Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
3.6. Явления переноса
1
через площадку ∆S импульс ∆P1, равный:
1
∆p1=
где u1– скорость течения слоя 1.
z
1
D
S
y
l
l
2
u2
u1
x
0
Рис. 3.11. К выводу уравнения пере-
носа импульса.
жения (3.127), найдем импульс, перенесенный через площадку ∆S:
v∆S∆t · m′u1, (3.127)
n
6
Точно так же из слоя 2, лежащего над пло-
щадкой ∆S на расстоянии
за время∆t будет перенесен импульс:
1
∆p2=
где u2– скорость течения слоя 2. Для обоих слоев
число молекул в единице объема n одно и то же,
так как в рассматриваемом случае мы считаем
плотность газа повсюду одинаковой.
Вычитая из уравнения (3.12 8) значения выра-
v∆S∆t · m′u2, (3.128)
n
6
λ, через площадку ∆S
молекул перенесут
1
3
1
n
v∆S∆t(m′u2− m′u1). (3.129)
6
∆u
, умноженному на расстояние между
∆x
λ, то:
∆u
2
λ, (3.130)
∆x
∆u
′
λ (3.131)
2
∆x
∆u
′
nm
1
ρ
3
λv
λv
∆S∆t. (3.132)
∆x
∆u
∆S∆t, (3.133)
∆x
∆p = ∆p2− ∆p1=
Paзность m′u2− m′u1может быть переписана в виде m′(u2− u1). Разность ско-
ростей u2− u1равна градиенту скорости
слоями 2 и I; так как это расстояние равно 2
u2− u1=
Откуда:
m′u2− m′u1= m
и, следовательно,
∆P =
Замечая, что величина nm′есть плотность газа ρ, получим:
∆P =
откуда сила F , действующая со стороны более медленного слоя на быстрый:
F =
∆P
∆t
=
1
∆u
ρ
λv
3
∆S. (3.134)
∆x
101
3.6. Явления переноса
Сравнивая формулы (3.125) и (3.134), видим, что они совпадают, если положить
коэффициент внутреннего трения (вязкость) ра вным:
1
ρ
η =
Формула (3.135) позволяет выяснить характер зависимости коэффициента внут-
реннего трения η от давления газа p. Установите эту зависимость самостоятельно.
vλ. (3.135)
3
3.6.3 Теплопроводность
Наконец, ра ссмотрим ещё одно явление переноса — теплопроводность. Экспериментальный закон этого явления выражается формулой:
∆Q = −χ
где χ – коэффициент теплопроводности,
указывает, что количество теплоты ∆Q переносится в сторону убывания температу-
ры .
С молекулярно-кинетической точки зрения процесс теплопроводности заключается в том, чт о молекулы из более горячего слоя, где они имеют бо ль шую среднюю
кинетическую энергию
го слоя часть своей энергии. Наоборот, молекулы из б олее холодного слоя, попадая в
более горячий, получают о т молекул более горячего слоя некоторое количество кинетической энергии. В результате более горячий слой охлаждается, более холодный
– нагревается.
Используя такие же рассуждения, как и при разборе явления диффузии (надо
лишь слева и справа значения в формулах (3.116) и (3.117) умножить на ∆t и соответствующие значения средних кинетических энергий молекул рассматриваемых
слоев), получим:
Сравнивая (3.137) с выражением (3.136), находим:
ε, проникая в более холодный слой, передают молекулам это-
∆Q = −
∆T
∆S∆t, (3.136)
∆x
∆T
– градиент температуры. Знак «минус»
∆x
1
3
i
vλ
n
∆T
k
2
∆S∆t. (3.137)
∆x
1
χ =
3
i
Преобразуя величину
теплопроводности в виде:
Легко показать, что коэффициент теплопроводности (как и коэффициент внутреннего трения) не зависит от давления газа. Сделайте это самостоятельно.
102
k, получим окончательное выражение для коэффициента
2
χ =
i
vλ
n
1
3
k. (3.138)
2
ρ
vλcv. (3.139)
3.6. Явления переноса
Примеры решения задач
Задача 3.14. Найти число столкновений Z , которые происходят в течение секунды
между всеми молекулами, находящимися в объёме V = 1мм3водорода при нормальных условиях. П ринять для водорода σ = 2, 3 ·10
Решение. Число столкновений Z, испытываемых одной молекулой за секунду,
определяется формулой (3.11 1). Чтобы установить соотношение между величинами
Z и
z, учтем, что если умножить число столкновений одной молекулы за секунду
z на число всех молекул N, то получим результат, превышающий в два раза иско-
мое число. Действительно, в одном столкновении участвуют сразу две молекулы,
поэтому в число каждое столкновение входит дважды: один раз в счет столкновений
одной из молекул данной пары, другой раз в счет столкновений второй молекулы.
Следовательно, правильным будет выражение:
−10
м.
zN
Z =
где n – концентрация молекул. Подставив в формулу (3.140) вместо
по (3.111), получим:
√
znV
=
2
, (3.140)
2
z его значение
2πσ2n2vV
Z =
. (3.141)
2
Найдем из формулы p = nkT концентрации молекул и воспользуемся выражением
для средней арифметической скорости:
s
8RT
v =
. (3.142)
πµ
Тогда окончательно для Z имеем:
√
2πσ2p2V
Z =
2k2T
s
8kT
2
. (3.143)
πµ
Выразим входящие в формулу величины в единицах СИ:
кг
V = 10−9м3, = 1.013 · 105Па, = 273К, µ = 2, 0 · 10
−3
,
моль
σ = 2, 3 · 10
−10
м, k = 1, 38 · 10
−23
Дж
, R = 8, 31
К
Дж
.
моль · К
Подставив эти значения в формулу (3.143) и выполнив вычисление, по лучим:
Z = 1, 6 ·1026с−1.
103
3.6. Явления переноса
Задача 3.15. Водород находится под давлением, равным 20 мкПа и имеет температуру составляющую 300 К. Определить среднюю длину свободного пробега молекул такого газа.
Решение. Средняя длина свободного пробега молекул газа определяется по формуле (3.114), в которой концентрацию выразим через давление и т емпературу, а эффективный диаметр молекулы водорода возьмём из таблицы - он равен 2, 3 ·10
−10
м.
Учитывая эти замечания, формулу (3.114) запишем в окончательном для расчета
виде:
λ =
2πσ
. (3.144)
2
· p
kT
√
Подставляя в формулу (3.144) числовые значения условия задачи, выраженные
в СИ, получим:
λ = 890нм.
Задача 3.16. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами A и B,
изображенными на рисунке 3.12, заполнено водородом при температуре 300 К. Радиус внутреннего цилиндра A равен r = 8 см, расстояние между цилиндрами d = 0, 2
см. Внутренний цилиндр вращается, совершая 10 оборот ов в секунду. Рассматривая
приближенно случай как плоский, определить касательную силу, действующую на 1
см2поверхности внешнего цилиндра B. Диаметр молекул водорода считать равным
2, 3 ·10
−10
м.
Решение. В результате внутреннего трения между слоями газа действует сила
F , которая определяется по формуле (3 .1 25).
Считая, что скорость газа у поверхности твердого тела совпадает со скоростью
самой поверхности, получим, что такая же сила действует на поверхность цилиндра
F
B. Н а единицу поверхности цилиндра действует сила
, для определения которой
S
∆u
надо знать градиент скорости
и значение коэффициента внутреннего трения η
∆x
для водорода. Градиент скорости в данном случае равен:
∆u
∆x
=
u2− u
d
1
, (3.145)
где u2– скорость газа у поверхности внутреннего цилиндра, u1– скорость газа у
поверхности внешнего цилиндра. Эти скорости приравниваем к скоростям самих поверхностей цилиндров A и B, тогда:
u2= 2πrν; u1= 0, (3.146)
где ν – число оборотов внутреннего цилиндра в единицу времени. Отсюда:
= 2π
r
ν. (3.147)
d
∆u
∆x
104
3.6. Явления переноса
Подставляя в (3.147) численные данные, приведённые в условии задачи, выразив
их в СИ, определим:
∆u
= 2512 с−1.
∆x
Коэффициент внутреннего трения найдем по форму-
C
ле (3.135). Подставляя в это уравнение
s
λ =
√
1
2πσ
8RT
v =
,
2
n
, ρ =
πµ
pµ
, n =
RT
p
=
kT
получим расчётную формулу для коэффициента внутреннего трения:
pN
RT
A
,
B
η =
√
8RT µ
3√2π3σ2N
. (3.148)
A
Подстановка числовых данных в выражение (3.14 8)
даёт:
A
η = 8, 6 · 10−6кг ·м−1· с−1.
Воспользовавшись полученными численными значе-
ниями для градиента скорости и коэффициента внутрен-
Рис. 3.12. К задаче 3.16 .
него трения, получим для силы, действующей на единицу
поверхности цилиндра B:
F
S
= η
∆u
= 0, 02 Па.
∆x
В результате действия на ранее неподвижный цилиндр В касательной силы возникает вращающий момент; цилиндр поворачивается, пока упругая сила закрученной
нити C не уравновесит момент сил, приложенных к цилиндру B.
Задача 3.17. Найти зависимость теплопроводности χ от температуры T при
изобарическом и изохорическом процессах.
Решение. Молекулярно-кинетическое содержание коэффициента теплопроводности χ определяется формулой (3 .1 39). Подставляя сюда выражения для средней
арифметической скорости (см. предыдущую задачу), средней длины свободного пробега молекул (3.114) и плотности, а также принимая во внимание, что в приближении
идеального газа удельные т еплоемкости при постоянных давлении и объёме от температуры не зависят, легко прийти к выводу:
χp∼
√
T ; χV∼
√
1
.
T
105
3.6. Явления переноса
Контрольные вопросы
1. Что называют средней длиной свободного пробега мо лекул?
2. При каком предположении число столкновений молекул в единицу времени выводится особенно просто? Чем отличается полученный результат от истинного?
3. Как вычисляется средняя а рифметическая скорость газовых молекул?
4. Что называют эффективным сечением молекулы?
5. Как зависит длина свободного пробега от давления?
6. Какие системы называются термодинамически неравновесными?
7. В чем заключаются явления переноса?
8. Почему несмотря на большую скорость молекула за одну секунду уходит лишь
на очень небольшое расстояние от того места, где она находилась?
9. Как выглядит формула, характеризующая явление диффузии с макроскопической точки зрения?
10. Как выражается коэффициент диффузии в молекулярно-кинетической теории?
11. По какой формуле, установленной на опыте, можно вычислить силу внутреннего трения?
12. Что из себя представляет градиент скорости?
13. Как выражается коэффициент внутреннего трения через молекулярно-кинетические
характеристики?
14. В чем заключается явление теплопроводности? Чем оно обусловлено?
15. Как выражается экспериментальный закон теплопроводности?
16. Каким образом можно устранить конвекционные потоки, мешавшие наблюдать
явление теплопроводности в чистом виде?
17. Что называют градиентом температуры?
18. Как выглядит выражение коэффициента теплопроводности через мо лекулярнокинетические характеристики?
19. В каких единицах измеряются в СИ коэффициенты диффузии, внутреннего
трения и теплопроводности?
Примеры решения задач
Задача 3.18. Каковы удельные теплоемкости cvи cpсмеси газов, содержащей кис-
лород массой m1= 15 г и азот массой m2= 30 г?
Решение. Отметим прежде в сего, что теплоемкость, как и энергия, является
величиной аддитивной. Это значит, что теплоемкость смеси равна сумме теплоёмкоcтей отдельных её компонент. Поэтому на основе первого начала термодинамики
для изохорического процесса и формулы подсчёта количества теплоты, необходимой
106
3.6. Явления переноса
для нагревания тела, будем иметь:
(m1+ m2)cv∆T =
m
i
R
2
1
µ
1
+
m
µ
2
∆T.
2
Отсюда получается расчётное соотношение для вычисления удельной теплоемкости
при постоянном объёме:
cv=
iR
2(m1+ m2)
m
1
µ
1
+
m
µ
2
.
2
Подставляя в эту формулу численные значения величин, получим:
cv=
5 ·8, 31 · 10
2 ·(15 + 20)
3
15
32
+
30
= 711 Дж · кг−1· К−1.
28
Аналогично и для удельной теплоемкости при постоянном давлении необходимо
лишь учесть, что при изобарическом процессе, кроме нагревания (изменения внутренней энергии), газ, расширяясь, совершает работу. Легко показать, что:
cp=
(i + 2)R
m1+ m
m
1
µ
2
1
+
m
2
, cp= 995, 4 Дж · кг−1· К−1.
µ
2
Задача 3.19. Определить степень диссоциации (отношение числа молекул, распавшихся на ато мы, к общему числу молекул газа) газообразного азота, если показатель адиабаты (коэффициент Пуассона) такого частично диссоциированного газа
равен 1,5.
Решение. К ак известно, показатель адиабаты или коэффициент Пуассона, определяется соотношением:
C
γ =
p
, (3.149)
C
v
где Cvи Cp– удельные (молярные) теплоемкости при постоянных объёме и давлении
соответственно. Эти величины можно определить из следующих соображений: количество теплоты, необходимое для нагревания смеси, состоящей из двух компонент, с
одной стороны, определяется по формуле:
Q = (m1+ m2)cv∆T, (3.150)
с другой стороны, это можно сделать (в силу аддитивности энергии) при помощи
уравнения:
Q = (c
m1+ c
v
1
m2)∆T. (3.151)
v
2
Приравнивая правые части формул (3.150) и (3.151), найдем:
(m1+ m2)cv= c
m1+ c
v
1
m2, (3.152)
v
2
107
3.6. Явления переноса
откуда:
где
m
1
m1+ m
2
= δ1,
m
2
m1+ m
m
cv= c
v
1
1
m1+ m
+ c
2
= δ2выражают массовые доли компонент. С учётом этих
2
v
2
m1+ m
m
2
, (3.153)
2
обозначений, запишем:
cv= δ1c
v
1
+ δ2c
. (3.154)
v
2
Аналогично и для удельной теплоемкости при постоянном давлении:
cp= c
m
p
1
m1+ m
cp= δ1c
1
+ c
2
+ δ2c
p
1
m
2
p
2
m1+ m
. (3.156)
p
2
, (3.155)
2
В приведённых формулах m1+ m2= m – масса хлора, мо лекулярного и диссоци-
ированного. Следовательно, формулы (3.15 3) и (3.155) можно переписать в виде:
cv= c
cp= c
m
1
v
1
m
m
1
p
1
m
+ c
+ c
m
2
, (3.157)
v
2
m
m
2
, (3.158)
p
2
m
а подставляя значения выражений (3.157) и (3.158) в уравнение (3.149), получим:
c
=
p
1
c
v
1
m1+ c
m1+ c
c
p
c
v
m
p
2
2
. (3.159)
m
v
2
2
Выразив в формуле (3.159) удельные теплоемкости через число степеней свободы,
универсальную газовую постоянную и молярную массу, после очевидных преобразований придем к соотношению:
c
c
p
v
(i1+ 2)
=
m
1
µ
1
m
1
i
1
µ
1
+ (i2+ 2)
+ i
2
m
2
µ
2
m
2
µ
2
, (3.160)
где µ1– молярная масса молекулярного азота, µ2– то же, диссоциированного. Очевидно µ2= 0, 5µ1. Массы компонент (молекулярной и атомарной) выразим через
коэффициент (степень) диссоциации: m2= αm, m1= (1 − α)m. Число степеней сво-
боды i1молекулярного азота равно 5, у атомарного – i2= 3. Учитывая сделанные
замечания и выполнив очевидные преобразования, получим соотношение:
c
(i1+ 2)(1 − α) + 2(i2+ 2)α
p
=
c
v
i1(1 −α) + 2i2α
, (3.1 61)
из которого легко определяется степень диссоциации. После подстановки числовых
данных и элементарных преобразований получим, что α = 0, 33.
108
3.7. Цикл Карно и его КПД
Контрольные вопросы
1. Как формулируется первое начало термодинамики?
2. Каким образом можно вычислить работу газа при изобарическом и изотермическом процессах?
3. Какой процесс называется адиабатическим? Как выглядят уравнения Пуассона
для адиабаты?
4. Как вычисляется работа газа при адиабатическом процессе?
3.7 Цикл Карно и его КПД для идеального газа.
Второе начало термодинамики
Термодинамика базируется на общих принципах, или началах, являющихся обобщением опытных данных. Выводы термодинамики используются практически во всех
разделах физики и в технике: гидродинамике, теории упругости, аэродинамике, учении об электричестве и магнетизме, теплотехнике. Основным содержанием термодинамики является изучение тепловой формы движения материи и связанных с ней
физических явлений. Приложения к тепловым двигателям, холодильным установкам
и по другим вопросам теплотехники выделились в специальный раздел, называемый
технической термодинамикой.
Первое начало термодинамики не указывает на направленность протекания естественных процессов. Для изолированной системы, например, оно требует, чтобы
энергия системы оставалась постоянной.
Второе начало термодинамики, наоборо т, позволяет судить о направлении процессов, которые могут происходить в действительности. Основоположником второго
начала считается французский инженер Сади Карно (1824 г.). Решая практическую
задачу повышения коэффициента полезного действия тепловой машины, Карно детально исследовал условия преобразования теплоты в работу. Однако, придерживаясь теории теплорода, он не смог дать четкую фо рмулировку второго начала термодинамики – это было сделано намного позже (в 50-е годы XIX в.), независимо друг
от друга, Клаузиусом и Томсоном (лордом Кельвином). Они сформулировали основной постулат, выражающий второе начало термодинамики, и вывели из него главные
следствия.
Чтобы прийти к математической формулировке второго начала термодинамики,
следуя историческому развитию идей, рассмотрим круговой обратимый процесс, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, введенный впервые К арно и получивший
название цикла Карно. Для осуществления такого цикла необходимо иметь нагреватель, сообщающий рабочему веществу соответствующее количество т епла Q1при
его изотермическом расширении, и холодильник, которому рабочее вещество отдает определенное количество тепла Q2при изотермическом сжатии (или получает
109
3.7. Цикл Карно и его КПД
от холодильника −Q2). Если такой цикл принципиально в озможен (см. задачу на
странице 111), то за счет разности совершается работа Q1− Q2= A, и то гда:
Q1− Q
η =
2
. (3.162)
Q
1
Формула (3.162)выражает фактический (или экономический) КПД теплового двигателя независимо от природы рабочего вещества.
Если рабочим телом тепловой машины является идеальный газ, то, как было
доказано Карно, КПД двигателя выражается через разность абсолютных температур
нагревателя и холодильника, делённую на абсолютную температуру нагревателя (см.
задачу на странице 111):
T1− T
η =
2
. (3.163)
T
1
Из формулы (3.115) неизбежно в озникает вопрос, нельзя ли исключить тепловой
отброс в сторону холодильника, т.е. добиться того, чтобы Q2= 0 и, следовательно,
η = 1? Такая машина могла бы превращать в работу всю теплоту, полученную из
одного источника. Возможность её построения не противоречит закону сохранения
энергии, она могла бы производить работу за счёт охлаждения окружающей среды
(морей и о кеанов, воздушной атмосферы и недр Земли). Такую ма шину Оствальд
назвал перпетуум мобиле второго рода в отличие от перпетуум мобиле первого рода,
т.е. вечного двигателя, производящего работу из ничего, возможность построения
которого отрицается законом сохранения энергии.
Но уже Карно понял, что нельзя избежать передачи тепла от нагревателя к холодильнику, если температура холодильника выше абсолютного нуля. Следовательно,
невозможность построения перпетуум мобиле второго рода очевидна. Эта невозможность была возведена в ранг постулата второго начала термодинамики. Однако этим
не исчерпывается значение и смысл фо рмулы (3.163). При дальнейшем преобразовании выражений (3.162) и (3.163) можно прийти к нахождению новой функции состояния, называемой энтропией, а от нее – к математической формулировке второ го
начала в виде критерия направленности протекания всех естественных процессов в
природе. Для практики формула (3.163) указывает путь повышения КПД теплового
двигателя.
Обратите внимание! Фактический КПД процесса преобразования теплоты в механическое движение (Q → A) можно вычислить по формуле, эквивалентной (3.162):
N · t
η =
, (3.164)
mq
где N – мощность двигателя, t – время его работы, m – масса сгоревшего топлива,
q – теплотворная способность топлива.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]