задачи и упражнения …………………………………………...
68
3. ПАРНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
3.1. О необходимости изучения нелинейных
моделей регрессии ………………………………………………
94
3.2. Модели, нелинейные относительно переменных,
но линейные относительно параметров …………….
95
3.3. Модели, нелинейные относительно
параметров ………………………………………………………….
102
3.4. Модель бинарного выбора …………………………………..
108
3.5. Задачи и упражнения …………………………………………...
110
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
Расчетно-графическая работа № 1 …………………………….
117
Расчетно-графическая работа № 2 …………………………….
148
Расчетно-графическая работа № 3 …………………………….
159
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ И УПРАЖНЕНИЯМ ………………………...
160
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА …………………………………….
164
ПРИЛОЖЕНИЕ ………………………………………………………………...
165
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий практикум призван обеспечить достаточным
количеством материала семинарские занятия по парному регрессионному анализу курса «Эконометрика» на экономических направлениях университетов. Также он может быть использован студентами для самостоятельной работы, так как
включает необходимое количество теоретического материала и примеры решения основных типовых задач.
Свою цель авторы видели в том, чтобы собрать по возможности более широкий набор задач и упражнений, который освещал бы основные разделы стандартного университетского курса эконометрического анализа парных регрессионных моделей.
В практикум включены как теоретические, так и практические задачи. Часть задач и упражнений заимствована из
опыта преподавания авторами и их коллегами эконометрических курсов на экономических направлениях Новосибирского государственного университета экономики и управления «НИНХ».
Практикум подготовлен в соответствии с действующими Федеральными государственными образовательными
стандартами высшего профессионального образования по
направлению подготовки бакалавров «Экономика» и специальности «Экономическая безопасность».
4
1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
1.1. Сведения из теории вероятностей
Пусть (Ω, , P) — вероятностное пространство, где
Ω — пространство элементарных исходов, — σ-алгебра
его подмножеств, P — вероятностная мера, заданная на
множествах, входящих в .
Случайной величиной называется измеримая функ-
ция, которая каждому элементарному исходу ω ∈ Ω ставит в
соответствие действительное число.
Случайные величины могут быть дискретными, непре-
рывными и их смесями.
Среди непрерывных случайных величин следует выде-
лить класс абсолютно непрерывных случайных величин.
Случайная величина X имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функ-
ция f() такая, что для любого интервала (a, b) имеет место
равенство:
(< < )= ()
Ф
ункция f() называется плотностью распределения.
.
Математическим ожиданием (средним значением)
случайной величины X с плотностью распределения f
азывается число
н
=
()
,
()
5
если интеграл сходится абсолютно, в противном случае математическое ожидание не существует.
Если существует EX
2
, то дисперсией случайной величи-
ны X называется число
= ( )
= (
)
.
Дисперсия характеризует степень разброса значений
случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Средним квадратичным отклонением называется
число
)
(
=
.
Ковариацией случайных величин X и Y называется число
cov(X, Y) = E(X – EX)(Y – EY) = EXY – EXEY,
если математическое ожидание в правой части равенства
существует.
Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y
называется число
(, )
=
,
если дисперсии этих случайных величин существуют и отличны от нуля.
Коэффициент корреляции удовлетворяет неравенству
–1 ≤ ρ
≤ 1 и характеризует тесноту линейной связи между
XY
случайными величинами X и Y.
Функцией распределения случайной величины X
называется функция F(), которая при каждом равна ве-
роятности того, что случайная величина X примет значение,
меньше , то есть
()= (<
)
.
,
6
Для абсолютно непрерывных случайных величин кван-
тилью уровня δ, где δ ∈ (0, 1), называется число
, такое
что
)
= .
(
Наиболее важными распределениями для парного ре-
грессионного анализа являются нормальное (Гаусса), Стью-
2
дента, Фишера, χ
Нормальное (Гаусса) распределение — N(a,
чайная величина
раметрами a и σ
(Пирсона).
σ2). Слу-
X имеет нормальное распределение с па-
2
, где a ∈ R, σ > 0, если X имеет следующую
плотность распределения:
(
1
)
=
()
,
где a — математическое ожидание случайной величины, σ2 — ее
дисперсия (рис. 1).
Рис. 1. График плотности нормального распределения
Если a = 0, σ2 =1, то говорят, что случайная величина
имеет стандартное нормальное распределение, и ее
функция распределения:
7
(
1
)
=
.
Интеграл в правой части не берется в явном виде, поэтому приближенные значения этой функции табулированы (см. приложение).
Фундаментальное значение нормального распределения вытекает из центральной предельной теоремы: сумма достаточно большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной ненулевой
дисперсией имеет приближенно нормальное распределение.
Это правило выполняется тем точнее, чем больше случайных величин суммируется.
Все распределения, используемые при проверке статистических гипотез, основаны на нормальном распределении.
В программе Microsoft Excel нормальное распределение
реализовано при помощи функции НОРМ.РАСП(; a; σ; инте-
гральная), которая возвращает значение плотности распре-
деления в точке , если интегральная = «ложь» (0), или зна-
чение функции распределения, если интегральная = «истина» (1). С помощью этой функции можно найти
вероятность попадания случайной величины в интервал:
P( < X < y) = НОРМ.РАСП(; a; σ; 1) – НОРМ.РАСП(y; a; σ; 1).
Распределение Стьюдента. Пусть X
, X1, …, Xk — незави-
0
симые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение. Распределение случайной величины
+ +
=
называется распределением Стьюдента с k степенями свободы и обозначается T(k).
8
Плотность распределения Стьюдента с k степенями сво-
боды равна
()/
1 +
,
где (
+ 1)/2)
((
()
=
)
=
(/2)
— гамма-функция.
Распределение Стьюдента T(k) сходится к стандартному
нормальному при k, стремящемся к бесконечности (рис. 2).
Рис. 2. График плотности распределений N(0, 1) и T(k)
Распределение Стьюдента табулировано (см. прило-
жение).
Распределение Стьюдента используется для проверки
гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции, для
построения доверительных интервалов в случае, когда математическое ожидание и дисперсия оцениваются по выборке, для оценки параметров линейной регрессии и в других случаях.
В программе Microsoft Excel распределение Стьюдента
реализовано при помощи следующих функций:
1. СТЬЮДЕНТ.РАСП(, k, a) возвращает вероятность того,
что случайная величина, имеющая распределение Стьюден-
та с k степенями свободы, больше , если a = 1, и лежит вне
9
интервала (–, ), если a = 2. Параметр a — количество «хво-
стов» — может принимать только два значения a = 1 и a = 2.
2. СТЬЮДЕНТ.ОБР(p, k) возвращает значение , такое
что вероятность попадания случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с k степенями свободы, вне
интервала (– , ) равна p. Это функция, обратная к
СТЬЮДЕНТ.РАСП(, k, 2).
Распределение χ2 (Пирсона). Распределение суммы k
квадратов независимых случайных величин, имеющих
стандартное нормальное распределение, называется распределением χ
Плотность распределения χ
2
с k степенями свободы и обозначается H(k).
2
с k степенями свободы
равна
(
1
=
/
2
(/2)
)
(/)/
, > 0;
0, 0.
Пример плотностей распределения Пирсона представ-
лен на рис. 3.
Рис. 3. Плотности χ2-распределений с числом степеней свободы
k = 1, 2, 4, 8
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]