Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Парный регрессионный анализ. Практикум
.pdf
= 25;
= 160;
= 150.
Задания:
а) Вычислите выборочный коэффициент корреляции
между прибылью и оборотом.
б) Постройте выборочное уравнение регрессии прибыли
на оборот.
в) Используя линейную модель, дайте точечный прогноз средней прибыли в случае, когда оборот магазина составит 3 млн р.
2.12. Имеются данные по прибылям Y
компании
t
(млн р.) за 10 месяцев работы, по которым получены следующие результаты:
= 80;
= 700;
= 500.
Задания:
а) Вычислите выборочный коэффициент корреляции
между прибылью и номером месяца.
б) Постройте выборочное уравнение регрессии прибыли
на номер месяца.
в) Используя линейную модель, дайте точечный прогноз средней прибыли компании на 12-й месяц работы.
2.13. Туристическую фирму крупного курортного горо-
да интересует связь между числом отпускников Y, останавливающихся в отелях (тыс. чел.), и расходами Х на рекламу
отелей (тыс. р.). По данным 20 сходных по размеру отелей
получены следующие результаты:
71
= 120;
= 18;
= 400;
= 1800;
= 700.
Задания:
а) Вычислите выборочный коэффициент корреляции
между расходами на рекламу и числом отпускников.
б) Постройте выборочное уравнение регрессии числа
отпускников на рекламные расходы.
в) Используя линейную модель, дайте точечный прогноз среднего значения числа отпускников в сходном с рассматриваемыми отеле, если на рекламу этот отель планирует потратить 15 тыс. р.
2.14. Имеются данные по прибылям X и Y (млн р.) двух
дочерних компаний одной крупной фирмы за 15 кварталов,
по которым получены следующие результаты:
= 120;
= 180;
= 5000;
= 3000;
= 3600.
Задания:
а) Вычислите выборочный коэффициент корреляции
между прибылями этих компаний.
б) Постройте выборочное уравнение регрессии Y на X.
в) Используя линейную модель, дайте точечный прогноз средней прибыли Y, когда прибыль X составит 20 млн р.
72
2.15. По данным за 10 месяцев построена модель Y
Год
Доход наемных рабочих
Доход компании
2013 1 2
2014 3 3
2015 4 2,5
2016 2 2
2017 1 2
2018 7 3,5
2019 6 3,1
+ 0,005t + ε зависимости дохода фирмы Y
(млн р.) от време-
t
= 8,5
t
ни t. По этим данным вычислен также коэффициент детерминации R
2
= 0,85.
Задания:
а) Найдите коэффициент корреляции между временем
(номером месяца) и доходом фирмы.
б) Насколько в среднем за квартал изменяется доход
фирмы?
2.16. Строительная компания занимается ремонтом
старых домов в городе. Исследования показали, что объем
ремонтных работ зависит от уровня доходов в городе. В
таблице приведены данные о доходах наемных рабочих в
городе и доходе компании за 2013–2019 гг.:
Задания:
а) Методом наименьших квадратов найдите оценки ко-
эффициентов линейного уравнения регрессии для зависимости дохода компании от дохода наемных рабочих в городе.
б) Проверьте статистическую значимость коэффициен-
тов уравнения регрессии и постройте доверительные интервалы для теоретических коэффициентов модели с
надежностью 0,95.
73
в) Вычислите коэффициент детерминации, дайте его
содержательную интерпретацию.
г) С помощью критерия Фишера проверьте адекватность линейной модели имеющимся данным на уровне значимости 0,05.
2.17. По данным 100 выборочных наблюдений об объе-
ме реализованной продукции (т) некоторого вида и себестоимости единицы продукции (тыс. р.) было выяснено, что
при увеличении объема продукции на 1 т себестоимость
продукции уменьшается в среднем на 0,7 тыс. р., а при увеличении себестоимости продукции на 1 тыс. р. объем реализованной продукции уменьшается в среднем на 0,8 т.
Задания:
а) Найдите МНК-оценки коэффициентов регрессии у
двух моделей: объема продукции на себестоимость и себестоимости на объем.
б) Определите коэффициент корреляции между объемом реализации и себестоимостью единицы продукции.
2.18. Имеется выборка, состоящая из 6 пар наблюдений
над переменными X и Y:
(2,0, 0,0); (2,5, 0,5); (3,0, 1,0); (4,0, 1,0); (4,5, 0,5); (5,0, 0,0).
Задания:
а) Постройте корреляционное поле. Постройте уравнение линейной регрессии переменной Y на X.
б) Вычислите коэффициент детерминации и проинтерпретируйте его.
2.19. По данным обследования 50 хозяйств при анализе
зависимости между урожайностью X и себестоимостью Y
пшеницы были получены следующие характеристики:
74
r
Год
Среднедушевые
денежные доходы
населения (р.)
Покупка товаров и оплата
услуг (% от общего объема
денежных доходов)
2003
3893
1,4
2004
4969
2,3
2005
6650
3,1
2006
8399
3,3
2007
10317
3,4
2008
13080
3,3
2009
15059
1,6
2010
16276
2,2
2011
18244
2,4
2012
20728
2,6
= – 0,75;
x,y
S
x
S
.
y
Задания:
а) Найдите МНК-оценку коэффициента регрессии себе-
стоимости на урожайность.
б) Вычислите коэффициент детерминации между уро-
жайностью и себестоимостью.
Указание. Для нахождения выборочной остаточной дис-
персии воспользуйтесь соотношением:
= (
где a∗ и b∗ — МНК-оценки параметров линейной модели.
= (
)
)
=
,
2.20. За 2003–2017 гг. имеются данные о среднедуше-
вых доходах населения Новосибирской области (р.) и расходах на покупку товаров и оплату услуг (в процентах от общего объема денежных доходов):
75
2013
19697
2,5
2014
20193
2,7
2015
21827
2,5
2016
21263
2,3
2017
21849
2,8
№ X Y e 1
10
13
–1,2
2
12
17
1,7
3 9 24
0,7 4 7
32
–0,9 5 8
36
–0,3
Задания:
а) Методом наименьших квадратов найдите оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии для зависимости расходов населения на покупку товаров и оплату
услуг (в % от доходов) от среднедушевых доходов.
б) Проверьте статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии и постройте доверительные интервалы для теоретических коэффициентов модели с
надежностью 0,95.
в) Вычислите коэффициент детерминации, дайте его
содержательную интерпретацию.
г) С помощью критерия Фишера проверьте адекватность линейной модели имеющимся данным на уровне значимости 0,05.
2.21. При оценке уравнения регрессии, построенного по
пяти наблюдениям, получены следующие величины остатков:
Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации.
76
2.22. Даны пары наблюдений за длиной линии ума на
ладони X (см) и оценкой, полученной по эконометрике
Y (баллов):
= 5, = 6, = 7; = 3, = 2,
= 4.
Задания:
а) Постройте корреляционное поле.
б) Найдите МНК-оценки коэффициентов a и b линейной
регрессии, выпишите выборочное уравнение линейной регрессии.
в) Студентка Анна хочет сдать эконометрику на 5, длина
ее линии ума — 3 см. Учить эконометрику Анна не хочет,
поэтому обратилась к пластическому хирургу. Пользуясь
полученным уравнением выборочной линейной регрессии,
определите, на сколько сантиметров должен удлинить ее
линию ума пластический хирург.
2.23. Даны пары наблюдений за длиной линии судьбы
на ладони X (см) и возрастом вступления в брак Y (лет):
= 3 , = 4 , = 7 , = 5 ; = 22 , = 25 ,
= 24.
= 29 ,
Задания:
а) Постройте корреляционное поле.
б) Найдите МНК-оценки коэффициентов a и b линейной
регрессии, выпишите выборочное уравнение линейной регрессии.
в) Анна хочет выйти замуж в 26 лет, длина ее линии
судьбы — 8 см. Анна обратилась к пластическому хирургу.
Пользуясь полученным уравнением выборочной линейной
регрессии, определите, на сколько сантиметров должен
укоротить ее линию судьбы пластический хирург.
2.24. Даны данные наблюдений за три дня зависимости
числа проданных пирожков Q (шт.) от их цены P (р.):
= 22, = 27; = 12, = 25,
= 17.
= 35,
77
Задания:
а) Постройте корреляционное поле.
б) Найдите МНК-оценки коэффициентов a и b линейной
регрессии, выпишите выборочное уравнение линейной регрессии зависимости числа проданных пирожков от их цены.
в) Пользуясь полученным уравнением выборочной линейной регрессии, определите, какой должна быть цена,
чтобы получить максимальную выручку.
г) Пользуясь полученным уравнением выборочной линейной регрессии, определите, какой должна быть цена,
чтобы получить максимальную прибыль, если известно, что
себестоимость одного пирожка — 10 р.
2.25. Даны данные наблюдений за четыре дня зависи-
мости числа проданных пирожков Q (шт.) от их цены P (р.):
= 30 , = 25 , = 27 , = 20 ; = 15 , = 27 ,
= 32.
= 20 ,
Задания:
а) Постройте корреляционное поле.
б) Найдите МНК-оценки коэффициентов a и b линейной
регрессии, выпишите выборочное уравнение линейной регрессии зависимости числа проданных пирожков от их цены.
в) Пользуясь полученным уравнением выборочной линейной регрессии, определите, какой должна быть цена,
чтобы получить максимальную выручку.
г) Известно, что себестоимость одного пирожка — 12 р.
Пользуясь полученным уравнением выборочной линейной
регрессии, определите, какой должна быть цена, чтобы получить максимальную прибыль.
2.26. По наблюдениям за 25 дней продавец Анфиса оце-
нила зависимость числа проданных пирожков от их цены:
= 1,5+ 83,7,
= 0,7.
78
Задания:
а) Помогите Анфисе определить наилучшую цену с точ-
ки зрения максимизации выручки.
б) Постройте 90 % доверительный интервал для коэф-
фициента при цене.
2.27. На рынке пирожков основным заменителем пирож-
ков с капустой являются пирожки с картошкой. Исследователь, стараясь разобраться в механизмах ценообразования,
оценивает линейную регрессию
= + + , где
цена пирожка с картошкой у i-го продавца,
— цена пирож-
—
ка с капустой у того же продавца. Уравнение выборочной линейной регрессии, построенной по 12 наблюдениям:
= 0,8+ 5,2,
= 0,1,
= 1,8, = 23.
Задания:
а) Найдите несмещенную оценку дисперсии случайного
возмущения
.
б) Постройте 95 % доверительный интервал для коэф-
фициента a.
в) Постройте 90 % доверительный интервал для коэф-
фициента b.
г) Исследователь предполагает, что ожидаемая цена пирожка с картошкой у продавца, торгующего пирожками с
капустой по 20 р., равна 22 р. Сформулируйте гипотезу исследователя в терминах коэффициентов регрессии.
2.28. По ежегодным данным с 2002 по 2009 г. было по-
лучено выборочное линейное уравнение регрессии для ди-
намики общей стоимости экспорта из РФ:
где
—
год (
= 0
для 2002 г.,
= 7
для 2009 г.),
= + +
— стои-
мость экспорта из РФ во все страны (млрд долл.).
,
79
цененное уравнение выглядит так:
Xi 1 2 3 5
Yi 5 12
17
24
О
= 43,2+ 111,9,
адание: спрогнозируйте стоимость экспорта на 2010 г.
З
= 4009.
и постройте доверительный интервал для среднего экспорта на этот же год, надежность выберите самостоятельно.
азание:
Ук
= 3
,5,
=5,25.
2.
29. По выборке
найдите:
, Sa*, Sb*;
а) S
e
;
б) r
XY
2
в) RSS, TSS, ESS, R
.
2.30. Постройте МНК-оценку для коэффициента a по
набору наблюдений (X
, Y1), …, (Xn, Yn) в следующих моделях:
1
а) Y = a – aX + ε.
б) Y = a + 2X + ε.
в) Y = aX + ε.
г) Используя формулу, полученную в п. a) по набору
наблюдений (2, 2), (3, 4), (5, 8) составьте выборочное урав-
нение регрессии y* = a* – a* .
д) Используя формулу, полученную в п. б) по набору
наблюдений (1, 3), (3, 6), (4, 9) составьте выборочное урав-
нение регрессии y* = a* + 2 .
е) Используя формулу, полученную в п. в) по набору
наблюдений (1, 2), (2, 5), (3, 7) составьте выборочное урав-
нение регрессии y* = a* .
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]