Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Парный регрессионный анализ. Практикум
.pdf
2.31. По четырем наблюдениям оценивалась парная ли-
ei 6 0 c –4
Xi
10
13
12
d
нейная регрессия Y = aX + b + ε с помощью МНК. Ниже приведены остатки регрессии e
и значения регрессора Xi:
i
Задания:
а) Найдите S
б) Пусть
в)
Пусть
.
e
= 9, найдите
= 11, найдите
.
.
2.
32. По ежегодным данным с 2000 по 2010 г. (всего 11
наблюдений) оценивается тренд туристического потока из
России в Финляндию с помощью уравнения регрессии
Trip
= at + b + εt. Здесь t — год, которому соответствует
t
наблюдение (t = 0 для 2000 г., t = 10 для 2010 г.), а Trip
—
t
число туристических поездок (в тысячах) российских граждан в Финляндию в году t.
Рез
ультаты оценивания:
= 51,1. Предполагается, что все предпосылки классиче-
= 40,4+ 278,8,
= 8,6,
ской линейной нормальной регрессионной модели выполнены.
ания:
Зад
а) На сколько в среднем увеличивается поток туристов
из России в Финляндию за два года, согласно полученной
модели?
б) Постройте 90 % доверительный интервал для коэффициента a.
в) Постройте 95 % доверительный интервал для коэффициента b.
81
2.33. По ежегодным данным за 1975–1988 гг. (14
наблюдений) оценивалась зависимость цены на бензин
(Petrol, центы за галлон) от цены на сырую нефть (Oil, дол-
лары за баррель) с помощью уравнения линейной регрессии
= aOili + b + εi. Результаты оценивания:
Petrol
i
= 0,2,
= 3
+ 41,9,
= 4,6,
= 0,4.
Предполагается, что все предпосылки классической ли-
нейной нормальной регрессионной модели выполнены.
Задания:
а) Проверьте гипотезу о том, что рост цены на нефть на
1 долл. за баррель соответствует среднему росту цены на
бензин на 2 цента за галлон, используя уровень значимости
10 %.
б) В 1988 г. цена на нефть составила 12,57 долл. за баррель. Какова была ожидаемая (прогнозируемая согласно
имеющейся модели регрессии) цена на бензин? Какой
должна быть цена на нефть, чтобы ожидаемая цена на бензин составила 1 долл. за галлон?
в) Найдите .
г) Найдите 95 % доверительный интервал для средней
цены галлона бензина при цене нефти 15 долл. за баррель.
д) Найдите 95 % доверительный интервал для цены
галлона бензина при цене нефти 15 долл. за баррель.
е) Постройте 90 % доверительный интервал для дисперсии случайного возмущения ε
.
i
2.34. На основании 10 наблюдений за пациентами, стра-
дающими эмфиземой легких, врач-исследователь выясняет
зависимость площади пораженной части легких (переменная Emph, измеряется в процентах от общей площади лег-
82
ких) от числа лет курения (переменная Years, измеряется в
годах). Полученное уравнение выборочной регрессии:
= 1,3a+ 11,2,
= 0,4,
= 5,6.
Задания:
а) Постройте 90 % доверительный интервал для сво-
бодного члена.
б) Определите стаж курения, который приводит к пора-
жению легких в среднем на 40 %.
в) Проверьте гипотезу о том, что каждый дополнительный год курения приводит к увеличению пораженной площади в среднем на 2 %, используя уровень значимости 5 %.
2.35. Считается, что Александр Дюма-отец намеренно
удлинял романы, вводя множество второстепенных героев,
поскольку оплачивалось его творчество по количеству
напечатанных страниц.
Ленивый российский лингвист считает, что вовсе не
обязательно считать страницы оригинальных изданий.
Лингвисту не хочется идти в библиотеку, он берет 17 произведений Дюма, которые уже давно пылятся на полке дома
у лингвиста, и сопоставляет гонорар (сведения о гонорарах
за каждую из этих 17 книг лингвист достал где-то в Интер-
нете) с количеством страниц в русскоязычных изданиях романов.
С
огласно регрессии, оцененной МНК, гонорар Дюма (в
тыс. франков) зависит от количества страниц следующим
образом:
= 0,9+ 18, = 8,97, = 25,75, cov
= 11,11.
Задания:
а) Проверьте, есть ли основания считать, что гонорар
действительно линейно зависел от числа страниц. Надежность выберите самостоятельно.
83
б) Постройте точечный и интервальный прогноз для
среднего значения гонорара, полученного Дюма за роман
«Три мушкетера», если в русскоязычном издании романа,
доступном вышеупомянутому лингвисту, 542 страницы.
Надежность выберите самостоятельно.
2.36. Пусть r
— выборочный коэффициент корреляции
x,y
между переменными X и Y. От переменных X и Y переходят к
новым переменным путем линейного преобразования:
=
, =
где a, b — некоторые постоянные.
,
Задание: докажите, что коэффициент корреляции между
переменными равен r
, если ab > 0, и равен –r
x,y
, если ab < 0.
x,y
2.37. Имеется линейное уравнение регрессии, парамет-
ры которого оценены МНК по результатам (
, yi), i = 1, 2, …,
i
n, наблюдений над переменными X и Y; y* = a* + b* — вы-
борочное уравнение линейной регрессии, построенное по
этим данным.
= |r
Задание: докажите, что r
y,y*
|.
x,y
2.38. Рассматривается модель парной регрессии на кон-
станту: Y = b + ε.
Задания:
а) Найдите МНК-оценку параметра b.
∗
б) Найдите математическое ожидание оценки b
и коэф-
фициент детерминации.
2.39. Рассматривается модель парной линейной регрес-
сии без константы: Y = aX + ε.
З
а) Найдите МНК-оценку параметра a.
б) Найдите математическое ожидание оценки a
∗
.
84
2.40. Докажите, что коэффициент детерминации не пре-
ei 6 0 c 2c
Xi
10
13
12
d
вышает единицы. В каком случае в парной линейной регрессии коэффициент детерминации равняется в точности
единице?
2.41. Докажите, что для парной линейной регрессион-
ной модели имеет место соотношение
= (
где a∗ и b∗ — МНК-оценки параметров линейной модели.
= (
)
)
=
,
2.42. Выборочное уравнение линейной регрессии
+
рам наблюдений (X
Пусть
построено методом наименьших квадратов по n па-
, Yi), i = 1, 2, …, n, над переменными X и Y.
i
=
= (
+
)
, = 1, 2, … , , — остатки
=
регрессии.
Задание: докажите, что
= 0,
= 0.
2.43. По четырем наблюдениям оценивалась парная ли-
нейная регрессия Y = aX +b + ε с помощью МНК. Ниже приве-
дены остатки регрессии e
и значения регрессора Xi:
i
Задание: найдите значения c и d.
85
2.44. По трем наблюдениям оценивалась парная линей-
ei
c2
2c 1 Xi
10 d 12
Субъект
Производство
электроэнергии,
млрд квт·ч
Валовой региональный
продукт (млн р.)
Белгородская область
0,8
730562
Брянская область
0,1
285847,9
Владимирская область
1,9
392051,8
Воронежская область
16,7
841375,7
Ивановская область
2,1
179633,4
Калужская область
0,3
373403,5
Костромская область
15,3
160705,4
Курская область
28,6
364601,7
Липецкая область
5,2
470239,3
Московская область
23,5
3565258
Орловская область
1,3
213924
Рязанская область
6,9
336973,5
Смоленская область
25,1
262318
Тамбовская область
1,1
311433,4
ная регрессия Y = aX +b + ε с помощью МНК. Ниже приведены
остатки регрессии e
и значения регрессора Xi:
i
Задание: найдите значения c и d.
2.45. Имеется линейное уравнение регрессии, парамет-
ры которого оценены МНК по результатам (X
, Yi), i = 1, 2, …,
i
n, наблюдений над переменными X и Y; y* = a* + b* — вы-
борочное уравнение линейной регрессии, построенное по
этим данным.
=
Задание: докажите, что
,
.
2.46. По территориям Центрального и Северо-Западного
федеральных округов известны данные за 2016 г.:
86
Тверская область
36,8
359345,1
Тульская область
6
517740,8
Ярославская область
3,6
469804,9
г. Москва
50,5
14299800,6
Республика Карелия
4,9
233449,8
Республика Коми
10
546895,3
Республика Карелия
1,7
255496,6
Ненецкий автономный
округ
6,7
427863,4
Архангельская область
без автономного округа
11,7
486211,3
Вологодская область
6,7
383079,2
Калининградская
область
40,8
913825,7
Ленинградская область
17,1
425831,2
Мурманская область
1,4
244501,2
Новгородская область
0,4
144414,4
Псковская область
20,2
3742182,4
Страна
ВВП
ИР
США
18624,475
511,1
Китай
21411,5419
451,2
Япония
5369,478819
168,6
Германия
4030,39929
118,5
Задания:
а) Методом наименьших квадратов найдите оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии для ВРП от
производства электроэнергии.
б) Проверьте построенное уравнение на гомоскедастичность, используя тест Гольдфельда–Квандта.
2.47. По 19 странам известны данные о ВВП
(млрд долл.) и внутренних затратах на исследования и разработки (ИР) в расчете по паритету покупательной способности национальных валют (млрд долл.) за 2016 г.:
87
Республика Корея
1877,123309
79,4
Франция
2765,185411
62,2
Индия
8705,012643
50,1
Великобритания
2798,058629
47,2
Бразилия
3152,476024
41,1
Россия
3640,301527
39,9
Италия
2326,893826
29,9
Канада
1625,360824
26,1
Австралия
1117,186496
21,2
Испания
1687,614197
20,1
Швейцария
534,9028536
17,8
Нидерланды
860,688339
17,5
Турция
2007,466261
17,1
Швеция
485,2840499
15,8
Австрия
441,3894206
13,6
Год
Среднедушевые
денежные доходы
Потребительские расходы в
среднем на душу населения
2001
2249
2140
2002
2933
2905
2003
3893
3525
2004
5073
4396
2005
6555
5889
2005
6639
5880
2006
8381
7376
Задания:
а) Методом наименьших квадратов найдите оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии для затрат на
ИР от ВВП.
б) Проверьте построенное уравнение на гомоскедастичность, используя тест Гольдфельда–Кванта.
2.48. За 2001–2018 гг. по Новосибирской области из-
вестны данные о среднедушевых денежных доходах
(р./мес.) и потребительских расходах в среднем на душу
населения (р./мес.):
88
2007
10290
9075
2008
13040
11221
2009
15118
11275
2010
16276
12648
2011
18244
14898
2012
20728
16493
2013
22597
18051
2014
23110
19187
2015
24176
18548
2016
25407
19053
2017
25313
20159
Задания:
а) Методом наименьших квадратов найдите оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии для потребительских расходов в среднем на душу населения в зависимости от среднедушевых денежных доходов.
б) Проверьте гипотезу об отсутствии автокорреляции
остатков по критерию Дарбина–Уотсона на уровне значимости 0,05.
2.49. За 2007–2017 гг. по Новосибирской области из-
вестны данные об объеме продукции сельского хозяйства
по хозяйствам всех категорий (млн р.), инвестициях в основной капитал без субъектов малого предпринимательства (млн р.), внесении минеральных удобрений на 1 га посева сельскохозяйственных культур в сельскохозяйственных организациях в пересчете на 100 % питательных веществ (кг) и расходе кормов в расчете на одну условную голову крупного скота в сельскохозяйственных организациях
(ц корм. ед.):
89
Год
Продукция
с/х (млн р.)
Инвестиции
(млн р.)
Внесение
минеральных
удобрений
(кг)
Расход
кормов
(ц корм. ед.)
2007
33995,4
3742,6
2,6
31,1
2008
43121,8
4547
3,8
33
2009
46560,1
4322,6
5,2
33,5
2010
47694,5
3488,8
5,9
34,4
2011
55335,7
5961,9
8,5
32,4
2012
50352,4
5768,3
8
30,7
2013
59469,8
7870,5
5,5
30,2
2014
63759,1
5778
5,6
32,6
2015
75228,6
5075,1
6,4
32,3
2016
78482,8
4436,6
8,1
33
2017
81100,6
7686,7
9,1
34,4
Задания:
а) Найдите оценки параметров линейной модели регрессии для зависимости объема продукции сельского хозяйства от инвестиций. Рассчитайте значение статистики
Дарбина–Уотсона. Проверьте гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.
б) Найдите оценки параметров линейной модели регрессии для зависимости объема продукции сельского хозяйства от инвестиций, количества внесенных минеральных
удобрений и расхода кормов. Рассчитайте значение статистики Дарбина–Уотсона. Изменится ли вывод о наличии
(отсутствии) автокорреляции?
2.50. Исследуется соотношение между годовым доходом
домохозяйств (X, у. е.) и ежегодным потреблением некоторого продукта (Y, ед.):
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]