Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
3.2. Первое начало термодинамики
Кроме того, особо подчеркнем, что энергия является однозначной функцией состояния тела, она не зависит от пути перехода тела из одного состояния в другое.
Работа и теплота не являются видами энергии. Процесс работы и теплопередача
представляют собой две единственно возможные формы передачи энергии от одного т ела (системы тел) к другому (к другой системе тел), а количество теплоты и
количество работы представляют собой меру энергии, переданной в форме тепла и
работы.
Обратите внимание! Теплота и работа, являясь эквивалентными формами передачи энергии, не равноценны друг другу: работа в теплоту переходит сама собой
(например, при трении), а обратный процесс во зможен только принудительно (тепловые двигатели).
Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, как известно, определяется по формуле:
Q = mc∆T, (3.46)
где ∆T = T2−T1– разность температур, c – удельная теплоемкость (энергетическая
характеристика процесса теплопередачи), т.е. количество теплоты, которое нужно
сообщить единице массы вещества для нагревания на 1 К,
c =
. (3.47)
m∆T
Дж
Q
Единица СИ удельной теплоемкости: [c] =
.
(кг · К)
При нагревании газов (в отличие от тверды тел и жидкостей) необходимо указывать на условия, при которых происходит процесс теплопередачи. В соответствии
с этим, вводятся удельная теплоемкость при постоянном объёме cv(изохорическое
нагревание) и cp– удельная теплоемкость при постоянном давлении (изобарический
процесс). Таким образом,
Q = mcv∆T ; (3.48)
Q = mcp∆T. (3.49)
Количество теплоты, переданное газу, связано с изменением его внутренней энергии и работой расширения:
Q = ∆U + A, (3.50)
или в дифференциальной форме (для элементарного процесса теплопередачи):
dQ = dU + dA. (3.51)
Формулы (3.50) и (3.51), выражающие закон сохранения энергии для тепловых процессов, являются математическим выражением первого начала термодинамики.
81
3.2. Первое начало термодинамики
Для изохорического процесса V = const, ∆V = 0, тогда формула (3.50) прини-
мает вид:
Q = ∆U. (3.52)
Подставляя в уравнение (3.52) вместо Q и U их значения no формулам (3.48)
и (3.51), получим:
i
mcv∆T =
R∆T,
2mµ
откуда удельная теплоемкость при постоянном объеме:
i
cv=
. (3.53)
2Rµ
По определению, молярная теплоемкость Cv= µcv, следовательно,
Cv=
R. (3.54)
2
Как видно из формулы (3.54), молярная теплоемкость Cvзависит то ль ко от
числа степеней свободы и универсальной газовой постоянной и не зависит от
природы газа.
При изобарическом процессе (p = const) газ нагревается и, расширяясь, совер-
шает раб оту; тогда по формулам (3.49), (3.50), (3.22), (3.45) и (3.10) будем иметь:
i
mcp∆T =
i
R∆T +
2mµ
m
R∆T,
µ
отсюда для удельной теплоемкости газа при постоянном давлении получается
выражение:
i
cp=
2Rµ
R
+
. (3.55)
µ
Молярная теплоемкость Cpпри постоянном дав лении будет равна
i
Cp=
R + R (3.56)
2
i + 2
или Cp=
R. (3.57)
2
Сравнивая формулы (3.54) и (3.56), приходим к выводу о том, что Cpбольше,
чем Cv, на величину универсальной газовой постоянной:
Cp− Cv= R – (3.58)
– уравнение Р. Майера.
82
3.2. Первое начало термодинамики
При изотермическом процессе (T = const) изменения внутренней энергии не
происходит и все подведённое к газу тепло преобразуется в работу расширения
Q = A. (3.59)
По этой причине изотермический процесс является практически самым выгодным из всех изопроцессов. А как быть CT? Попробуйте ответить на этот вопрос
сами.
Обратите внимание! Характерной, в зависимости от молекулярного состава
C
газа, величиной является отношение
на γ.
C
p
C
=
v
γ =
p
, называемое коэффициентом Пуассо-
C
v
1, 67, при i = 3.
1, 4, при i = 5.
1, 33, при i = 6.
(3.60)
Примеры решения задач
Задача 3.8. Процесс, протекающий без обмена данной системы с окружающими
её телами энергией в форме теплоты, называется адиабатическим. Для него первое
начало термодинамики (формула (3.51) принимает вид dU + dA = 0. Рассматривая
в качестве переменных все три параметра p, V и , в ыведите уравнение Пуассона для
адиабаты.
Решение. При адиабатическом процессе газ сов ерша ет работу за счёт убыли
внутренней энергии
dA = −dQ (3.61)
или p dV = −CvdT. (3.62)
Продифференцируем уравнение Менделеева-Клапейрона для одного моля идеального газа по p, V и T
p dV + V dp = R dT, (3.63)
а затем, разделив уравнение (3.63) на (3.62), получим:
p dV + V dP
p dV
= −
C
R
(3.64)
v
V dp
или 1 +
= −γ + 1, (3.65)
p dV
так как R = Cp−Cvсогласно уравнению Майера (3.58), a γ – коэффициент Пуассона.
83
3.2. Первое начало термодинамики
Переменные в уравнении (3.65) легко разделяются
dp
p
= −γ
dV
. (3.66)
V
Переходя к связи между p и V в их конечных значениях, проинтегрируем (3.66) слева
от p1до p1, справа от V1до V2:
p
2
Z
dp
= −γ
p
p
1
отсюда ln
или ln
p
p
p
2
p
1
V
2
Z
V
1
2
= −γ ln
1
= γ ln
dV
,
V
V
2
V
1
V
1
. (3.67)
V
2
Потенциируя (3.67), получаем первое уравнение Пуассона для адиабаты:
p
2
=
p
1
γ
V
1
. (3.68)
V
2
Пользуясь (3.21) и (3.68), получим ещё два уравнения Пуассона:
γ−1
V
1
=
V
2
γ
γ−1
2
1
=
p
2
p
1
T
=
T
или (3.69)
γ
V
1
V
γ−1
2
1
и (3.70)
2
γ
. (3.71)
T
2
T
1
T
T
Получите эти уравнения сами.
Задача 3.9. Считая теплоемкость Cvне зависящей от температуры, выведите
формулу для работы одного моля идеального газа при адиабатическом расширении.
Решение. При указанном в условии задачи до пущении вместо dA = −CvdT
можно записать
A = −Cv(T2− T1) или (3.72)
γ−1
=
T
2
, (3.73)
T
1
, а
R
,
γ − 1
но
84
A = Cv(T1− T2) = CvT
T
2
, в соответствии с формулой (3.69), есть
T
1
Cv= C
R
v
R
CvR
=
Cp− C
1 −
1
V
1
V
2
R
=
C
p
v
− 1
C
v
3.2. Первое начало термодинамики
следовательно, (3.73) можно представить в виде:
A =
RT
1
γ − 1
"
1 −
V
1
V
2
#
γ−1
, (3.74)
для произвольной массы газа
A =
m
µ
RT
1
γ − 1
"
1 −
V
1
V
2
#
γ−1
. (3.75)
Задача 3.10. Для определения гидростатического давления пользуются формулой
p = ρgh, (3.76)
так как жидкости практически несжимаемы. Каким образом можно определить давление в атмосферном воздухе на любой высоте?
Решение. Атмосферный воздух находится под влиянием двух противоположных
тенденций. С одной стороны, сила тяжести стремится расположить
молекулы воздуха вблизи поверхности Земли, с другой,
– тепловое хаотическое движение стремится распределить молекулы по всему объёму атмосферы. В результате число молекул в единице объёма, плотность, а значит
и давление с высотой над поверхностью Земли убывают.
Обозначим через p0, ρ0, n0– давление, плотность и
dh
h
✻
❄
✻
p, ρ, n
концентрацию вблизи поверхности. Земли, а через p, ρ,
n – эти же величины на высоте h (3.5). Убыль давления
на участке высоты по формуле (3.76) равна
p0, ρ0, n
❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅
❄
Рис. 3.5. К задаче 3.10 .
0
−dp = ρg dh. (3.77)
Будем считать температуру на всей высоте постоянной.
Тогда, по закону Бойля-Мариотта,
p
V
=
p
V
0
ρ
0
=
, (3.78)
ρ
0
отсюда
p
ρ = ρ
. (3.79)
0
p
0
Подставляя выражение (3.79) в формулу (3.77), находим:
dp = −ρ
p
g dh, или
0
p
0
dp
p
= −
ρ0g
p
0
dh. (3.80)
85
3.2. Первое начало термодинамики
Интегрируя уравнение (3.80) слева от p0до p, а справа от 0 до h, будем иметь:
ρ0gh
p = p0exp −
. (3.81)
p
0
Соотношение (3.81) называется барометрической формулой. Её можно использовать
для определения давления в а тмосферном воздухе на высоте h над поверхностью
Земли при условии постоянства температуры, а зная давление, можно определить
высоту над Землей. На основе формулы (3.81) градуируются высотомеры (альтиметры) в авиации.
Задача 3.11. Какую работу надо совершить, чтобы медленно сжимая при помощи поршня газ в цилиндре с хорошо проводящими тепло стенками, увеличить его
давление в два раза? Начальное давление газа равно атмосферному p1= 760мм рт.ст.,
начальный объём V1= 5л. Во время сжатия давление и температура окружающего
воздуха остаются постоянными. Весом поршня и трением пренебречь. Сколько тепла
выделится при сжатии газа?
Решение. Вначале выясним, каким процессом является сжатие газа в условиях
задачи. Медленное протекание процесса и большая теплопроводность стенок цилиндра позволяют считать т емпературу газа равной температуре окружающей среде в
течение всего процесса. А так как последняя, согласно условию, остаётся неизменной,
то сжатие газа следует считать изотермическим процессом.
Работа газа при изотермическом процессе определяется формулой (3.36) или (3.37).
Поскольку p1< p2, то Aг< 0. Как и следовало ожидать, работа, совершенная
газом при его сжатии, отрицательна. В этом случае положительной будет работа,
совершенная внешними силами, сжимающими при помощи поршня газ в цилиндре:
p
A
= −Aг= p1V1ln
внеш
2
. (3.82)
p
1
Однако выражение (3.82) ещё не является ответом, поскольку есть сумма двух работ:
работы А – силы, приложенной к поршню (например, силы руки), и работы A
атм
силы атмосферного давления, т.е.
A
По условию задачи, искомой величиной является работа . Величину же A
внеш
= A + A
. (3.83)
атм
атм
можно найти по формуле работы газа при изобарическом процессе(3.22), так как атмосферное давление p1остаётся постоянным:
A
= p1(V1− V2). (3.84)
атм
При этом индексы у объёмов проставлены так, чтобы работа, вычисленная по формуле (3.84), была положительной. Преобразуем формулу (3.84), учитывая, что газ в
86
–
цилиндре сжимается изотермически:
A
= p1V
атм
1
1 −
3.2. Первое начало термодинамики
V
2
= p1V
V
1
1 −
1
p
1
. (3.8 5)
p
2
Подставив в выражение (3.83) вместо A
внеш
и A
их значения, по уравнениям
атм
(3.82) и (3.85), найдем искомую работу:
A = A
внеш
− A
атм
= p1V
p
2
ln
p
1
− 1 +
1
p
1
. (3.86)
p
2
Для определения количества теплоты, выделенного при сжатии газа, воспользуемся первым началом термодинамики. Поскольку при изотермическом процессе
(T = const) изменение внутренней энергии на основании (3.45) равно нулю, то
m
∆U =
Cv∆T = 0. (3.87)
µ
Из уравнения (3.50) получаем, что количество теплоты, сообщённое газу, равно:
Q = Aг= p1V1ln
p
1
= −p1V1ln
p
2
p
2
. (3.88)
p
1
Величина Q оказалась отрицательной, что обусловлено выделением теплоты газом
при его сжатии.
Выразим данные величины в единицах СИ: V1= 5 · 10−3м3, p1= 1, 013 · 105Па,
p
2
= 2. Подставляя эти значения в расчетные формулы (3.86) и (3.88), получим:
p
1
A = 100 Дж; Q = −350Дж.
Контрольные вопросы
1. Какие взгляды на природу теплоты господствовали в ХVIII и первой половине
XIX века?
2. В чем заключается неравноценность понятий «энергия», «теплота»,«работа»?
Что общего между ними?
3. Можно ли говорить о теплоте как о виде энергии?
4. В чем заключается эквивалентность теплоты и работы? Почему они не равноценны?
5. В чем заключается физический смысл теплоемкости? Что называют удельной
теплоемкостью?
6. По какой формуле вычисляется количество теплоты, необходимое для нагревания тела?
87
3.3. Распределение Больцмана
7. Почему при нагревании газов необходимо указывать на условия, при которых
происходит процесс теплопередачи?
8. Чем объяснить, что теплоемкость при постоянном давлении больше теплоемкости при постоянном объёме?
9. Как формулируется первое начало термодинамики? Каков его физический смысл?
10. Что называется коэффициентом Пуассона? Почему его значение всегда больше
единицы?
11. Какой процесс называется адиабатическим?
12. Чем отличается адиабата от изотермы в pV -координатах?
13. Как выражается работа газа при адиабатическом расширении? За счёт чего её
совершает газ?
14. Под влиянием каких двух прот ивоположных по своим действиям тенденций
находится атмосферный воздух?
15. Для какой цели можно использовать барометрическую формулу? При каком
условии она справедлива?
3.3 Закон Больцмана для распределения частиц во
внешнем потенциальном поле
Существуют два способа описания состояния системы, включающей в себя большое число частиц, - термодинамический и статистический. При термодинамическом
подходе систему рассматривают как макроскопическое тело, не интересуясь теми
частицами, из которых оно состоит. Состояние системы, в котором она может находиться сколь угодно долго, называется равновесным. Оно однозначно определяется
заданием совокупности независимых физических в еличин - параметров состояния.
Всякое изменение в термодинамической системе, связанной с изменением хотя бы
одного параметра состояния, называется термодинамическим процессом. При статистическом способе описания коллектива, состоящего из огромного числа частиц,
состояние каждой частицы описывается заданием трёх её координат и трёх составляющих импульса. Составляя уравнения движения для этих частиц и решая их, можно,
казалось бы, получить полные сведения о поведении системы и предсказать её состояние в любой момент времени. Однако подобного рода расчёты не только чрезвычайно сложны, но и бесполезны, поскольку коллектив, как целое, является системой,
качественно отличной от отдельных частиц, её поведение подчиняется иным закономерностям по сравнению с поведением отдельных частиц. Такими закономерностями
являются статистические закономерности, основная особенность которых состоит в
их вероятностном характере. Они позволяют предсказать лишь вероятность наступления того или иного события или реализации того или иного результата. Физическая
88
3.3. Распределение Больцмана
статистика, изучающая свойства невырожденных коллективов (когда число вакантных состояний много больше числа частиц), называется классической статистикой
Максвелла-Больцмана.
Барометрическую формулу:
p = p0exp −
p
0
(3.89)
легко преобразовать к виду:
m′gh
ρ0gh
n = n0exp −
, (3.90)
kT
если использовать представление о том, что плотность равна произведению массы
одной молекулы m′на число молекул в единице объёма.
В выражении (3.90) m′gh – потенциальная энергия молекулы на высоте h над
поверхностью Земли; её можно представить как П − П0, где П0– потенциальная
энергия в близи поверхности Земли (относительно поверхности Земли она, конечно,
равна нулю). С учётом это го замечания (3.90) запишем в виде:
или
n = n0exp−
П −П
kT
n
=
n
0
0
= n0exp−
П
exp
kT
П
exp
kT
0
. (3.92)
∆П
(3.91)
kT
Полученная формула (3 .9 2) выражает больцмановское распределение частиц в потенциальном виде.
Применимость формулы Больцмана выходит далеко за пределы молекулярнокинетической теории газов. В химии она представляет собой зависимость равновесия
химической реакция от концентрации участвующих в ней веществ (закон действующих масс). Тогда П2−П1= ∆П (или в общем случае W2− W1= ∆W ) обозначает
тепловой эффект реакции, отнесённый к одной молекуле. При испускании электронов накаленными металлами ∆W обозначает работу выхода электрона. Наконец, при
распределении энергии в спектре излучения абсолютно чёрного тела ∆W обозначает энергию кванта. В общем случае, если об означать через N (W) число частиц с
энергией W , то распределение Больцмана для равновесного состояния да ёт:
N(W1)
= exp−
N(W2)
W1− W
kT
2
. (3.93)
Для распределения молекул по скоростям Максвелл установил закон:
4
∆N =
√
Nu2exp (−u2)∆u, (3.94)
π
где ∆N – число молекул в газе, относительные скорости которых попали в интервал
значений относительных скоростей от u до u + ∆u. Однако вопрос о распределении
молекул по скоростям довольно сложен и мы займемся им особо.
89
3.4. Распределение Максвелла
3.4 Принцип детального равновесия. Закон
Максвелла для распределения молекул
идеального газа по скоростям и энергиям
теплового движения
При выводе уравнения молекулярно-кинетической теории для давления идеального
газа мы рассматривали лишь среднюю квадратичную скорость газовых молекул (её
называют тепловой скоростью):
p
¯
v2= vТ=
В состоянии термодинамического равновесия все направления скоростей молекул
газа при тепловом движении равновероятны. Если бы это было не так, то тепловое
движение молекул газа не было бы вполне беспорядочным. Абсолютные значения
скоростей молекул в том же состоянии также не могут быть одинаковыми. В приближении идеального газа молекулы представляют собой идеально упругие и гладкие
шарики, взаимодействующие между собой лишь в моменты столкновений. Столкновения называют прямыми, если в результате них скорости двух молекул изменятся
от v1и v2до u1и u2; обратными называются столкновения, в результате которых сталкивающиеся молекулы приобретают прежние скорости. В силу теплового
хаотического движения количество прямых столкновений равно числу обратных в
рассматриваемом объёме (а не толь ко для двух молекул!) газа. Если бы это было
не так, то тепловое движение молекул утратило бы свой беспорядочный характер
и приобрело бы черты, свойственные упорядоченному движению. В более общем
виде смысл сказанного состоит в том, что в газе в состоянии хаотического движения должны компенсировать друг друга всякие два противоположно направленные
процесса. Скорости таких противоположно направленных процессов должны быть
одинаковыми. Это положение называется принципом детального равновесия, который справедлив не только для газов, но и для любых систем в состоянии полного
хаоса. Из принципа детального равновесия можно (правда, это непросто сделать)
получить максвелловский закон распределения скоростей. Закон Максвелла удобнее
сформулировать, введя относительную скорость:
r
3kT
m
s
3RT
=
′
µ
=
r
3P V
. (3.95)
m
v
u =
где v – данная скорость, vв– наиболее вероятная скорость, т.е. такая скорость, вокруг
которой при данной температуре T группируются скорости боль шинства молекул в
газе. Молекулы со скоростями много больше или много меньше вероятной встречаются редко. По закону Максвелла, число молекул dN, относительные скорости которых
90
, (3.96)
v
в
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]