Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Физика. Часть 1. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

1.3. Закон сохранения импульса

25. При каком условии получается формула Циолковского? Для какой цели ее можно использовать?

26. Какова скорость газовой струи в ракетах на химическом топливе?

1.3 Закон сохранения импульса и его связь с однородностью пространства

Закон сохранения импульса для изолированной системы является следствием второго и третьего законов Ньютона. (Система называется изолированной (замкнутой), если геометрическая сумма внешних сил, действующих на материальные точки системы, равна нулю.)

Пусть имеем замкнутую систему, состоящую из материальных точек, движущих-

ся со скоростями ~v1, ~v2, . . . , ~vn. Под действием внутренних сил~F12,~F13, . . . ,~F1n;

F21,~F23, . . . ,~F2n;~Fn1,~Fn2, . . . ,~F

альных точек изменятся – они приобретут ускорения. Для каждой из них напишем уравнения движений в форме второго закона Ньютона:

за промежуток времени dt скорости матери-

n,n−1

d(m1~v1)

=~F12+~F13+ . . . +~F1n,

d(m2~v2)

=~F21+~F23+ . . . +~F2n, (1.57)

. . . . . . . . . . . .

d(mn~vn)

=~Fn1+~Fn2+ . . . +~F

n,n−1

Складывая все эти уравнения, мы получим слева производную по времени от полного импульса системы, а справа – равнодействующую всех внутренних сил, действующих в системе. Но так как система изолирована, то геометрическая сумма всех внутренних сил в ней равна нулю, поскольку в этой системе попарно встретятся силы~F12и~F21,~F13и~F31и т. д., причём всякой силе~Fjkбудет соответствовать сила

Fkj, которые по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по

направлению. Поэтому равнодействующая внутренних сил в изолированной системе всегда равна нулю.

Следовательно, во всякой замкнутой системе:

mi~vi= 0, т.е.

i=1

mi~vi= const. (1.58)

i=1

Таким образом, в изолированной системе суммарный импульс есть величина постоянная.

1.3. Закон сохранения импульса

Обратите внимание! Если система не является изолированной, то полный импульс уже не будет постоянным, и тогда первое из равенств (1.58) запишется в виде:

Fj, (1.59)

j=1

где

m1~vi=

i=1

Fj– равнодействующая внешних сил, действующих на систему. Формула

j=1

(1.59) выражает закон изменения импульса для незамкнутых систем.

Помните: только внешние силы могут изменить импульс системы. Уравнение (1.59) эквивалентно трем скалярным:

i=1

m1vix=

m1viy=

m1viz=

Fjx,

j=1

Fjy, (1.60)

j=1

Fjz.

j=1

Если внешние силы таковы, что сумма их составляющих на какое-либо направление, например, вдоль оси , равна нулю, то для этого направления

m1vix= 0;

i=1

m1vix= const. (1.61)

i=1

Неизолированная система в направлении оси ведет себя как изолированная.

Прежде чем установить связь закона сохранения импульса с однородностью пространства, отметим: однородность пространства означает, что любая его точка физически равноценна, т.е. перенос любой системы в пространстве никак не влияет на процессы, происходящие в этой системе. Один и тот же физический эксперимент, поставленный в Самаре и Москве, даёт одинаковые результаты - это есть не что иное, как отражение эквивалентности различных точек пространства в условиях Земли. Если бы однородность пространства (и времени) отсутствовала , то законы физики в Самаре были одни, в Саратове другие, в Москве третьи, следовательно, было бы почти бессмысленно заниматься наукой.

Итак, пусть механическая система замкнута (внешние силы на нее не действуют). Силы~F12,~F13,~F14, . . . ,~F1k, . . . ,~F

– внутренние. При перемещении системы в

n,n−1

однородном (изотропном) пространстве из одного положения в другое все материальные точки получат одинаковые (для всех точек) смещения, при этом скорости

1.4. Работа и её выражение через криволинейный интеграл

их останутся прежними по величине и направлению. На такое перемещение ввиду однородности пространства не требуется затрат работы, поэтому можно записать:



A12=

Для замкнутой системы скобка в (1.62) равна нулю, а если сумма сил равна нулю, тогда получим закон сохранения импульса для замкнутой системы (см. уравнения (1.58) на станице 21). Таким образом, закон сохранения импульса является следствием однородности пространства.

F12+~F13+ . . . +~F1n+ . . . +~Fik+ . . . +~F

n,n−1



·~r = 0. (1.62)

1.4 Работа и её выражение через криволинейный

интеграл

Импульс тела является важной мерой механического движения, но недостаточной. Пусть, например, два шара одинаковой массы с равными скоростями движутся навстречу друг другу. После неупругого удара шары о станавливаются, механическое движение исчезает - оно переходит в тепловое. Описать этот процесс с помощью закона сохранения импульса нельзя, так как до удара суммарный импульс системы был равен нулю (шары двигались навстречу друг другу) и после удара остался равным нулю (шары остановились).

Рассмотрим ещё пример. По длинному и ровному участку железнодорожного пути тепловоз с постоянной скоростью тянет вагоны. В данном случае имеет место сложный процесс преобразования теплового движения в механическое. Причём на опыте установлено, что произведение силы тяги двигателя тепловоза на путь, пройденный точкой её приложения, пропорционально количеству сгоревшего топлива. Следовательно, это произведение может являться количественной мерой процесса преобразования одной формы движения в другую. В физике оно получило название работы. Таким образом, работа как величина определяется соотношением:

A = F · s, (1.63)

если сила постоянна и направлена вдоль перемещения. Или:

A = F · s cos α, (1.64)

где α – угол между векторами~F и ~s.

По определению Ф.Энгельса, «работа – это изменение формы движения, рас- сматриваемое с количественной стороны».

В случае F = const или F cos α = const зависимость силы от перемещения изобразится прямой, параллельной оси абсцисс (рисунок 1.11). Отсюда видно, что работа

1.4. Работа и её выражение через криволинейный интеграл

Рис. 1.11. Работа постоянной силы. Рис. 1.12. Работа переменной силы.

как величина имеет наглядный геометрический смысл - она численно равна площади фигуры, ограниченной графиком силы (ВМ), двумя ординатами (ОB и MN) и частью оси абсцисс (ОN): S

OBM N

= MN · ON = F ·s = A.

Пусть теперь сила Fsв зависимости от перемещения меняется так, как показано на рисунке 1.12. Фигура OBMN не прямоугольник, и её площадь определяется более сложным образом. Выделим на оси абсцисс элементарный отрезок ds и построим на нём, как на основании, прямоугольный столбик. В пределах ширины этого столбика изменением высоты можно пренебречь и силу считать постоянной. Тогда по (1.64) элементарная работа будет равна:

dA = Fsds = F · ds cos α =~F · d~s. (1.65)

Всю фигуру 0BMN (криволинейную трапецию) можно разбить на какое угодно множество таких прямоугольных столбиков, суммарная площадь которых, с одной стороны, равна площади всей фигуры, а с другой — работе переменной силы:

A =

Fsds =

F · dσ, (1.66)

где dσ = cos α ds. Таким образом, работа как величина переменной силы выражается через криволинейный интеграл (1.66).

Обратите вни мание!

1. Для характеристики производительности механизмов, совершающих работу, вводится понятие мощности как работы в единицу времени:

N =

. (1.67)

1.5. Кинетическая энергия механической системы

2. При движении в сплошной среде (газ, жидкость, струя мелких частиц и т.д.) мощность пропорциональна кубу скорости:

N = ρ

где ρ – плотность среды; S – площадь поперечного сечения потока; v – скорость его движения.

3. Единица работы в СИ – джоуль (Дж), мощности – ватт (Вт). Джоуль – это работа силы в 1 Н на пути в 1 м (Дж = кг ·м2·с−2). Ватт – это мощность силы, которая совершает ра боту в 1 Дж за 1 с (Вт = кг · м2· с−3).

, (1.68)

1.5 Энергия как универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Кинетическая энергия механической системы и её связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе

Как следует из основных положений материалистической философии, движение материи вечно, только формы движения разнообразны. В природе непрерывно имеют место процессы, в которых происходит переход из одной формы движения в другую. Следовательно, должна существовать общая для всех явлений мера движения материи, одинаковая для всех форм движения материи. Такой мерой является энергия данного тела или системы тел. Во всех явлениях природы и процессах, искусственно создаваемых человеком, имеет место переход энергии от одного тела к другому или от одних частей тела к другим. Формы движения материи, изучаемые физикой, различны, но энергия есть единая количественная мера движения материи во всех формах проявления этого движения.

Обычно говорят: «механическая энергия», «тепловая энергия», «электромагнитная энергия» и т.д. Это следует понимать как в еличину энергии, соответствующую механической форме движения данного тела, величину энергии, соответствующую тепловой форме движения и т.д. Нет различных видов энергии, есть различные формы движения материи. Энергия – единая мера движения материи. Только ради сокращения будем говорить, как указано выше, о «механической энергии», «тепловой энергии» и т.д.

В тех случаях, когда мы говорим о механической форме движения и имеем дело с явлениями, в которых происходит переход из механической формы в какуюлибо другую или обратно, тогда рассмотренная нами величина – работа – является

1.5. Кинетическая энергия механической системы

единственной мерой количества переданной энергии. Поэтому и основная единица энергии выражается равной единице работы.

Когда сила действует на тело и тело движется под действием этой силы, точка приложения силы перемещается; система, со сто роны которой действует сила, совершает работу. Энергия тела возрастает на величину проделанной работы. Энергию движущегося тела называют кинетической энергией. Величину кинетической энергии тела можно определить по величине работы, которую необходимо совершить, чтобы вызвать данное движение тела.

Пусть сила~F действует на тело массой m и вызывает его движение со скоростью v из состояния покоя, тогда работа силы~F на всем пути, который прошло тело за время возрастания скорости от нуля до v, пошла на сообщение кинетической энергии телу (работа – форма передачи энергии). По второму закону Ньютона всегда:

d~v

=~F . (1.69)

Умножая обе части равенства (1.69) нa элементарное перемещение точки d~s, полу- чим:

d~v

d~s =~F d~s, (1.70)

но d~s = ~v dt, поэтому равенство (1.70) можно переписать так:

m~v d~v =~F d~s. (1.71)

Рассмотрим скалярное произведение вектора ~v на вектор d~v: ~v · d~v = vdv cos α. Величина dv cos α есть проекция приращения скорости на ее направление или на направление вектора d~s. Следовательно, dv cos α есть увеличение абсолютного значения скорости за время dt. Поэтому равенство (1.71) можно записать так:





mv dv = F ds , или m d

= F ds. (1.72)

Теперь проинтегрируем все приращения в левой и правой частях равенства (1.72) при возрастании скорости от 0 до v, получим:





F ds; A =

= T. (1.73)

Легко показать, что в общем случае, когда до действия силы тело двигалось со скоростью v1, работа будет равна изменению кинетической энергии тела:

A = ∆T =

−

. (1.74)

1.5. Кинетическая энергия механической системы

Энергия, которая зависит от взаимного расположения тел, частей или частиц тела, называется потенциальной. Рассмотрим простейший случай, когда тело массой m поднялось на высоту h под действием силы F , направленной вверх. Запишем второй закон Ньютона в виде:

= F − mg. (1.75)

Способом, рассмотренным выше, при выводе уравнения 1.73 несложно получить:

(F − mg) ds. (1.76)





Интегрируя выражение (1.76), находим:

, (1.77)

F h − mgh =

2 2

−

где v2– конечная скорость; v1– начальная, h – высота подъема тела. Если v1= v2= 0, то F h = mgh, где mgh – есть выражение для пот енциальной энергии тела, поднятого на высоту h:

П = mgh. (1.78)

При падении тела совершается та же раб ота. В данном случае потенциальная энергия определяется положением тела относительно З емли. Она измеряется той работой, которую может совершить тело, переходя из одного положения в другое по отношению к Земле.

Измеряя работу, которая совершается при переходе системы из одного положения в другое, мы определяем ту часть энергии, которая обнаружена при этом переходе.

1.5. Кинетическая энергия механической системы

Обратите вни мание!

1. Отметим ещё раз, что работа – это форма передачи и изменения энергии.

2. Тело за счёт запаса энергии может совершить работу, следовательно, энергия – это работоспособность тела.

3. Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна:

П =

, (1 .79)

где k – жесткость тела (пружины, например); x – деформация тала.

4. Механическая работа может переходить сама собой в теплоту, причём этому процессу соответствует своеобразный КПД, равный:

η =

, (1.80)

где Q = mc△T – количество теплоты, которое пошло на нагревание тела; c - удельная теплоемкость; △T – изменение температуры тела.

Примеры решения задач

Задача 1.7. Рассматривая систему из материальных точек, об ла дающих массами

m1, m2, . . . , mn, на которые действуют внутренние силы~F12,~F13, . . . ,~Fik, . . . ,~F

и внешние силы~F1,~F2, . . . ,~Fn, вывести закон сохранения энергии в механике.

Решение. Запишем уравнения движений точек системы в форме второго закона

Ньютона (как и при выводе закона сохранения импульса):

d(m1~v1)

= (~F12+~F13+ . . . +~F1n) +~F1,

d(m2~v2)

= (~F21+~F23+ . . . +~F2n) +~F2, (1.81)

. . . . . . . . . . . .

d(mn~vn)

= (~Fn1+~Fn2+ . . . +~F

n,n−1

) +~Fn.

n,n−1

Пусть под действием этих сил точки перемещаются соответственно на отрезки

d~s1, d~s2, . . . , d~sn. Умножим каждое из уравнений (1.81) на соответствующее пере-

мещение и учтем, что d~si= ~vidt:

m1(~v1d~v1) = (~F12+~F13+ . . . +~F1n) d~s1+~F1d~s1,

m2(~v2d~v2) = (~F21+~F23+ . . . +~F2n) d~s2+~F2d~s2, (1.82)

1.5. Кинетическая энергия механической системы

. . . . . . . . . . . .

mn( ~vnd~vn) = (~Fn1+~Fn2+ . . . +~F

) d~sn+~Fnd~sn.

n,n−1

Складывая почленно левую и правую части уравнений (1.82), получим:

mi(~vid~vi) −

i=1

j=1

j6=i

Fijd~si=

Fid~si. (1.83)

i=1

Первое слагаемое в (1.83) есть элементарное изменение кинетической энергии всех точек системы:

mi(~vid~vi) = d

i=1

miv

= dT. (1.84)

Второе слагаемое (1.83), взятое с обратным знаком, есть элементарная работа внутренних сил системы, т.е. элементарное изменение потенциальной энергии системы:

−

i=1

Fijd~si= dП. (1.85)

j=1

j6=i

Правая часть ( 1.83) представляет собой элементарную работу внешних сил, следовательно, равенство (1.83) с учётом (1.84) и (1.85) можно записать так:

dT + dП = dA или d(T + П) = dA. (1.86)

Если на систему не действуют внешние силы, то уравнение (1.86) примет вид:

d(T + П) = 0,

откуда:

T + П = const. (1.87)

Для изолированной механической системы сумма кинетической и потенциальной энергий есть величина постоянная – в этом и заключается смысл закона сохранения энергии в механике.

Задача 1.8.

На примере замкнутой механической системы «тело – Земля» (в отсутствии сопротивления воздуха) показать, что сумма потенциальной и кинетической энергии

1.5. Кинетическая энергия механической системы

есть величина постоянная.

Решение. Пусть тело первоначально находится на высоте h, над поверхностью Земли (рисунок 1.13).

Если тело предоставить самому себе, при падении на Землю оно побывает во всех точках, расположенных на этой высоте. Выделим из них две произвольные B и C. Скорость и высоту в точке B обозначим через v1и h1соответственно, а в C – через

v2и h2. На участке BC, равном разности высот, сила тяжести совершит рабо ту

A = mg(h1− h2),

которая определит изменение (увеличение) кинетической энергии тела:

mg(h1− h2) =

−

. (1.88)

Из (1.88), собирая слагаемые, относящиеся к точке B, в одной части равенства, а к C – в другой, получим:

mgh1и

mgh1+

= mgh2+

в (1.89) – потенциальная и кинетическая энергии тела в точке B; mgh

– те же величины, но относящиеся к точке C. Таким образом:

. (1.89)

П + T = const, (1.90)

что и требовалось показать.

Обратите внимание! В точке A на рисунке 1.13 полная энергия тела определяется его потенциальной энергией, а при падении на Землю в точке D – кинетической. На основании равенства (1.89) будем иметь

mgh =

, откуда:

✻

v =

2gh (1.91)

известная из кинематики формула.

Задача 1.9. Закон сохранении энергии являет-

❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅

❄

✻ ❄

✻

❄

ся следствием однородности времени. Докажите это утверждение.

Рис. 1.13. К задаче 1.8 .

Решение. Отметим сначала, что означает однородность времени: если в два любые момента времени все тела в замкнутой системе поставить в совершенно одинаковые условия, то, начиная с этих моментов, все явления в системе будут протекать

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]