Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Парный регрессионный анализ. Практикум
.pdf
Введем выборочные коэффициенты асимметрии и
эксцесса:
1
=
Положим (, … ,
=
1
)
(
(
=
+
)
)
,
3,
.
Известно, что если гипотеза H1 верна, то при n → ∝ распределение величины ρ(X
, …, Xn) сходится к распределению
1
H(2).
Поэтому поступают следующим образом. По заданному
α с помощью таблицы распределения H(2) находят кван-
тиль
(2) и используют следующий критерий:
, (, … , ) <
(
, … ,
)
=
, (, … , )
(2),
(2).
Критерии для проверки однородности
Критерий Колмогорова–Смирнова. Пусть X
, Y2, …, Ym — две независимые выборки из неизвестных
Y
1
распределений F и G соответственно. Проверяется основная
гипотеза H
: F = G при альтернативе H2: F ≠ G, где F и G имеют
1
непрерывные функции распределения.
Рассмотрим функцию
, X2, …, Xn и
1
(
, … , , , …,
где
()
и
()
— эмпирические функции распределения, по-
строенные по выборкам X
)
=
, X2, …, Xn и Y1, Y2, …, Ym соответственно.
1
+
sup
|
()
()|
,
21
Известно, что если гипотеза H
распределение величины ρ(X
, …, Xn, Y1, Y2, …, Ym) сходится к
1
верна, то при n, m → ∝
1
распределению Колмогорова K().
Значит, можно поступить следующим образом. По за-
данному α с помощью таблицы значений функции K()
найти такое C, что 1 – α = K(C), и использовать следующее
правило:
=
, (, … , , , …, ) .
, X2, …, Xn и Y1, Y2, …, Ym — две
1
(
, …, , , … ,
)
Критерий Фишера. Пусть X
, (, … , , , …, ) < ,
независимые выборки из нормальных распределений
,
) и (,
(
вестны. Проверяется основная гипотеза
тернативе
) соответственно, средние которых неиз-
.
:
=
при аль-
:
Рассмотрим функцию
()
)
=
=
()
(
,
)
где
()
, … , , , … ,
(
=
(
()
)
,
Можно рассматривать только случай ρ(X1, …, Xn, Y1, Y2, …,
) ≥ 1. С этой целью в качестве выборки X1, …, Xn берут ту из
Y
m
двух выборок, исправленная выборочная дисперсия кото-
рой больше. Поэтому далее считаем, что
Известно, что если гипотеза
личина ρ(X
, …, Xn, Y1, Y2, …, Ym) имеет распределение Фишера
1
верна, то случайная ве-
()
()
.
F(n –1, m – 1).
Поэтому можно поступить следующим образом. По заданному α с помощью таблицы распределения F(n –1, m – 1)
найти квантиль F
(n –1, m – 1) и использовать следующий
1 – α
критерий:
22
(
, … , , , …,
)
=
, (, … , , , … , ) <
=
, (, … , , , … , )
Критерий Стьюдента. Пусть X
, X2, …, Xn и Y1, Y2, …, Ym —
1
( 1, 1),
( 1, 1).
две независимые выборки из нормальных распределений
,σ2) и N(a2,σ2) соответственно, средние которых неиз-
N(a
1
вестны, а дисперсии одинаковы и неизвестны. Проверяется
основная гипотеза H
: a1 = a2 при альтернативе H2: a1 ≠ a2.
1
Рассмотрим функцию
()+(
)
=
(
1)
).
,
()
где
=
()
=
(
( + 2
+
(
, … , , , …,
)
( 1)
),
()
=
Известно, что если гипотеза H1 верна, то случайная ве-
личина ρ(X
, …, Xn, Y1, Y2, …, Ym) имеет распределение Стью-
1
дента T(n + m – 2).
Поэтому можно поступить следующим образом. По заданному α с помощью таблицы распределения T(n + m – 2)
найти квантиль t
(n + m – 2) и использовать следующий
1 – α/2
критерий:
)
=
|
)
<
|
)
( + 2),
/
( + 2).
/
=
(
, … , , , …,
, |(, … , , , …,
, |(, … , , , …,
З
аметим, что также можно проверять гипотезу H
односторонних альтернативах H
: a1 < a2 или H2: a1 > a2. В
2
этих случаях критерии выглядят так:
(
, (, … , , , …,
=
, (, … , , , … ,
, … , , , …,
)
=
)
>
)
или
( + 2),
( + 2)
при
1
23
, (, … , , , … ,
=
, (, … , , , … ,
с
оответственно.
(
, … , , , …,
)
=
)
<
)
( + 2),
(
+ 2
)
,
1.3. Задачи и упражнения
1.1. Для нормального закона распределения со средним
значением 0 и дисперсией 1 вычислите квантили порядка
0,05 и 0,95. Вычислите медиану. Дайте интерпретацию
найденных величин на графиках функции и плотности распределения данного закона распределения.
1.2. Для нормального закона распределения со средним
значением 1 и дисперсией 4 вычислите квантили порядка
0,1 и 0,9. Вычислите медиану. Дайте интерпретацию
найденных величин на графиках функции и плотности распределения данного закона распределения.
1.3. Для нормального закона распределения со средним
значением –1 и дисперсией 1 вычислите квантили порядка
0,025 и 0,975. Вычислите медиану. Дайте интерпретацию
найденных величин на графиках функции и плотности распределения данного закона распределения.
1.4. Предположим, что месячный доход граждан N-й об-
ласти можно считать имеющим нормальное распределение.
По выборке из 100 человек определили, что средний месячный доход в области равен 8,7 тыс. р., а дисперсия равна
2
100 тыс. р.
.
24
Задания:
а) Постройте 95% доверительные интервалы для среднего и дисперсии месячного дохода в N-й области.
б) Можно ли на основании построенных доверительных
интервалов принять предположения о том, что средний месячный доход равен 8,5 тыс. р., а стандартное отклонение —
11 тыс. р.? Какие ошибки могут быть при этом совершены и
чему равны их вероятности?
в) Проверьте те же предположения относительно теоретических значений среднего и стандартного отклонения на
основании общей схемы проверки гипотез при уровне значимости 0,95.
1.5. Предположим, что месячный доход граждан N-й об-
ласти можно считать имеющим нормальное распределение.
По выборке из 121 человека определили, что средний месячный доход в области равен 9 тыс. р., а дисперсия равна
2
81 тыс. р.
.
Задания:
а) Построить 99% доверительные интервалы для среднего и дисперсии месячного дохода в N-й области.
б) Можно ли на основании построенных доверительных
интервалов принять предположения о том, что средний месячный доход равен 10 тыс. р., а стандартное отклонение —
10 тыс. р.? Какие ошибки могут быть при этом совершены и
чему равны их вероятности?
в) Проверить те же предположения относительно теоретических значений среднего и стандартного отклонения
на основании общей схемы проверки гипотез при уровне
значимости 0,99.
25
1.6. Получена выборка (a = –2, σ²=0,05, ε = 0,01) объема 50:
–1,927
–1,491
–2,297
–2,182
–2,351
–1,846
–2,554
–1,557
–2,203
–2,024
–2,757
–2,39
–1,962
–2,681
–0,852
–1,14
–2,07
–3,055
–2,851
–1,439
–2,048
–1,443
–2,538
–1,029
–1,795
–2,174
–1,937
–1,927
–0,901
–1,288
–1,919
–0,032
–0,631
–1,246
–1,859
–2,581
–0,805
–2,547
–1,972
–2,428
–1,556
–2,57
–2,931
–2,313
–1,923
–1,754
–0,276
–1,628
–2,423
–3,254
–1,927
–1,491
–2,297
–2,182
–2,351
–1,846
–2,554
–1,557
–2,203
–2,024
–2,757
–2,39
–1,962
–2,681
–0,852
–1,14
–2,07
–3,055
–2,851
–1,439
–2,048
–1,443
–2,538
–1,029
–1,795
–2,174
–1,937
–1,927
–0,901
–1,288
–1,919
–0,032
–0,631
–1,246
–1,859
–2,581
–0,805
–2,547
–1,972
–2,428
Задания:
а) По данной выборке построить гистограмму.
б) По данной выборке, взятой из нормального распреде-
ления с параметрами и , построить доверительные ин-
тервалы уровня доверия 1 – ε: для параметра a, если σ известно; для параметра a, если σ неизвестно; для параметра
2
, если a известно; для параметра σ2, если a неизвестно.
σ
1.7. Получена выборка (a = –2, σ²=0,05, ε = 0,01) объема 50.
26
–1,556
–2,57
–2,931
–2,313
–1,923
–1,754
–0,276
–1,628
–2,423
–3,254
–1,927
–1,491
–2,297
–2,182
–2,351
–1,846
–2,554
–1,557
–2,203
–2,024
–2,757
–2,39
–1,962
–2,681
–0,852
–1,14
–2,07
–3,055
–2,851
–1,439
–2,048
–1,443
–2,538
–1,029
–1,795
–2,174
–1,937
–1,927
–0,901
–1,288
–1,919
–0,032
–0,631
–1,246
–1,859
–2,581
–0,805
–2,547
–1,972
–2,428
–1,556
–2,57
–2,931
–2,313
–1,923
–1,754
–0,276
–1,628
–2,423
–3,254
0,987
0,028
0,167
0,198
0,547
0,525
0,5
0,42
0,339
0,233
По данной выборке, взятой из нормального распределе-
ния, проверить на уровне значимости ε гипотезы:
а) о совпадении дисперсий у первых 25 и у последних 25
элементов выборки;
б) о совпадении средних у первых 25 и у последних 25
элементов выборки, если известно, что дисперсии совпадают.
2
1.8. Получена выборка (a = –2, σ
=0,05, ε = 0,01) объема 50.
По данной выборке проверить на уровне значимости ε
гипотезу о нормальности распределения с помощью критериев Пирсона и Жарка–Бера.
1.9. Получена выборка (ε = 0,01) объема 30.
27
0,562
0,722
0,446
0,247
0,108
0,195
0,764
0,543
0,92
0,437
0,002
0,612
1
0,507
0,533
0,786
0,676
0,157
0,499
0,099
Зад
ания:
а) По данной выборке построить гистограмму.
б) По данной выборке проверить на уровне значимости
ε гипотезу о равномерности распределения на отрезке [0; 1]
с помощью критериев Колмогорова и Пирсона.
2. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
2.1. Математическая модель регрессии
Пусть у нас есть две случайные величины Y и X. Будем
предполагать, что у них существуют дисперсии.
На протяжении всего нашего курса нас будет интересовать следующая задача: как, зная значение, которое приняла
случайная величина X, построить прогноз для случайной
величины Y.
Сначала нам надо определиться с тем, какой прогноз яв-
ляется лучшим. То есть нам надо найти такую функцию f(),
что случайная величина f(X) будет в каком-то смысле
наиболее близка к случайной величине Y. Одним из есте-
ственных способов выбора функции f() является условие
2
минимальности E(Y – f(X))
Условным математическим ожиданием случайной величины Y относительно случайной величины X будем назы-
вать случайную величину f(X) такую, что для любой ограни-
ченной измеримой функции g() выполнено условие
.
E(Y – f(X))g(X) = 0.
Условное математическое ожидание будем обозначать
f(X) = E(Y | X).
Покажем, что для любой функции h(X) выполнено условие
E(Y – h(X))2 ≥ E(Y – E(Y – E(Y | X))2. (2.1)
Будем иметь
E(Y – h(X))2 = E(Y – h(X) + E(Y | X) – E(Y | X))2 =
=
E(Y – E(Y | X))2 – 2E(Y – E(Y | X))(h(X) – E(Y | X)) +
E(h(X) – E(Y | X))2.
+
29
Если случайная величина h(X) – E(Y | X) ограничена, то,
используя определение условного математического ожидания, будем иметь
E(Y – h(X))2 ≥ E(Y – E(Y | X))2 + E(h(X) – E(Y | X))2 ≥
≥ E(Y – E(Y | X))2.
Если случайная величина h(X) – E(Y | X) не ограничена,
то вначале рассматривается ее срезка (h(X) – E(Y | X))×
×I
|h(X) – E(Y|X)|
([0, N]), где Ix(A) —индикатор множества A, а за-
тем осуществляется предельный переход при N → ∝.
Таким образом, f(X) = E(Y | X) является наилучшим про-
гнозом для случайной величины Y.
Получим еще одно важное свойство E(Y | X). Возьмем
функцию g(X) ≡ 1, тогда, используя определение условного
математического ожидания, будем иметь
E(Y – E(Y | X)) = E(Y – E(Y | X))1 = 0. (2.2)
Рассмотрим простой пример. Пусть подбрасывают две
симметричные монеты, у которых на одной стороне написано число 1, на второй стороне — 0. Пусть случайная величина Y — это сумма чисел, которые выпали, случайная вели-
чина X — их произведение. Найдем E(Y | X).
Очевидно, что случайная величина X
принимает значе-
ния 0 и 1 с вероятностями 3/4 и 1/4 соответственно. Найдем
(|= 0)=
1/4
= 0
3/4
+ 1
(|= 1)=
0
= 0
3/4
+ 1
(=
1/2
3/4
(=
0
3/4
+ 2
+ 2
0
3/4
1/4
3/4
|
|
= 0
=
= 1
= 2.
)
=
2
.
3
)
=
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]