Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
1.7. Закон сохранения момента импульса
8. Для вычисления второй космической скорости следует воспользоваться тем
2
mv
условием, что кинетической энергии тела
на поверхности Земли должно
2
хватить, чтобы покинуть поле тяготения Земли. Следовательно,
2
mv
= A, (1.173)
2
где A – работа, которую тело должно произвести против силы тяжести и выйти
за пределы поля тяготения Земли. Поскольку расстояние между телом и центром Земли меняется, то работу следует определять по формуле (1.172), однако
пределы интегрирования в ней следует поменять местами, так как первоначально тело находится вблизи поверхности Земли, а удаляется в бесконечность.
9. Область, в которой распространяется обусловленное ма ссой M силовое действие, называется гравитационным полем массы M . Л инии, определяющие направление силы тяготения в то чках поля, называются линиями поля или силовыми линиями. Гравитационное поле Солнца отличается о т гравитационного
поля Земли тем, что на расстоянии r от их центров сила тяготения, действующая на 1 кг массы, много больше в поле Солнца, чем в поле Земли. Силу, с
которой в данной точке гравитационное поле действует на массу в 1 кг, называют напряжённостью поля в этой точке. По величине:
M
E = γ
, (1.174)
2
r
а по направлению вектор~E противоположен ~r, так как из-за притяжения он
всегда обра щен в сторону убывающих ~r. Нетрудно убедиться в том, что E имеет
размерность ускорения.
10. Всякая масса, находящаяся в поле другой массы, обладает определённой потенциальной энергией по отношению к массе – источнику поля. Например, потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли, тем больше, чем
выше оно поднято. Эта потенциальная энергия при падении тела переходит в
кинетическую, за счёт которой может быть произведена работа.
Поэтому потенциальная энергия тела в гравитационном поле массы m зависит
от m и M, а также от расстояний r1и r2, между которыми оно движется под
действием силы тяготения. Эта сила увеличивается, когда масса m приближается к M. Гравитационное поле простирается бесконечно далеко. Чем ближе обе
массы друг к другу, тем больше силы притяжения между ними, но тем менее
становится потенциальная энергия, которой обладает одна масса по отношению к другой. Поэтому при описании гравитационного поля, помимо силовой
характеристики (напряжённости), вводится ещё и энергетическая. Она называется потенциалом (разностью потенциалов). Потенциал U в какой-либо точке
51
1.7. Закон сохранения момента импульса
гравитационного поля, созданного массой M , измеряется работой, которая б удет совершена, если массу в 1 кг удалить из этой точки против силы тяготения
в бесконечность.
Если масса в 1 кг удаляется в бесконечность, то совершается работа:
A =
∞
Z
E dr =
r
∞
Z
γM−
r
1
∞
|
r
r
= γ
M
, (1.175)
r
которую и принимают за меру потенциала в рассматриваемой точке. Следует
помнить, что направление вектора E противоположно направлению возрастающих r. Поэтому работа A совершается против сил тяготения, её целесообразно
считать отрицательной, и, следовательно, скалярная величина гравитационного потенциала в данной точке будет иметь знак «минус»:
M
U = −γ
. (1.176)
r
Если гравитационное поле возбуждено одной единственной массой M , то все
точки сферы, описанной радиусом вокруг M, имеют одинаковый потенциал.
Поверхности одинакового потенциала называются эквипотенциальными поверхностями. (Картину радиальных силовых линий и концентрических эквипотенциальных поверхностей изобразите сами).
Легко показать, что потенциал возрастает в направлении увеличения радиуса
и его изменение на отрезке ∆r = r2− r1, между эквипотенциальными поверхностями равно:
∆U = γ
M
r
M
− γ
1
r
2
M(r2− r1)
= γ
r1r
M∆r
= γ
2
. (1.177)
r1r
2
Отсюда при переходе к пределу ∆r → 0 (тогда можно положить r = r1= r2)
получим:
dU
dr
= γ
M
= −E. (1.17 8)
2
r
Знак «минус» перед E означает: с увеличением r (dr > 0) по тенциал увеличивается, а напряжённость уменьшается.
52
Глава 2
Элементы теории относительности
2.1 Основные принципы специальной теории
относительности
К началу XX века многочисленные опытные факты установили постоянство скорости
света во всех инерциальных системах о тсчёта. Факт постоянства скорости света требует пересмотра наших представлений о времени, на что впервые обратил внимание
А.Эйнштейн в 1905 г. Учение об о тносительности времени со всеми вытекающими
отсюда последствиями называется теорией относительности. В основе специальной
теории относительности лежат два постулата:
1. Все законы природы одинаково проявляют себя в любых инерциальных системах. Это значит, чт о никакими опытами, произведёнными наблюдателем
внутри инерциальной системы, нельзя установить, покоится ли система или
движется равномерно и прямолинейно. Этот постулат называется принципом
относительности А.Эйнштейна.
2. Скорость света во всех инерциальных системах постоянна и не зависит от движения источников и приемников света.
Теория относительности представляет собой физическую теорию пространства и времени.
2.2 Преобразование координат Лоренца
Относительность понятий «пространства» и «времени», а также факт постоянства
скорости света в любых инерциальных системах отсчёта лежат в основе релятивистской механики. В соответствии с этим преобразования Галилея заменяются на более
общие преобразования Лоренца.
53
2.2. Преобразование координат Лоренца
Вводя некоторый релятивистский множитель α = α(v) и полагая, что t′6= t
для дв ух инерциальных систем отсчёта, можно записать, согласно преобразованию
Галилея и принципу относительности, соответств енно:
αx = x′+ vt′, (2.1)
αx′= x −vt. (2.2)
Отсюда:
αx =
+ vt′или α2x = x − vt + αvt′;
α
α2− 1
x − vt
αt′=
+ t. ( 2.3)
v
Разделив равенство (2.2) на (2.3), получаем:
′
u′=
x
′
t
=
(α2− 1)
x − vt
x
=
+ t
v
u −v
(α2− 1)
. (2.4)
u
+ 1
v
Учтя второй постулат специальной теории относительности, подставляя u′= u = c в
(2.4) (c – скорость света), получим:
c =
c
(α2− 1)
v
c −v
c
c
2
cα
−
v
+ 1= c − v,
v
α2c2− c2= −v2, α2=
α =
=
+ 1
c2− v
c
p
1 −β2. (2.5)
α2c
2
2
α
v
2
c −v
c
−
v
2
−
= 1 −
,
c
+ 1
v
2
c
+ c = c − v,
v
2
v
= 1 − β2,
2
c
Следовательно, преобразования Лоренца при переходе от неподвижной системы координат к подвижной (s → s′) примут вид:
x′=
p
1 −β
,
2
x − vt
y′= y, z′= z, (2.6)
v
54
t′=
t −
p
2
c
1 −β
x
.
2
2.3. Релятивистское изменение длин
Преобразования Лоренца при переходе от подвижной системы координат к неподвижной (s′→ s) имеют в ид:
1 −β
′
,
2
x =
x′+ vt
p
y = y′, z = z′, (2.7)
v
′
t =
t′+
p
2
c
1 −β
x
.
2
При получении t′была использована формула (2.3). Аналогично и для t. В самом
деле,
v
1 −β
v
c
t′+
p
1 −β
2
c
x′+ vt
p
2
v
2
c
x
;
2
′
=
2
1 −β
′
x
. (2.8)
2
t = t
p
′
1 −β2= t −
t
p
′
1 −β2+
′
x
=
v
c
v
2
c
x = t
′
v
+ β2t′+ t′(1 −β2)
2
c
p
1 −β
2
x, t′=
2
p
1 −β2+
t −
p
=
Из преобразований Лоренца вытекает, что пространство и время относительны.
Размер тела или время, прошедшее между двумя физическими явлениями, не имеют абсолютного характера и различны для равных систем отсчёта (инерциальных,
конечно). Преобразов ания (2.2) и (2.2) были получены Лоренцем задолго до теории
относительности, но он отказался от них как от лишенных физического смысла.
Замечательной особенностью преобразований Лоренца являе тся то, что при v ≪ c,
β =
v
→ 0они переходят в преобразования Галилея. Это значит, что теория от-
c
носительности не отвергает классическую механику, а содержит в себе как частный
случай движения со скоростью, значительно меньшей скорости света. Это отражает общую связь между теорией относительности и классической физикой. Законы
и соотношения теории относительности переходят в законы классической физики в
предельном случае малых скоростей.
2.3 Релятивистское изменение длин
Пусть имеем две системы отсчёта S и S′. Рассмотрим в этих системах стержень
определённой длины (рисунок 2.1). Обозначим длину неподвижного в системе S
стержня через l
′
, а через l – длину того же стержня, движущегося со скоростью v
0
55
′
2.4. Релятивистский закон сложения скоростей
′
′
y
S
′
O
′
x
x
′
1
2
✲ ✲
′
l
0
′
x
x
Рис. 2.2. События, одновременные в непо-
движной системе, неодновремен-
✻ ✻
y
S
O
✠
z
Рис. 2.1. Релятивистское изменение длины
стержня.
✠
′
z
ны в подвижной системе.
относительно системы S. Согласно преобразованию Лоренца, имеем:
Следовательно,
′
0
= x
′
2
− x
l
′
1
=
x2− vt
p
1 −β
p
l = l
1 −β2. (2.9)
0
2
−
x2− vt
p
1 −β
.
2
Из соотношения (2.9) в идно, что происходит уменьшение длины стержня в направлении движения. Сокращение тем больше, чем с большей скоростью происходит
движение.
Если тело имеет скорость движения 2, 6 ·108м·с−1, тогда относительно неподвижной системы отсчёта S продольные размеры тела сокращаются вдвое. Наблюдатель,
движущийся вместе с телом, сокращения не наблюдает. Собственной длиной тела
называется длина такого т ела, которое находится вместе с наблюдателем в данной
системе. Собственная длина тела не меняется. Отметим, что сокращение длин носит
кинематический характер и не связано с появлением в теле дополнительных напряжений. Это явление называют лоренцевым сокращением.
2.4 Релятивистский закон сложения скоростей
В механике Нь ют она теорема сложения скоростей связана с преобразованиями Галилея. Математически эта теорема формулируется так:
~u = ~u′+ ~v, (2 .1 0)
где ~u – скорость движения тела в системе S, ~u′– в S′, ~v – скорость относительного
движения систем. Из преобразований Лоренца следует иная связь между названными скоростями, чем в механике Ньютона. Для установления этой связи поделим
56
2.5. Релятивистское изменение промежутков времени
почленно первое из уравнений (2.2) на последнее:
x
x
где
= ux– скорость тела в системе S,
t
Следовательно,
Положим в (2.11) u
x
=
t
′
= c, v = c, тогда:
x
x′+ vt
t′+
c
ux=
v
2
1 +
′
′
x
u
′
x
=
1 +
′
x
′
t
+ v
v
2
c
t
= u
′
u
x
′
c + c
ux=
= c,
1 + 1
что и следовало ожидать!
′
+ v
,
v
′
u
x
2
c
′
– скорость тела в системе S′.
x
. (2 .11)
2.5 Релятивистское изменение промежутков
времени
В классической механике время абсолютно и одинаково во всех системах отсчёта.
Легко показать, что понятия абсолютного времени и абсолютной одновременности
находятся в противоречии с принципом относительности Эйнштейна.
Пусть в вагоне поезда, движущемся со скоростью, близкой к скорости света (верхняя часть рисунка 2.2) передняя и задняя двери открываются в момент, когда до них
доходит свет от лампы, зажигаемой посередине вагона. Какая дверь откроется раньше?
Так как скорость света во всех направлениях одинакова, а двери вагона отстоят
от источника света на равном расстоянии, то, с т очки зрения наблюдателя, находящегося в вагоне, двери откроются одновременно.
Теперь проведем этот мысленный эксперимент, встав на точку зрения наблюдателя, находящегося на платформе (нижняя часть рисунка 2.2).
«Скорость света, – сказал бы он, – не зависит от движения источника света (лампы в поезде), значит, и с моей точки зрения лучи света будут распространяться с
одинаковой скоростью. Но передняя дверь уходит от луча, а задняя идет к нему навстречу. Следовательно, раньше откроется задняя дверь, а потом передняя». Этот
пример говорит о том, что события, одновременные для одних наблюдателей, могут быть неодновременными для других. Время в поезде и на платформе течёт поразному.
57
2.5. Релятивистское изменение промежутков времени
S
✁❆
SO = c∆t
A B
O
❄
S
✁❆
✓
′
A B
✓
✓✴
✓
✓
✓
✓
O
✲
~v
AO = v∆t
Рис. 2.3. Время течёт по разному в движущемся и покоящемся вагоне.
Пусть в вагоне поезда Эйнштейна, движущегося мимо плат ф ормы со скоростью
v, близкой к скорости света c, посылают луч света от потолка к полу.
Предположим, что достаточно точные приборы могут зафиксировать промежуток времени ∆t′, за который луч проходит расстояние SO от потолка до пола AB
вагона (левая часть рисунка 2.3). Путь, пройденный лучом, равен c∆t.
С точки зрения наблюдателя, который находится в этот момент на платформе
и заглядывает в окно проходящего мимо поезда, испущенный луч имеет горизонтальную составляющую скорость v, поэтому свет будет распространяться не по вертикали, а по некоторой линии SA (правая часть рисунка 2.3). Время прохождения
света от источника S до пересечения с линией AB, измеренное наблюдателем на
платформе, обозначим через ∆t. Тогда SA = c∆t, OA = v∆t. Из прямоугольного
треугольника SOA имеем (v∆t)2+ (c∆t′)2= (c∆t)2.
Отсюда:
r
∆t′= ∆t
1 −
2
v
. (2.12)
2
c
Из формулы (2.12) видно, что интервал времени ∆t′между двумя событиями
в движущейся системе отсчёта ( в поезде) уменьшился по сравнению с интервалом
времени ∆t между теми же событиями в неподвижной системе отсчёта (на платформе). Эту формулу обычно называют формулой релятивистского замедления времени
в движущейся системе отсчёта. Следя из неподвижной системы отсчёта x, y, z за
движущимися относительно неё часами, мы обнаруживаем, что эти часы идут медленнее.
Нужно помнить, что собственное время, т.е. время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с наблюдателем, является инвариантной (неизменной) величиной.
Рассмотрим в качестве примера несколько задач, иллюстрирующих релятивистское изменение длин и промежутков времени и закон сложения скоростей в теории
относительности.
58
2.5. Релятивистское изменение промежутков времени
✻
′
y
1 l
′
y
2
′
′
✭
✭
✭
0
✭
✭
✭
′
x
′
1
∆x
x
∆y
′
2
′
✲
′
x
✲
x
y S′y
S
✻
✠
✠
′
z
z
Рис. 2.4. К задаче 2.1 .
Примеры решения задач
Задача 2.1. Стержень, собственная длина l
S′; он расположен так, что составляет с осью x′угол ϕ, равный 30o. Чему равна длина
стержня в системе S? Какой угол составляет этот стержень с осью x? Система S
движется относительно S со скоростью 0, 8c.
Решение. Согласно преобразованиям Лоренца, имеем:
x1− vt
′
p
x
=
1
1 −β
2
, y
′
= y1, x
1
′
которого равна 1 м, покоится в системе
0
x2− vt
′
p
=
2
1 −β
2
, y
′
= y2.
2
′
Координаты начала (x1, y1) и конца (x2, y2) стержня в системе S должны быть
измерены в один и тот же момент времени.
Длина стержня в системе S′(рисунок (2.4) l
сительно которой он движется, l =
Так как ∆x = ∆x
p
l =
∆x′2(1 −β2) + ∆y′2=p∆x′2+ ∆y′2− ∆x′2β2=pl
Поскольку ∆x′= l
p
′
′
cos ϕ′, для l получим окончательное выражение:
0
1 −β
2
, а ∆y = ∆y′, то
l = l
p
∆x2+ ∆y2.
p
′
1 −β
0
2
cos2ϕ′. (2.13)
p
′
0
∆x′2+ ∆y′2, в системе S, отно-
=
′2
− ∆x′2β2.
0
Подставляя в (2.13) числовые данные, получим:
l = 1 −0, 64 · 0, 75 = 0, 72 м.
Таким образом, длина метрового стержня в системе S′, где он покоится, оказалась равной лишь 0, 72 м в системе S, относительно которой стержень движется со
скоростью v = 0, 8c (β = 0, 8).
Угол между стержнем и осью x (система S) определится из условия:
′
tg ϕ =
∆y
∆x
=
∆y
∆x
p
1 −β2= tg ϕ
′
p
′
1 −β2, tg ϕ = tg ϕ
′
p
1 −β2.
59
2.5. Релятивистское изменение промежутков времени
Отсюда tg ϕ = 0, 3464, ϕ = 19, 06o, т.е. уменьшился по сравнению с ϕ′почти на 11o.
Задача 2.2. Космический корабль движется в направлении к центру Земли со
скоростью 0, 98c. В системе координат, связанной с Землей, он прошёл путь, равный
14, 7 ·109м. Какой промежуток времени отметили корабельные часы?
S
Решение. По формуле (2.12), в которой τ заменим на
, для промежутка вре-
v
мени, отмеченного корабельными часами, получим:
p
S
τ′=
1 −β
2
. (2.14)
v
Подставляя в формулу (2.14) числовые данные, найдем, что корабельные часы отме-
S
тили 10 секунд. По земным часам прошло 50 секунд
. Движущиеся со скоростью
v
0, 98c часы идут в 5 раз медленнее земных. При ещё большей скорости эффект за-
медления хода часов будет более значительным.
Расчёт показывает, что путешествие к галактике Андромеды и обратно потребовало бы при ускорении 30 м с−218, 66 года – это по соб ств енному времени корабля.
Но на Земле при этом прошло бы полтора миллиона лет! Увеличение расстояния
мало меняет время путешествия, так как средняя часть пути проходится со скоростью, близкой к скорости света, за весьма малое собственное время корабля. Таким
образом, релятивистская кинематика позволяет путешествовать в б удущее (но не в
прошлое: трудно представить себя в положении человека, родители которого ещё не
успели появиться на свет!) и показывает, что нет области Вселенной, которая недоступна прямому освоению человечеством.
При β = 0 τ′= τ. Относительность времени заметна только при больших скоро-
стях.
Задача 2.3. На ракете, летящей со скоростью 0, 9c, установлен ускоритель, сооб-
щающий частицам скорость 0, 8c относительно ракеты (по направлению движения).
Найти скорость частиц в системе отсчёта, связанной с «неподвижными» звёздами.
Решить задачу для случая, когда частицы движутся в противоположную сторону.
Решение. Подставляя в формулу (2.11) числовые данные, получим:
0, 9c + 0, 8 c
u1=
= 0, 99c,
1 + 0, 72
0, 9c −0, 8c
u2=
= 0, 36c.
1 −0, 72
Если воспользоваться классическим законом сложения скоростей в виде формулы (2.10), для первого случая скорость движения частиц относительно неподвижной системы оказалась бы равной 1, 7c, что противоречит второму постулату теории
относительности. Вместе с тем при v ≪ c
2
v
≈ 0релятивистский закон сложе-
2
c
ния скоростей (2.11) переходит в классический. Теория относительности не отменяет
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]