Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Парный регрессионный анализ. Практикум
.pdf
Домохозяйство
X Y
1
1
1,93
2
2
7,13
3
3
8,78
4
4
9,69
5
5
10,09
6
6
10,42
7
7
10,62
8
8
10,71
9
9
10,79
10
10
11,13
Задания:
а) Найдите оценки параметров линейной модели регрессии для зависимости ежегодного потребления продукта
от дохода. Рассчитайте значение статистики Дарбина–
Уотсона. Проверьте гипотезу об отсутствии автокорреляции
остатков.
б) Найдите оценки параметров гиперболической модели
регрессии для зависимости ежегодного потребления продукта от дохода. Рассчитайте значение статистики Дарбина–
Уотсона. Изменится ли вывод о наличии (отсутствии) автокорреляции?
2.51. Оценивается регрессия случайной величины на
номер наблюдения в выборке:
полагается, что случайные возмущения
= 0, = . Является ли величина =
= + + , = 1, . Пред-
независимы,
несмещен-
ной оценкой параметра ? Найдите .
2.52. Эконометрист Надежда убеждена, что оценивание
регрессии методом наименьших квадратов — излишняя мо-
рока. По мнению Нади, коэффициент a в уравнении Y = aX + ε
91
можно оценить, опираясь на одно-единственное наблюдение
(обозначим номер этого наблюдения j): =
. Покажите, что
такая оценка несмещенная, и посоветуйте Наде, как выбрать
наблюдение j, чтобы результат был наиболее точным.
2.53. По n наблюдениям оценивается модель
Y = aX + b + ε. Известно, что = 2, остальные же предпо-
сылки теоремы Гаусса–Маркова выполнены. Покажите, что
оценка метода наименьших квадратов для параметра a является несмещенной, а для параметра b — смещенной.
Предложите несмещенную оценку для b.
2.54. Методом наименьших квадратов оцениваются па-
раметры уравнения Y = aX + b + ε. Покажите, что в случае
a = 0 получаемая оценка параметра b
фективной, чем оценка =
.
оказывается менее эф-
2.55. Модель Y
= aXi + b + εi удовлетворяет всем предпо-
i
сылкам классической линейной нормальной регрессионной
модели. Известно, что
,
cov(
)?
= 7 . Чему равны ,
2.56. Докажите, что статистика Дарбина–Уотсона удо-
влетворяет неравенству 0 ≤ DW ≤ 4.
2.57. Пусть () — ранг , (||) — ранг ||, = 1, .
Задания:
а) Покажите, что () = (||) =
б) Покажите, что () = (||) =
.
()()
.
в) Докажите, что статистика Спирмена может быть вы-
числена по формуле:
,
92
||
=
((), (||))
.
()(||)
2.58. Рассмотрим модель = + , =
, = 1, ,
— неизвестный параметр модели. Все остальные предпо-
сылки Теоремы Гаусса–Маркова выполнены. Предлагается
оценка для коэффициента регрессии: =
.
Задания:
а) Покажите, что она несмещенная.
б) Найдите ее дисперсию.
в) Докажите, что предложенная оценка эффективна в
классе линейных несмещенных оценок.
г) Найдите МНК-оценку и сравните с предложенной.
3. ПАРНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
3.1. О необходимости изучения
нелинейных моделей регрессии
Попробуем на простом примере понять, что нелинейная
взаимосвязь между экономическими показателями — рас-
пространенное явление. Допустим в момент времени 0 мы
вложили в некоторый коммерческий проект сумму S денежных единиц, пусть Y
проекта через X лет. Предположим, что функция f(S, X, ε) ли-
нейна относительно X и ε, т. е. Y
Покажем, что в этом случае долгосрочное вложение денег в этот проект является невыгодным. Заметим, что если в
момент времени 0 вложить S денежных единиц в банков-
ский депозит под r % годовых, то через X лет наш доход составит Y
= S(1 + r / 100)X денежных единиц. Вследствие то-
B
го, что показательная функция с основанием больше единицы растет быстрее чем линейная, доход по депозиту в долгосрочной перспективе превысит наш средний доход от
коммерческого проекта. Значит, нам выгоднее открыть депозит, чем инвестировать в такой проект.
Приведенные выше рассуждения показывают, что,
например, доход от успешного коммерческого проекта никак не может линейно зависеть от его продолжительности.
Все это наводит на мысль о необходимости рассмотрения
нелинейных экономических моделей.
Как и ранее, нас будет интересовать зависимость случайной величины Y от X. Будем предполагать, что справедливо равенство
= f(S, X, ε) — суммарный доход от этого
C
= a(S)X + b(S) + ε.
C
Y
= f(X, ε),
где функция f(X, ε) не является линейной хотя бы по одной
из переменных X или ε. Такой вид зависимости будем называть парной нелинейной регрессией.
94
Существует два класса нелинейных регрессий: нелинейные относительно переменных, но линейные относительно
параметров, и нелинейные относительно параметров. Рассмотрим отдельно каждый из этих классов.
3.2. Модели, нелинейные относительно переменных,
но линейные относительно параметров
1. Полиномиальная регрессия:
Y = a
Xr + a
r
r–1
X
+ … + a1X + a0 + ε,
r–1
где r ≥ 2.
Такой вид регрессии применяется, когда многократно меняется характер зависимости Y от X. То есть на некоторых интервалах Y растет с ростом X, а на некоторых — убывает. Если
n ≥ r + 1, то в этой модели можно получить оценки неизвест-
ных параметров методом наименьших квадратов, т. е. найти
точку минимума следующей функции r + 1 переменной:
(, , … ,
)
= (
)
min.
Эта задача решается стандартными методами дифференциального исчисления. При этом нахождение критической точки сводится к решению системы линейных уравнений порядка r + 1.
2. Регрессии вида:
Y = ag(X) + b + ε, (3.1)
где g(X) — известная функция.
95
Такая модель сводится к линейной путем введения но-
вой независимой переменной Z = g(X). В результате этой замены модель (3.1) примет линейный вид:
Y = aZ + b + ε.
Для нахождения оценок неизвестных параметров те-
перь можно использовать формулы (2.5) и (2.6).
=
, =
. (3.2)
В результате получим следующее уравнение выбороч-
ной регрессии:
y* = a*g(X) + b*.
Заметим, что если независимая переменная X — вели-
чина неслучайная, а случайное возмущение ε удовлетворяет
условиям теоремы Гаусса–Маркова, то оценки, полученные с
помощью формулы (3.2), являются состоятельными, несмещенными, эффективными в классе оценок, линейных относительно Y
, i = 1, …, n.
i
Из результатов раздела 2 настоящего практикума следует, что при выполнении условий (I
)–(I4) справедливы
1
следующие формулы для доверительных интервалов для
коэффициентов регрессии a и b:
где t
P(a* – t
P(b* – t
(n – 2) — квантиль распределения T(n – 2) уровня 1 – α/2,
1–α/2
=
,
(n – 2) ⋅ Sa* < a < a* + t
1–α/2
(n – 2) ⋅ Sb* < b < b* + t
1–α/2
=
,
(n – 2) ⋅ Sa*) = 1–α,
1–α/2
(n – 2) ⋅ Sb*) = 1–α,
1–α/2
=
,
=
.
Также, если выполнены условия (I1)–(I4), то справедливы следующие интервальные оценки для среднего значения
и индивидуального значения зависимой переменной:
/
( 2)
< <
+
/
( 2)
= 1 ,
96
Магазин
Цена, тыс. р.
Объем продаж, ед.
1
39 1 2
34,5
2
3
32 3 4
30
4
5
29 5 6
31
6
7
28 7 8
34 2 9
38,5
1
10
29
6
/
( 2)
< <
+
/
( 2)
= 1 ,
где t
(n – 2) — квантиль распределения T(n – 2) уровня 1 – α/2,
1–α/2
= ,
1 +
1
=
=
1
+
)
,
(
+
(
)
,
=
,
=
.
Остановимся на наиболее важных моделях вида (3.1).
Гиперболическая регрессионная модель:
Y = a / X + b + ε.
В этом случае применяется замена Z = 1 / X.
Гиперболическая модель применяется в микроэкономике, например, для описания зависимости расходов сырья от
объема выпускаемой продукции. Также модели этого вида
применяются в макроэкономике, например, модель Филлипса, где Y — процент прироста безработицы, X — норма
безработицы.
Пример 3.1. По 10 магазинам известны данные о цене
некоторого товара (тыс. р.) и количестве проданного товара
за месяц (ед.):
97
Решение. Обозначим через X цену товара, через Y — ме-
сячный объем продаж данного товара.
Построим корреляционное поле по имеющимся данным
(рис. 10).
Рис. 10. Корреляционное поле для цены товара
и месячного объема продаж
На рис. 10 точки корреляционного поля наиболее близ-
ки к графику некоторой гиперболы y = a / + b. Следова-
тельно, мы можем выдвинуть гипотезу о гиперболической
зависимости между ценой товара и месячным объемом его
продаж.
Найдем оценки коэффициентов гиперболической моде-
ли регрессии между объемом продаж и ценой товара.
Сделаем замену переменных Z = 1 / X.
Предварительно рассчитаем необходимые суммы (по-
следняя строка табл. 3.1).
98
Таблица 3.1
i
=
1
1
39
0,0256
1
0,026
0,000657
2
34,5
0,0290
2
0,058
0,00084
3
32
0,0313
3
0,094
0,000977
4
30
0,0333
4
0,133
0,00111
5
29
0,0345
5
0,172
0,00119
6
31
0,0323
6
0,194
0,00104
7
28
0,0357
7
0,250
0,00127
8
34
0,0294
2
0,059
0,000865
9
38,5
0,0260
1
0,026
0,000675
10
29
0,0345
6
0,207
0,00119
Σ
0,312
37
1,218
0,00982
Вычислим значения a* и b*. Для этого предварительно
вычислим:
=
0,312 = 0,0312,
=
1,218 = 0,1218,
=
=
37 = 3,7,
0,00982 = 0,000982.
Тогда
(
, )= 0,1218 0,0312 3,7 = 0,00657,
= 0,000982 0,0312
= 0,0000114.
Тогда по формуле (3.2):
,
=
,
= 3,7 576,636 0,0312 = 14,264.
= 576,636,
Итак, гиперболическое уравнение регрессии имеет вид:
,
=
14,264 .
99
Полулогарифмическая регрессионная модель:
Год
Расходы на рекламу (млн р.)
Прибыль (млн р.)
1
1,8
5 2 2
7 3 2,8
10,5 4 3,5
11 5 5
13
6
6,7
15 7 8,5
14,5
8
9,3
12,5 9 9,8
14
Y = a ln X + b + ε.
В этом случае применяется замена Z = ln X.
Эта модель является одной из моделей Энгеля и может
служить для описания зависимости расходов на еду от доходов. То есть с ростом доходов расходы на еду растут не
линейно, а как логарифмическая функция.
Пример 3.2. Анализируется прибыль предприятия
(млн р.) в зависимости от расходов на рекламу (млн р.). По
наблюдениям за девять лет получены данные:
Решение. Обозначим через X расходы на рекламу, через
Y — годовую прибыль предприятия.
Построим корреляционное поле по имеющимся данным
(рис. 11).
На рис. 11 точки корреляционного поля наиболее близ-
ки к графику логарифмической кривой y = a ln + b. Следо-
вательно, мы можем выдвинуть гипотезу о логарифмической зависимости между расходами на рекламу и годовой
прибылью предприятия.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]