Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Парный регрессионный анализ. Практикум
.pdf
Если данное условие выполнено, то будем говорить, что
случайные возмущения гомоскедастичны, если не выполнено — гетероскедастичны.
(I3) Случайные возмущения εi и εj (i ≠ j) не коррелированы:
cov (ε
, εj) = Eεiεj = 0, i ≠ j.
i
Если данное условие выполнено, то говорят об отсутствии автокорреляции, иначе — о ее наличии.
) Случайные возмущения имеют нормальные распре-
(I
4
деления:
~(0,
)
, = 1, .
Справедлива следующая теорема.
Теорема (Гаусса–Маркова). Пусть выполнены условия
)–(I3), тогда оценки a* и b* несмещенные:
(I
1
Ea* = a, Eb* = b.
Ковариационная матрица K
(
=
(,
)
,
имеет вид:
a*b*
)
=
–
–
.
Оценки a* и b*, состоятельные для любого δ > 0:
lim
(| |>
(| |>
lim
)
)
= 0;
= 0.
Оценки a* и b* — эффективные в классе несмещенных
оценок, линейных относительно Y
, = 1,
i
, т. е. имеют
наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок.
Условия (I
)–(I3) будем называть условиями Гаусса–
1
Маркова.
41
2.4. Свойства МНК-оценок
Оценки дисперсий для выборочных коэффициентов ре-
∗
грессии a
соответственно. Статистика
остаточной дисперсией, или выборочной дисперсией
остатков, и определяется следующим образом:
Известно, что выборочная остаточная дисперсия при
выполнении условий (I
стоятельной оценкой для дисперсии возмущений σ
и b∗ имеют вид
=
и
=
)–(I3) является несмещенной и со-
1
=
называется выборочной
, (2.11)
.
(2.12)
2
.
Выборочные стандартные отклонения
=
выборочных коэффициентов регрессии a∗ и b∗ со-
=
и
ответственно называют стандартными ошибками коэффициентов регрессии.
Построим доверительные интервалы для параметров a
и b линейной регрессионной модели, которые с заданной
надежностью (доверительной вероятностью) γ = 1 – α
накрывают неизвестные значения a и b. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть выполнены условия (I1)–(I4), тогда статистики
дента с (
=
и
n – 2) степенями свободы.
=
имеют распределение Стью-
Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии а и b. Предположим, что выполнены условия (I
(I
), тогда статистики ta* и tb* имеют распределение T(n – 2).
4
)–
1
Поэтому
42
P(a* – t
i
= 0,779
+ 3,016
=
1
29,3
26,6
25,836
0,764
0,584
2
30,3
27,2
26,615
0,585
0,342
3
22
19,4
20,151
–0,751
0,563
4
23,3
22,5
21,163
1,337
1,787
5
24,6
22,5
22,176
0,324
0,105
6
25,9
24,1
23,188
0,912
0,832
7
21,6
20,7
19,839
0,861
0,741
8
22,4
20,1
20,462
–0,362
0,131
9
31,5
28,3
27,549
0,751
0,563
10
32,2
30
28,095
1,905
3,630
11
32,8
25,4
28,562
–3,162
9,998
12
24,2
19,1
21,864
–2,764
7,640
13
24,5
22
22,098
–0,098
0,010
14
28,2
23,2
24,979
–1,779
3,166
15
28
26,3
24,824
1,476
2,180
400,8
357,4
357,4
32,273
(n – 2) ⋅ Sa* < a < a* + t
1–α/2
(n – 2) ⋅ Sa*) = 1 – α,
1–α/2
где t
P(b* – t
(n – 2) — квантиль распределения T(n – 2) уровня (1 – α/2).
1–α/2
(n – 2) ⋅ Sb* < b < b* + t
1–α/2
(n – 2) ⋅ Sb*) = 1 – α,
1–α/2
Пример 2.2. Построить доверительные интервалы для
параметров линейной регрессии из примера 2.1 на уровне
значимости 0,05.
Решение. Найдем оценки дисперсий для выборочных ко-
эффициентов регрессии a* и b* по формуле (2.11). Предварительно необходимо вычислить выборочную дисперсию
остатков по формуле (2.12). Необходимые предварительные
расчеты представлены в табл. 2.3.
Таблица 2.3.
Σ
43
По формуле (2.12)
:
=
15 2
1
32,273 = 2,483.
По формуле (2.11):
=
,
,
,
,
= 0,0119,
727,855 = 8,669,
=
=0,0119 = 0,109;
=
=8,669 = 2,944.
=
Построим доверительные интервалы для параметров
линейной регрессии на уровне значимости α = 0,05.
По таблице квантилей распределения Стьюдента опре-
деляем
(
2
)
=
(
,
15 2
)
=
,
(13)
= 2,1604.
Тогда
/
(
2)
< < +
/
(
2)
0,779 2,1604 0,109 < < 0,779 + 2,1604 0,109
0,543 < < 1,015.
С вероятностью 1 – α = 1 – 0,05 = 0,95 коэффициент a со-
держится в интервале (0,543; 1,015).
/
(
2)
< < +
/
(
2)
3,016 2,1604 2,944 < < 3,016 + 2,1604 2,944
3,344 < < 9,377.
С вероятностью 1 – α = 1 – 0,05 = 0,95 коэффициент b со-
держится в интервале (–3,344; 9,377).
Критерий Стьюдента проверки значимости коэффициентов регрессии а и b. Предположим, что выполнены
условия (I
)–(I4). Проверяется основная гипотеза H1: a = 0
1
(коэффициент a незначимо отличается от нуля) при аль-
тернативе H
: a ≠ 0 (коэффициент a значимо отличается от
2
нуля). При верной основной гипотезе статистика
=
(2.13)
44
имеет распределение T(n – 2). Поэтому можно поступить
следующим образом. По заданному уровню значимости α
найти квантиль t
(n – 2) распределения T(n – 2) и исполь-
1–α/2
зовать следующий критерий:
, |
=
, |
(
, …, , , …,
П
о аналогичной схеме проверяется гипотеза о значимо-
)
|
<
|
/
/
(
2
(
2
)
,
)
.
сти коэффициента b. Предполагается, что выполнены условия (I
)–(I4). Выдвигается основная гипотеза H1: b = 0 (ко-
1
эффициент b незначимо отличается от нуля) против аль-
тернативы H
: b ≠ 0 (коэффициент b значимо отличается от
2
нуля). При верной основной гипотезе статистика
=
(2.14)
имеет распределение T(n – 2). По заданному уровню значимости α определяется квантиль t
(n – 2) распределения
1–α/2
T(n – 2) и используется следующий критерий:
, … , , , …,
(
, |
=
, |
)
|
<
|
/
/
(
2
(
2
)
,
)
.
П
ример 2.3. Для параметров линейной регрессии из
примера 2.1 на уровне значимости 0,05 проверить гипотезы
: a = 0 и H1: b = 0.
H
1
Решение:
1. Проверим основную гипотезу H
тиве H
: a ≠ 0 на уровне значимости 0,05. Для этого по фор-
2
: a = 0 при альтерна-
1
муле (2.13) вычислим
=
0,779
=
0,109
= 7,137.
45
|
П
роверяем условие
|
<
/
( 2:
(напомним, что при α = 0,05
(13)
=
,
С
ледовательно, (
= 2,1604).
, …, , …
)
|
7,137
,/
. Коэффициент
=
|
2,1604
(
15 2
)
=
a значимо отличается от нуля.
2. Проверим основную гипотезу H
тиве H
: b ≠ 0 на уровне значимости 0,05. Для этого по фор-
2
: b = 0 при альтерна-
1
муле (2.14) вычислим
=
Проверяем условие
,
=
|
,
|
= 1,025.
<
/
( 2) :
|
1,025|<
2,1604.
С
ледовательно, (
, …, , …
)
. Коэффициент
=
b не значимо отличается от нуля.
2.5. Прогнозирование
Рассматривается линейная регрессионная модель Y = aX
∗
∗
+ b
∗
, где a* и
+ b +ε, выборочное уравнение регрессии y
= a
b* — МНК-оценки параметров a и b. Пусть требуется определить прогнозное значение показателя Y при фиксирован-
ном значении показателя X.
Определение. Точечным прогнозом среднего значения
показателя Y при фиксированном значении показателя
называется величина
X =
p
Замечание. Если выполнены условия (I
свойств МНК-оценок a* и b* статистика
= (
).
)–(I3), то в силу
1
будет несмещен-
ной, состоятельной и эффективной оценкой для истинного
=
среднего значения y
p
+ b.
p
46
Оценка дисперсии для точечного прогноза y* при фик-
сированном значении показателя X = имеет вид
+
(
)
, (2.15)
=
где
— выборочная остаточная дисперсия, определенная в фор-
муле (2.12).
Построим доверительный интервал для истинного
среднего значения показателя Y при фиксированном значе-
нии показателя X = , т. е. для значения y =
+ b.
Теорема. Пусть выполнены условия (I1)–(I4), тогда ста-
тистика
=
степенями свободы, где
имеет распределение Стьюдента с (n – 2)
=
— стандартная ошибка y*.
Интервальные прогнозы для значений результиру-
ющего показателя. Зафиксируем доверительную вероят-
ность 1 – α. Предположим, что выполнены условия (I
тогда статистика t
имеет распределение T(n – 2). Поэтому
y*
)–(I4),
1
P(y* –
где t
t
(n – 2) ⋅
1–α/2
(n – 2) — квантиль распределения T(n – 2) уровня (1 – α/2).
1–α/2
S
< y < y* +
y
*
t
1–α/2
(n – 2) ⋅
S
) = 1 – α,
y
*
Замечание. Область, лежащая внутри доверительных
границ для значений функции регрессии, называется дове-
рительной полосой.
Интервальным прогнозом среднего значения показа-
теля Y при фиксированном значении показателя X =
=
p
=
называется доверительный интервал для значения y
+ b. Получаем, что
=
p
/
(
2)
< <
+
/
(
2)
= 1 .
Пусть нам требуется спрогнозировать с заданной дове-
рительной вероятностью (1 – α) индивидуальное значение
47
p
показателя Y при фиксированном значении показателя
X =
, т. е. спрогнозировать значения случайной величины
p
= a
Y
p
Y
p
где
+ b + ε. Оценка дисперсии для случайной величины
p
при X =
— выборочная остаточная дисперсия.
имеет вид
p
=
1 +
(
+
)
, (2.16)
Теорема. Пусть выполнены условия (I1)–(I4), тогда стати-
стика
=
пенями свободы. Здесь
аким образом, при выполнении условий (I
Т
имеет распределение Стьюдента с (n – 2) сте-
=
— стандартная ошибка Yp.
)–(I4) будем
1
иметь, что
/
(
2)
< <
+
/
(
2)
=
= 1 ,
где t
(n – 2) — квантиль распределения T(n – 2) уровня (1 – α/2).
1–α/2
Тем самым мы получили интервальный прогноз для ин-
дивидуального значения показателя Y.
Пример 2.4. По данным примера 2.1 дать точечный и
интервальный прогноз на уровне значимости α = 0,05 объема потребления для домохозяйства с располагаемым доходом 27 тыс. р.
Решение:
1. Сначала дадим точечный прогноз среднего значения
для объема потребления домохозяйств.
По условию
= 27, подставляем это значение в уравне-
p
ние (2.10):
= 0,779 27 + 3,016 = 24,045 (тыс. р.).
48
Для домохозяйств с располагаемым доходом 27 тыс. р.
средний объем потребления составит 24 045 р.
2. Дадим интервальный прогноз среднего значения для
объема потребления домохозяйств.
Вычислим оценку дисперсии для точечного прогноза по
формуле (2.15):
= 2,483
1
15
+
1
+
(
27 26,72
15 13,896
=
)
=
= 0,166.
Тогда стандартная ошибка
=
=0,166 = 0,408.
Тогда, учитывая, что при α = 0,05 t
2) = t
(13) = 2,1604, интервальный прогноз среднего зна-
0,975
равна
1–0,05/2
(15 –
чения составит:
24,0452 2,1604 0,408 <
23,163 <
< 24,0452 + 2,1604 0,408,
< 24,926.
С вероятностью 0,95 средний объем потребления для
домохозяйств с располагаемым доходом 27 тыс. р. содержится в интервале (23,163; 24,926) тыс. р.
3. Дадим интервальный прогноз для индивидуального
значения для объема потребления домохозяйств.
Вычислим оценку дисперсии для точечного прогноза по
формуле (2.16):
=
=
1 +
1
+
49
= 2,483
1 +
1
15
(
27 26,72
+
15 13,896
)
= 2,649.
Тогда стандартная ошибка
=
=2,649 = 1,628.
Тогда, учитывая, что при α = 0,05 t
2) = t
(13) = 2,1604, интервальный прогноз среднего зна-
0,975
равна
1–0,05/2
(15 –
чения составит:
24,0452 2,1604 1,628 <
20,528 <
< 24,0452 + 2,1604 1,628,
< 27,561.
С вероятностью 0,95 объем потребления для домохозяйства с располагаемым доходом 27 тыс. р. содержится в интервале (20,528; 27,561) тыс. р.
2.6. Корреляционный и дисперсионный анализ
Установление степени тесноты зависимости между рассматриваемыми показателями X и Y является задачей кор-
реляционного анализа. Установление вида и формы зависимости — задачей регрессионного анализа.
Корреляционный анализ. Пусть имеется выборка из n
пар наблюдений над показателями X и Y: (X
, Yn). При проведении корреляционного анализа широко
(X
n
используют выборочный коэффициент корреляции:
,
=
. (2.17)
, Y1), (X2, Y2), …,
1
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]