Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Парный регрессионный анализ. Практикум
.pdf
Тест Гольдфельда–Квандта. Проверяется основная ги-
потеза H
: {модель гетероскедастична}. Требуется упорядочить
H
2
: {модель гомоскедастична} при альтернативе
1
наблюдения над регрессором X в порядке возрастания. По
первым и последним m (m < n / 2) парам наблюдений в упорядоченной выборке составляются выборочные уравнения
регрессии, считаются остатки для каждой из двух регрессий.
Рекомендуется объем наблюдений m брать около 3/8n. Через RSS
и RSS2 обозначим суммы квадратов регрессионных
1
остатков для первой и второй регрессии соответственно.
Кроме того, обозначим
min{
Фишера) =
,
П
ри верной основной гипотезе F
}.
имеет распределение Фишера с (m – 2) и
= max{, },
-статистика (статистика
=
(m – 2) степенями свободы. Поэтому можно поступить следующим образом. По заданному уровню значимости α найти
квантиль F
(m – 2, m – 2) распределения Фишера F(m – 2,
1–α
m – 2) и использовать следующий критерий:
, …, , , …,
(
, <
=
,
)
( 2, 2),
( 2, 2).
Пример 2.10. Проверить гипотезу о гомоскедастично-
сти линейной модели для зависимости объема потребления от располагаемого дохода с использованием критерия
Гольдфельда–Квандта по данным примера 2.1. на уровне
значимости α = 0,05.
Решение. Проверяется основная гипотеза H
гомоскедастична} при альтернативе H
: {модель гетеро-
2
: {модель
1
скедастична}.
1. Упорядочим наблюдения по возрастанию значений
переменной X (табл. 2.6).
61
Таблица 2.6
i
1
21,6
20,7 2 22
19,4
3
22,4
20,1
4
23,3
22,5
5
24,2
19,1
6
24,5
22
7
24,6
22,5
8
25,9
24,1 9 28
26,3
10
28,2
23,2
11
29,3
26,6
12
30,3
27,2
13
31,5
28,3
14
32,2
30
15
32,8
25,4
Выборка 1
Выборка 2
i
i
1
21,6
20,7
1
28,2
23,2
2
22
19,4
2
29,3
26,6
3
22,4
20,1
3
30,3
27,2
4
23,3
22,5
4
31,5
28,3
5
24,2
19,1
5
32,2
30 6 24,5
22 6 32,8
25,4
2. Выбираем m = 3/8n = 3/8 ⋅ 15 ≈ 6. Рассмотрим первые 6
и последние 6 наблюдений из табл. 2.6 (наблюдения с 7-го
по 9-е из рассмотрения удаляем, в табл. 2.6 удаленные
наблюдения выделены цветом). Получаем две выборки:
3. Рассмотрим выборку 1 и построим для нее линейную
модель регрессии:
62
i
=
= 0,314
+ 13,409
1
21,6
20,7
447,12
466,56
20,193
0,256
2
22
19,4
426,8
484
20,319
0,845
3
22,4
20,1
450,24
501,76
20,445
0,119
4
23,3
22,5
524,25
542,89
20,728
3,142
5
24,2
19,1
462,22
585,64
21,010
3,649
6
24,5
22
539
600,25
21,104
0,802
Σ
138
123,8
2849,63
3181,1
123,8
8,813
Вычислим значения a* и b*. Для этого предварительно
вычислим:
=
138 = 23,
=
2849,63 = 474,938,
=
123,8 = 20,633,
=
3181,1 = 530,183
Тогда
(
, )= 474,938 23 20,633 = 0,372,
= 530,183 23
= 1,183.
Тогда по формулам (2.5) и (2.6)
,
=
= 20,633 0,314 23 = 13,409.
,
= 0,314,
Итак, линейное уравнение регрессии для выборки 1
имеет вид:
Вычисляем остаточную сумму квадратов:
4. Рассмотрим выборку 2 и построим для нее линейную
модель регрессии:
y* = 0,314 + 13,409.
= 8,813.
63
i
=
= 0,777
+ 2,902
1
28,2
23,2
654,24
795,24
24,827
2,646
2
29,3
26,6
779,38
858,49
25,682
0,843
3
30,3
27,2
824,16
918,09
26,459
0,549
4
31,5
28,3
891,45
992,25
27,392
0,824
5
32,2
30
966
1036,84
27,937
4,258
6
32,8
25,4
833,12
1075,84
28,403
9,018
Σ
184,3
160,7
4948,35
5676,75
160,700
18,137
Вычислим значения a* и b*. Для этого предварительно
вычислим:
=
184,3 = 30,717,
=
4948,35 = 824,725,
=
160,7 = 26,783,
=
5676,75 = 946,125
Тогда
(
, )= 824,725 30,717 26,783 = 2,03,
= 946,125 30,717
= 2,611.
Тогда по формулам (2.5) и (2.6)
,
=
= 26,783 0,777 30,717 = 2,902
,
= 0,777,
Итак, линейное уравнение регрессии для выборки 2
имеет вид
y
* = 0,777 + 2,902.
ычисляем остаточную сумму квадратов:
В
5
.
= max
{
,
}
=max{8,813, 18,137}=
= 18,137.
= 18,137,
= min
{
,
}
min{8
=
,813, 18,137}=
8,813.
6. Вычислим статистику Фишера:
64
=
18,137
=
8,813
= 2,058
и сравним ее с квантилем распределения Фишера на уровне
значимости α = 0,05:
(
2, 2)=
=
,
Так как = 2,058 <
, …, , , … ,
(
)
=
(
4, 4) = 6,388 .
. На уровне значимости α = 0,05
(
,
6 2, 6 2
(
4, 4) = 6,388 , то
,
)
=
линейную модель признаем гомоскедастичной.
Критерий Дарбина–Уотсона. Выдвигаются три гипоте-
зы H
{отсутствует автокорреляция возмущений}, H
: {положительная автокорреляция возмущений}, H2:
1
: {отрицатель-
3
ная автокорреляция возмущений}. Введем в рассмотрение
статистику Дарбина–Уотсона DW, которая вычисляется по
формуле:
=
(
)
. (2.22)
Статистика Дарбина–Уотсона удовлетворяет неравенствам: 0 ≤ DW ≤ 4. Известно, что в случае отсутствия автокорреляции DW = 2; при положительной автокорреляции
DW ≈ 0, а при отрицательной DW = 4. Для заданного числа
наблюдений n, количества объясняющих переменных m
(в нашем случае m = 1) и уровня значимости α определяются
критические значения распределения Дарбина–Утсона:
d
= d
low
(n, m, α) — нижняя граница и dup = dup(n, m, α) —
low
верхняя граница. Наличие или отсутствие автокорреляции
проверяется по следующему правилу:
• если 0 ≤ d < d
, то принимается гипотеза H1 о нали-
low
чии положительной автокорреляции возмущений;
65
• если d
i
(
)
1
0,764
–
2
0,585
0,032
3
–0,751
1,784
4
1,337
4,358
0 d
low
dup 2 4 – dup 4 – d
low
4 d
I
II
III
IV
V
≤ d < dup, то нельзя сделать вывод ни о нали-
low
чии, ни об отсутствии автокорреляции возмущений;
• если d
≤ d < 4 – dup, то принимается гипотеза H2 об
low
отсутствии автокорреляции возмущений;
• если 4 – d
≤ d < 4 – d
up
, то нельзя сделать вывод ни о
low
наличии, ни об отсутствии автокорреляции возмущений;
• если 4 – d
≤ d < 4, то принимается гипотеза H3 о нали-
low
чии отрицательной автокорреляции возмущений.
Изобразим данное правило графически (рис. 9).
Рис. 9 Графическое представление критерия Дарбина–Уотсона:
I — положительная автокорреляция; II — зона неопределенности;
III — нет автокорреляции; IV — зона неопределенности;
V — отрицательная автокорреляция
Пример 2.11. Для модели (2.10) на уровне значимости
α = 0,05 проверить гипотезу об отсутствии автокорреляции
возмущений.
Решение. Вычислим статистику Дарбина–Уотсона для
модели (2.10). Напомним, что оценки возмущений e
вычис-
i
лены в табл. 2.3. Проведем предварительные вычисления:
66
5
0,324
1,025
6
0,912
0,345
7
0,861
0,003
8
–0,362
1,496
9
0,751
1,238
10
1,905
1,334
11
–3,162
25,677
12
–2,764
0,158
13
–0,098
7,109
14
–1,779
2,828
15
1,476
10,600
Σ 57,988
По формуле (2.22):
=
,
,
= 1,797.
По таблице верхних и нижних значений критических
точек распределения Дарбина–Уотсона уровня 0,05 находим
(
15; 1; 0,05)= 1,08,
(
15; 1; 0,05)= 1,36.
Тогда
(
15; 1; 0,05
)
= 1,36 < = 1,797 < 4
= 4 1,36 = 2,64 .
(
15; 1; 0,05)=
Принимается гипотеза H2 об отсутствии автокорреляции возмущений.
67
2.8. Задачи и упражнения
2.1. Как изменятся МНК-оценки параметров парной ли-
нейной регрессии Y на X и коэффициент корреляции, если
умножить на константу С ≠ 0 каждое наблюдение над переменной X и над переменной Y?
2.2. Как изменятся МНК-оценки параметров парной ли-
нейной регрессии Y на X и коэффициент корреляции, если
прибавить константу С к каждому наблюдению над пере-
менной X и над переменной Y?
2.3. Как изменятся МНК-оценки и коэффициент корре-
ляции для модели парной линейной регрессии Y на X, если
результаты
личинами αX
2.4. От переменных X и Y
дели переходят к новым переменным путем следующего
преобразования:
наблюдений над переменной X заменить ве-
i
+ β, i = 1, 2, …, n, α ≠ 0?
i
линейной регрессионной мо-
,
=
.
=
Как изменятся МНК-оценки параметров модели после
такого преобразования?
2.5. Как изменятся МНК-оценки и коэффициент корре-
ляции для модели парной линейной регрессии Y на X, если
результаты Y
личинами αY
наблюдений над переменной Y заменить ве-
i
+ β, i = 1, 2, …, n, α ≠ 0?
i
2.6. По наблюдениям за средней температурой зимы
T (°C) и затратами на отопление зимой P (тыс. р.) на некотором предприятии была оценена линейная зависимость с
68
помощью МНК: p* = 18 – 0,2T. Какими были бы МНК-оценки
Дата
Количество работников
Объем производства
01.02
18
608
02.02
16
448
03.02
13
391
04.02
15
470
05.02
16
491
06.02
19
565
07.02
20
622
08.02
24
732
09.02
12
355
10.02
20
593
11.02
23
682
12.02
20
611
13.02
28
831
14.02
18
569
15.02
21
629
16.02
12
337
17.02
18
557
18.02
20
605
19.02
20
606
20.02
15
450
21.02
17
504
22.02
14
405
23.02
26
22
24.02
13
375
25.02
16
474
26.02
15
441
коэффициентов, если бы:
а) затраты измерялись в рублях;
а) температура измерялась в градусах по Фаренгейту
= 32 + 9/5T)?
(T
F
2.7. В таблице приведены данные о количестве присут-
ствовавших на рабочем месте работников и дневном объеме
производства на некотором предприятии:
69
27.02
22
644
28.02
24
736
Уравнение регрессии
y* = 10,6 + 0,6
Среднеквадратическое отклонение
4,7
Среднеквадратическое отклонение y
3,4
Вычислите линейный коэффициент парной корреляции
между количеством присутствовавших на рабочем месте
работников и дневном объеме производства. Проверьте гипотезу о линейной корреляционной связи на уровне значимости 0,05.
2.8. Зависимость объема продаж Y (тыс. долл.) от расхо-
дов на рекламу X (тыс. долл.) характеризуется по 12 предприятиям концерна следующим образом:
Определите коэффициент корреляции.
2.9. Даны все значения независимой переменной
= 3, = 5,
= 4, входящие в выборку. Известно, что
выборочное уравнение линейной регрессии имеет вид
2,5 1. Найдите
.
= 2,
=
2.10. Найдите МНК оценку a
если
= 10, = 10,
= 2.
* в регрессии = + + ,
2.11. Имеются данные за 12 месяцев финансового года
по прибыли Y и обороту X магазина (млн р.), по которым получены следующие результаты:
= 45;
= 200;
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]