Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Парный регрессионный анализ. Практикум
.pdf
Значения распределения χ
2
табулированы (см. прило-
жение).
Распределение χ
2
часто используется при проверке гипотез о типе распределения и о независимости признаков.
В обоих случаях оно описывает расхождение между теоретическим числом попаданий в интервал и наблюдаемым.
В программе Microsoft Excel распределение χ
2
реализо-
вано при помощи следующих функций:
1. ХИ2.РАСП(, k) — возвращает вероятность того, что
случайная величина, имеющая распределение χ
2
с k степе-
нями свободы, больше, чем число .
2. ХИ2.ОБР(p, k) — по заданной вероятности p возвраща-
ет число , такое что P(χ
2
> ) = p. Отметим, что ХИ2.ОБР —
это функция, обратная к ХИ2.РАСП.
Распределение Фишера. Пусть случайные величины X
и Y независимы, случайная величина X имеет распределение
H(k), а случайная величина Y — распределение H(n). Тогда
распределение случайной величины
/
=
,
/
=
называется распределением Фишера с k и n степенями свободы и обозначается F(k, n).
Пример плотностей распределения Фишера представ-
лен на рис. 4.
Значения распределения Фишера табулированы (см.
приложение).
Распределение Фишера часто используется в дисперсионном анализе для проверки гипотез о равенстве средних в
группах и о значимости линейной модели.
11
Рис. 4. График плотности распределений F(k, n)
В программе Microsoft Excel распределение Фишера реа-
лизовано при помощи следующих функций:
1. F.РАСП(х, k, n) — возвращает вероятность того, что
случайная величина, имеющая распределение Фишера с k и
n степенями свободы, больше .
2. F.ОБР(р, k, n) — возвращает значение такое, что ве-
роятность того, что случайная величина f
, имеющая рас-
k,n
пределение Фишера с k и n степенями свободы, больше
равна p, т. е. P(f
> ) = p.
k,n
12
1.2. Сведения из математической статистики
Основные понятия математической статистики
Пусть X — случайная величина, наблюдаемая в случайном эксперименте. Если провести этот эксперимент n раз
при одних и тех же условиях, то получим значения случайной величины X
имеет некоторое распределение G, которое частично или
полностью неизвестно.
Выборкой X
называется набор из n независимых и одинаково распреде-
ленных случайных величин, имеющих распределение G.
Упорядоченные по возрастанию элементы выборки X
X
, …, Xn называются вариационным рядом:
2
где
()
= min
Элемент X
или k-й порядковой статистикой.
При исследовании различных параметров случайной
величины X с использованием выборки возможно получение только оценок изучаемых параметров.
Точечной оценкой некоторого параметра случайной величины X называется числовое значение этого параметра,
рассчитанное по выборке по определенному правилу.
Приведем некоторые примеры точечных оценок.
Оценкой неизвестного математического ожидания является выборочное среднее:
, X2, …, Xn. При этом случайная величина X
1
, X2, …, Xn объёма n из распределения G
1
()
{
, , … ,
называется k-м членом вариационного ряда
(k)
}
,
()
()
=
. . .
= max
1
,
()
{
, , …,
.
}
.
1
,
13
k
Оценкой для EX
является выборочный k-й момент:
1
=
.
В качестве оценки для дисперсии DX используется вы-
борочная дисперсия:
1
=
(
=
)
(
)
или исправленная выборочная дисперсия:
1
=
1
(
)
=
1
.
Оценкой среднего квадратичного отклонения σ(X
) яв-
ляется выборочное среднее квадратичное отклонение:
=
.
Выборочное среднее, выборочная дисперсия и выбо-
рочное среднее квадратичное отклонение образуют основные выборочные характеристики случайных величин.
Оценкой ковариации cov(X, Y) случайных величин X и Y
является выборочная ковариация:
где
(
, )=
=
.
,
Оценкой коэффициента корреляции ρXY случайных ве-
личин X и Y
является выборочный коэффициент корре-
ляции:
(
,
)
.
=
14
Неизвестную функцию распределения F(x) = P(X < x)
()
=
0,
,
1,
<
()
,
()
< <
()
,
>
()
.
можно оценивать с помощью эмпирической функции распределения:
()
=
<
.
Эмпирическая функция распределения имеет скачки в
точках выборки, величина скачка в точке X
m — количество элементов выборки, совпадающих с X
равна m / n, где
i
. Эм-
i
пирическая функция распределения по вариационному ряду
строится следующим образом:
Эмпирическим аналогом плотности распределения является гистограмма.
Гистограмма строится по сгруппированным данным.
Область на прямой, занимаемую элементами выборки, делят на k равных интервалов. Их количество можно определить, например, с помощью формулы Стерджеса:
= 1 +
Обозначим эти интервалы A
попавших в интервал A
, обозначим
j
На каждом интервале A
где l — длина интервала.
[
строят прямоугольник с высотой
j
=
]
log
.
, …, Ak. Число элементов,
1
, где j = 1, …, k.
,
Полученная фигура и есть гистограмма.
15
Доверительные интервалы для параметров
нормального распределения
–
Интервал (θ
го уровня значимости α и от выборки X
ется доверительным интервалом для параметра θ с
надежностью γ = 1 – α, если при любом возможном значении θ
Интервал (θ
рительным интервалом для параметра θ с надежностью γ,
если при любом возможном значении θ
Пусть X
2
N(a, σ
). Укажем точные доверительные интервалы с надеж-
ностью γ = 1 – α.
Доверительный интервал для a
где u
уровня 1 – α/2.
— квантиль стандартного нормального распределения
1 – α/2
Доверительный интервал для σ2 при известном a.
Случайная величина
(
где
и 1 – α/2 соответственно.
/
()
,
, θ+), границы которого зависят от заданно-
, X2, …, Xn, называ-
1
P(θ– < θ < θ+) = γ.
–
, θ+) называется асимптотическим дове-
(< < ) = .
lim
, X2, …, Xn — выборка объёма n из распределения
1
при известном σ2:
/
< < +
имеет распределение H(n), где
<
<
()
/
)
.
Поэтому
/
() — квантили распределения H(n) уровня α/2
/
/
()
= 1 ,
= 1 ,
=
16
Доверительный интервал для a
Случайная величина
имеет распределение T(n – 1).
Поэтому
при неизвестном σ2.
где
/
/
(
1
(
1)
)
— квантиль распределения
< <
+
/
(
1)
) уровня 1 – α/2.
T(n – 1
= 1 ,
Доверительный интервал для σ2 при неизвестном a.
()
Случайная величина
имеет распределение H(n – 1).
Поэтому
( 1)
( 1) — квантили распределения H(n – 1)
<
<
где
/
(
( 1)
/
1),
уровня α/2 и 1 – α/2 соответственно.
( 1)
/
( 1)
= 1 ,
Гипотезы и критерии
Пусть X
ряется основная гипотеза H
: G ≠ G1.
H
2
Предположим, что нашлась функция ρ(X
дующими свойствами:
1) если гипотеза H
ние G
, то распределение величины ρ(X1, …, Xn) либо целиком
1
известно, либо при больших n сближается с известным распределением J;
2) если гипотеза H
распределение G
для любого такого
, X2, …, Xn — выборка из распределения G. Прове-
1
: G = G1 при альтернативе
1
, …, Xn) со сле-
1
верна, т. е. если X имеет распределе-
1
неверна, т. е. если X имеют какое-то
1
≠ G1, то
2
|
(, … ,
|
)
по вероятности
G2.
17
Определим постоянную С из равенства α = P(|ρ(X
)| ≥ C). Построим критерий:
X
n
, …,
1
(
, … ,
=
, |(, … ,
)
, |(, … ,
|
)
< ,
)
|
.
Этот критерий называется критерием согласия.
Критерии для проверки гипотезы о распределении
Критерий Колмогорова. Пусть X
распределения G. Проверяется основная гипотеза H
при альтернативе H
ния G
где K() — функция распределения Колмогорова:
непрерывна. В этом случае при любом > 0
1
sup
|
: G ≠ G1. При этом функция распределе-
2
()
()|< (
()= (1)
Значения этой функции табулированы.
Положим (, … ,
)
=
sup
По заданному α с помощью таблицы значений функции
K() можно найти такое C, что 1 – α = K(C). Критерий Колмо-
горова имеет вид:
, X2, …, Xn — выборка из
1
)
,
.
|
()
|
()
.
: G = G1
1
(
, … ,
=
, |(, … ,
)
, |(, … ,
|
)
< ,
)
|
.
Критерий χ2 Пирсона для проверки простой гипоте-
зы. Область значений предполагаемого распределения
G1
делят на некоторое число интервалов. Далее строят функцию отклонения ρ по разностям теоретических вероятно-
18
стей попадания в интервалы группировки и эмпирических
частот.
Дана выборка объема n из распределения G. Проверяется основная гипотеза H1: G = G1 при альтернативе H2: G ≠ G1.
Пусть A
, …, Ak — интервалы группировки в области зна-
1
чений случайной величины с предполагаемым распределением G
. Пусть для каждого j = 1, …, k величина
1
лу элементов выборки, попавших в интервал A
где индикатор
=
()
1, ,
=
0, .
=
:
j
,
равна чис-
j
Пусть число pj > 0 равно теоретической вероятности попадания в интервал A
ем G
. Здесь p1 + … + pk = 1. Длины интервалов принято вы-
1
бирать так, чтобы p
(
случайной величины с распределени-
j
= … = pk = 1/k. Пусть
1
, …,
)
=
(
)
.
Если верна гипотеза H1, то при фиксированном k и при
n → ∝ распределение величины ρ(X
, …, Xn) сходится к рас-
1
пределению H(k – 1). Поэтому можно поступить следующим
образом. По заданному α с помощью таблицы распределе-
ния H(k – 1) найти квантиль
( 1) и использовать сле-
дующий критерий:
( 1),
( 1).
(
, … ,
=
, (, … , )
)
, (, …, ) <
Критерий χ2 Пирсона для проверки параметрической гипотезы. Пусть
ния G. Проверяется основная гипотеза H
нативе H
: G ≠ Gθ, где θ — многомерный параметр размерно-
2
X1, X2, …, Xn — выборка из распределе-
: G = Gθ при альтер-
1
19
сти d. Вся числовая ось разбивается на k > d + 1 интервалов
группировки A
выборки, попавших в интервал A
, …, A
1
и вычисляется
k
.
j
— число элементов
j
Рассмотрим функцию
(
, … , , , … ,
)
=
(
(
(
, … ,
, … ,
где pj(t1, …, td) равно теоретической вероятности попадания в интервал A
случайной величины с распределением Gθ при θ = t1, …, td.
j
Пусть
— точка минимума функции ρ(X1, …, Xn, t1, …, td).
)
)
,
)
Пусть
(
, …, ,
)
=
(
(
))
.
(
)
Если верна гипотеза H1 и выполнены некоторые усло-
вия гладкости функции (например, они выполнены, если
G
— класс нормальных распределений), то при фиксиро-
θ
ванном k и при n → ∝ распределение величины ρ(X
,
) сходится к распределению H(k – 1 – d).
X
n
, …,
1
Поэтому можно поступить следующим образом. По за-
данному α с помощью таблицы распределения H(k – 1 – d)
найти квантиль
( 1 ) и использовать следующий
критерий:
( 1 ),
( 1 ).
(
, … ,
=
, (, … , , )
)
, (, … , , ) <
Критерий Харке–Бера проверки гипотезы о нор-
мальном распределении выборки. Пусть X
, X2, …, Xn — вы-
1
борка из распределения G. Проверяется основная сложная
гипотеза H
: G = GN, где GN — класс нормальных распределе-
1
ний с неизвестными параметрами, при альтернативе
: G ≠ GN.
H
2
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]