Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Парный регрессионный анализ. Практикум
.pdf
i
= ln(
)
1
1,8
0,588
5
2,939
0,345
2 2 0,693
7
4,852
0,480
3
2,8
1,030
10,5
10,811
1,060
4
3,5
1,253
11
13,780
1,569
5 5 1,609
13
20,923
2,590
6
6,7
1,902
15
28,532
3,618
7
8,5
2,140
14,5
31,031
4,580
8
9,3
2,230
12,5
27,875
4,973
9
9,8
2,282
14
31,953
5,209
Σ
49,4
13,727
102,5
172,696
24,426
Рис. 11. Корреляционное поле для расходов на рекламу
и годовой прибыли предприятия
Найдем оценки коэффициентов полулогарифмической
модели регрессии между годовой прибылью предприятия и
расходами на рекламу.
Сделаем замену переменных Z = ln X.
Предварительно рассчитаем необходимые суммы (последняя строка табл. 3.2).
Таблица 3.2.
101
Вычислим значения a* и b*. Для этого предварительно
вычислим:
=
13,727 = 1,525,
=
172,696 = 19,188,
=
102,5 = 11,389,
=
24,426 = 2,714.
Тогда
(
, )= 19,188 1,525 11,389 = 1,817,
= 2,714 1,525
= 0,388.
Тогда по формуле (3.2):
,
=
= 11,389 4,689 1,525 = 4,236.
,
= 4,689,
Итак, полулогарифмическое уравнение регрессии имеет
вид
= 4,689 ln + 4,236.
3.3. Модели, нелинейные относительно параметров
Показательная, или экспоненциальная регрессия:
Y = a ⋅ b
где a > 0, b > 0, а случайное возмущение ε удовлетворяет условиям:
ln = 0, ln = , = 1,
(ln
, ln) = ln ln = 0, . (3.4)
X
⋅ ε, (3.3)
,
Прологарифмируем левую и правую части равенства 3.3:
ln Y = X ⋅ ln b + ln a + ln ε. (3.5)
102
Сделаем замену зависимой переменой V = ln Y, случайно-
го возмущения η = ln ε и параметров c = ln a, d = ln b. В ре-
зультате модель (3.5) примет линейный вид:
V = dX + c + η.
Для нахождения оценок неизвестных параметров теперь можно использовать формулы (2.5) и (2.6):
, =
.
=
В результате обратных преобразований получим следующие оценки для параметров модели (3.3):
c*
a* = e
, b* = ed* (3.6)
и следующее уравнение выборочной регрессии:
y* = a* ⋅ b*
X
.
Заметим, что если независимая переменная X — величина неслучайная, а случайное возмущение ε удовлетворяет
условиям (3.4), то оценки (3.6) являются состоятельными.
Из результатов раздела 2 настоящего практикума следует, что при выполнении условий (I
)–(I4) справедливы
1
следующие формулы для доверительных интервалов для
,
:
+
+
=
/
=
/
.
( 2)
( 2)
,
= 1 ,
= 1 ,
коэффициентов регрессии a и b
где t
(n – 2) — квантиль распределения T(n – 2) уровня 1 – α/2,
1–α/2
1
=
2
=
( 2)
/
( 2)
/
(
,
< <
< <
)
=
,
103
Также, если выполнены условия (I
)–(I4), то справедли-
1
вы следующие интервальные оценки для индивидуального
значения зависимой переменной:
/
()
< <
/
()
= 1 ,
где t
(n – 2) — квантиль распределения T(n – 2) уровня 1 – α/2,
1–α/2
= + ,
=
=
.
1 +
1
+
(
)
,
Степенная регрессия:
Y = a ⋅ X
где a > 0, X > 0, а случайное возмущение ε удовлетворяет условиям (3.4).
b
⋅ ε, (3.7)
Прологарифмируем левую и правую части равенства (3.7):
ln Y = b ln X + ln a + ln ε. (3.8)
Сделаем замену переменных V = ln Y, Z = ln X, случайного
возмущения η = ln ε и параметра c = ln a. В результате мо-
дель (3.8) примет линейный вид:
V = bZ + c + η.
Для нахождения оценок неизвестных параметров теперь можно использовать формулы (2.5) и (2.6).
, =
.
=
В результате обратных преобразований получим следующие оценки для параметров модели (3.7):
c*
a* = e
, b* (3.9)
104
и следующее уравнение выборочной регрессии:
y* = a* ⋅ X
b*
.
Заметим, что если независимая переменная X — величина неслучайная, а случайное возмущение ε удовлетворяет
условиям (3.4), то оценки (3.9) являются состоятельными.
Из результатов раздела 2 настоящего практикума следует, что при выполнении условий (I
)–(I4) справедливы
1
следующие формулы для доверительных интервалов для
,
:
=
/
/
=
()
( 2)
,
.
= 1 ,
= 1 ,
коэффициентов регрессии a и b
где t
1–α/2
=
=
(n – 2) — квантиль распределения T(n – 2) уровня 1 – α/2,
1
(
2
,
/
(
2)
()
=
< <
< < +
)
,
Также, если выполнены условия (I1)–(I4), то справедлива следующая интервальная оценка для индивидуального
значения зависимой переменной:
/
()
< <
/
()
= 1 ,
где t
(n – 2) — квантиль распределения T(n – 2) уровня 1 – α/2,
1–α/2
= ln+ ,
=
1 +
1
+
(
)
,
=
Одним из важных экономических показателей является
коэффициент эластичности. Пусть y = f(X), тогда коэффици-
ент эластичности показывает, на сколько процентов изменится y при изменении X на 1
/
%, и вычисляется по формуле:
=
()
(
.
)
105
.
В случае степенной модели оценка коэффициента эла-
стичности одинакова для всех X
:
/
= (
)
=
Это свойство объясняет широкое применение степен-
ной регрессии.
Логистическая регрессия:
, (3.10)
=
где a > 0, b > 0. Из равенства (3.10) следует, что
1 = . (3.11)
Прологарифмируем левую и правую части равен-
ства (3.11):
ln
1 = ln + ln + ln . (3.12)
Сделаем замену зависимой переменой = ln
случайного возмущения η
= ln ε и параметров c = ln a, d = ln b.
В результате модель (3.12) примет линейный вид:
V = dX + c + η.
=
.
1 ,
Для нахождения оценок неизвестных параметров те-
перь можно использовать формулы (2.5) и (2.6).
, =
.
=
В результате обратных преобразований получим следу-
ющие оценки для параметров модели (3.10):
c*
a* = e
, b* = ed* (3.13)
и следующее уравнение выборочной регрессии:
106
1 +
1
.
=
Заметим, что если независимая переменная X — величина неслучайная, а случайное возмущение ε удовлетворяет
условиям (3.4), то оценки (3.13) являются состоятельными.
Из результатов раздела 2 настоящего практикума следует, что при выполнении условий (I
)–(I4) справедливы
1
следующие формулы для доверительных интервалов для
коэффициентов регрессии a и b:
где t
(n – 2) — квантиль распределения T(n – 2) уровня 1 – α/2,
1–α/2
1
=
=
(
2
/
/
,
()
()
=
< <
< <
)
,
,
=
=
/
/
()
()
,
.
= 1 ,
= 1 ,
Также, если выполнены условия (I1)–(I4), то справедливы следующие интервальные оценки для индивидуального
значения зависимой переменной:
/
где t
(n – 2) — квантиль распределения T(n – 2) уровня 1 – α/2,
1–α/2
= + ,
1
()
<
<
=
1 +
(
1
+
/
1
()
)
,
= 1 ,
=
.
107
3.4. Модель бинарного выбора
Иногда зависимая переменная может принимать только
два значения — 0 или 1. Например, если Y обозначает факт
покупки клиентом определенного товара, т. е.
0, ,
=
1, .
Пусть X — средний ежемесячный доход клиента, рассмотрим следующую модель:
Y = I(X + ε > c). (3.14)
В этой модели клиент принимает решение купить товар,
если его ежемесячный доход выше определенного уровня.
Предположим, что случайное возмущение ε удовлетворяет
условиям теоремы Гаусса–Маркова. Приведем модель (3.14)
к более удобному виду:
= ( + > c)=
=
<
= ( < +
+
>
=
)
,
здесь случайное возмущение η будет удовлетворять усло-
виям теоремы Гаусса–Маркова и Dη = 1, параметры a = 1 / σ,
b = –c / σ.
Возьмем математическое ожидание от Y, будем иметь
y = EY = P(Y = 1) = EI(η < aX + b) = P(η < aX + b). (3.15)
Значит,
P(Y = 0) = 1 – P(Y = 1) = P(η ≥ aX + b). (3.16)
Найдем оценки параметров a и b методом максимального правдоподобия. Не вдаваясь в подробности, основная
идея этого метода состоит в том, что мы должны подобрать
неизвестные параметры так, чтобы наблюдаемая выборка
108
была «наиболее вероятной»
правдоподобия имеет вид
1
. В нашем случае функция
:
< + )
(
:
(
+
)
.
(3.17)
Итак, нам надо найти такие a и b, чтобы значение приведенной выше функции было максимальным. Так как логарифм — монотонно возрастающая функция, то будем исследовать на максимум логарифм функции правдоподобия.
Используя равенства (3.15), (3.16), (3.17), получаем
(, )= ln (
:
= ln (
= (
Ес
ln (< + ) + (1 ) ln( + )
ли распределение случайного возмущения η имеет
< + )
< + ) + ln ( + ) =
( +
:
::
)
=
)
.
плотность, то методами дифференциального исчисления
можно найти точку максимума функции L(a, b). Для этого
надо решить систему
=
=
(
(
)
)
(
(
(+ )
)
(+
)
)
= 0
= 0,
(3.18)
и найти среди ее решений ту точку, на которой достигается
максимум функции L(a, b). Заметим, что если η имеет N(0, 1)
распределение, то система (3.18) имеет одно решение, и это
решение — точка максимума функции L(a, b). К сожалению,
в большинстве случаев найти точное решение систе-
1
См. подробно: Чернова Н. И. Математическая статистика: учеб. посо-
бие. — Новосибирск: НГУ, 2007. — С. 28–34.
109
мы (3.18) невозможно. Поэтому ее решают приближенно
№ авто
Пробег
(км)
Цена
(тыс. р.)
1
480
200 2 160
375 3 170
320
4
155
344 5 170
320 6 190
345
7
175
350 8 195
290 9 167
300
10
193
305
11
123
450
12
172
345
13
205
290
14
151
365
15
143
399
16
225
290
17
269
280
18
164
340
численными методами.
Допустим, что найдена точка максимума функции
L(a, b), обозначим ее координаты (a*, b*). Тогда в качестве
выборочной регрессии берут функцию
0, ( <
=
1, ( <
+
) < 0,5,
+ ) 0,5.
3.5. Задачи и упражнения
3.1. Имеются данные о 30 проданных автомобилях од-
ной марки:
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]