Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
1.6. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела
Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус R1, а внешний
R2, легко вычислить по формуле (1.122); нужно только в интеграле поставить другие
пределы интегрирования:
R
2
Z
I =
R2dm = 2πρl
R
1
Замечая, что масса полого цилиндра равна m = πρ(R
R
2
Z
R3dR = 2πρl
R
1
2
2
4
R
2
4
−R
4
R
1
−
. (1.124)
4
2
), запишем формулу для
1
момента инерции полого цилиндра в виде:
1
I =
2
m(R
2
2
2
+ R
). (1.125)
1
Обратите вни мание!
1. Таким же путём можно вычислить момент инерции любого тела, которое можно
разбить на совокупность полых цилиндров, колец.
2. При R1= R2(обруч, массу которого можно считать распределённой по ободу),
согласно (1.125), будем иметь:
I = mR2, (1.126)
т.е. так же, как и для материальной точки.
Задача 1.15. Вывести формулу для момента инерции тела вращения.
Решение. Телом вращения называют такое тело, поверхность которого образо-
вана некоторой плоской кривой при её вращении вокруг оси. Эта кривая называется
образующей.
Представим себе, что некоторая кривая r(h), лежащая в одной плоскости с осью
вращения OO′и опирающаяся на эту ось, вращается вокруг оси и образует тем самым
поверхность какого-то однородного тела (рисунок 1.23). Зная зависимость r(h) и
плотность ρ, сравнительно легко можно найти момент инерции тела вращения.
Разобьем тело на бесконечно тонкие диски высотой dh. Тогда момент инерции
каждого диска:
dI =
1
r2dm =
2
1
πρr4dh. (1.127)
2
Для всего тела:
I =
Z
1
2
0
H
r2dm =
H
Z
π
ρ
r4dh. (1.128)
2
0
Задача 1.16. Вывести формулу для момента инерции шара.
Решение. Применим формулу (1.128) к вычислению момента инерции шара
41
1.6. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела
✐
′
O
ρ
✒
R
O
O
r
dm
O'
Рис. 1.23. К задаче 1.15 . Рис. 1.24. К задаче 1.16 .
(рисунок 1.24) относительно оси, проходящей через его геометрический центр (центр
инерции). По (1.128) для половины шара имеем:
R
Z
π
I =
ρ
r4dh. (1 .129)
2
0
Но r2= R2− h2, поэтому:
I =
R
Z
π
(R2− h2)2dh ==
ρ
2
0
π
=
ρR5−
2
2
R2+
3
R
Z
π
(R4− R2h2+ h4) dh =
ρ
2
0
R
5
5
=
8π
ρR5=
2 ·15
1
mR2. (1.130)
5
Для всего шара:
2
I =
mR2. (1 .1 31)
5
Задача 1.17. Момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр
масс.
Решение. Если определен момент инерции тела относительно оси, проходящей
через центр масс, то очень просто определить момент инерции тела относительно
любой, параллельной ей, оси:
I = I0+ ma2, (1.132)
где m – масса тела, a – расстояние между осями, I0– момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. Это так называемая теорема ГюйгенсаШтейнера.
Задача 1.18. Используя связь между линейной и угловой скоростями, а также
представление о моменте инерции, получить выражение для кинетической энергии
вращающегося тела.
42
1.7. Закон сохранения момента импульса
Решение. Кинетическая энергия твёрдого тела есть сумма кинетических энергий отдельных его частиц. Кинетическая энергия частицы, имеющей массу mi, равна
2
miv
i
.
2
Если точка с массой miдвижется по окружности на расстоянии riот оси вращения, то выражение её кинетической энергии, согласно формуле (1.15), преобразуется
так:
Ti=
miv
2
2
i
=
mir
2
2
ω
i
. (1.133)
2
Для того, чтобы найти кинетическую энергию вращающегося тела, следует написать выражения кинетической энергии для каждой его материальной точки, а затем
просуммировать их, учитывая (1.113).
T =
n
X
i=1
Ti=
n
X
i=1
mir
2
2
i
ω2=
2
Iω
. (1.134)
2
Если тело, кроме вращения, движется ещё и поступательно, то его полная кинетическая энергия’ определится соотношением:
T =
mv
2
2
+
2
Iω
. (1.135)
2
Обратите внимание! Работа постоянного момента силы при вращательном движении определяется по формуле:
A = M ϕ. (1.136)
1.7 Закон сохранения момента импульса и его связь
с изотропностью пространства
Запишем уравнение (1.114) в виде:
I~ω
~
M =
dt
(1.137)
или
~
M dt = d(I~ω), (1.138)
где~M dt называется импульсом момента силы (по аналогии с импульсом силы~F dt
для поступательного движения), I ~ω – моментом импульса тела (по аналогии с им-
пульсом тела m~v для поступательного движения). Уравнение (1.138) выражает закон
изменения момента импульса внешних сил: момент импульса (или импульс момента)
43
1.7. Закон сохранения момента импульса
внешних сил, действующих на вращающ ееся тело, равен изменению момента количества движения этого тела. Это также формулировка второго закона динамики для
вращательного движения.
Если действующие на тело силы таковы, что их равнодействующая не даёт момента силы относительно оси вращения, то~M = 0, и тогда:
d(I~ω) = 0. (1.139)
Но если изменение величины I~ω равно нулю, то, следовательно, сама величина I~ω
остаётся постоянной:
~
L = I~ω = const. (1.140)
Итак, если на тело не действуют внешние силы (или равнодействующий момент
сил равен нулю относительно оси вращения), то момент количества движения системы остаётся постоянным; только в этом случае:
n
X
Ii~ωi= const. (1.141)
i=1
Для замкнутой системы тел геометрическая сумма вращательных импульсов есть
величина постоянная.
Покажем теперь, что закон сохранения мо мента импульса я вляется следствием
изотропности пространства. Изотропия пространства означает, что если замкнутую
систему т ел повернуть в пространстве на произвольный угол, поставив при этом все
тела в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то этот поворот
не отразился на ходе всех последующих процессов.
Пусть~M1,~M2, . . . – моменты внутренних сил, действующие на материальные
точки относительно неподвижного начала O.Система замкнута. Повернём её вокруг
точки O на бесконечно малый угол dϕ так, чтобы скорости всех материальных точек
повернулись на тот же угол без изменения своей величины. Ввиду изотропности
пространства на такой поворот не требуется затраты энергии, а следовательно, так
как dϕ 6= 0,~M1,~M2,~M3, . . .. Таким образом, для замкнутой системы геометрическая
сумма моментов внутренних сил равна нулю, а поскольку:
n
P
d
i=1
Ii~ω
,
dt
отсюда следует, что
пульса.
n
X
~
Mi=
i=1
n
P
In~ω = const, т.е. выполняется закон сохранения момента им-
i=1
Приведите примеры, иллюстрирующие закон сохранения момента импульса.
44
1.7. Закон сохранения момента импульса
Контрольные вопросы
1. Как связаны между собой линейная и угловая скорости, тангенциальное и угловое ускорения при вращательном движении то чки?
2. Как определяется момент инерции точки относительно оси?
3. Что называется моментом силы? Какова его роль во в ра щательном движении
твёрдого тела?
4. В каких единицах в СИ измеряются момент инерции и момент силы?
5. Как формулируется уравнение динамики вращательного движения твёрдого
тела относительно неподвижной оси?
6. Какая величина называется моментом импульса материальной точки? Какова
единица её измерения в СИ?
7. Какие аксиомы вытекают из определения твёрдого тела для приложенных к
нему сил?
8. В каком случае твёрдое тело с неподвижной осью вращения будет находиться
в равновесии?
9. Как читается теорема синусов?
10. Как направлен вектор момента силы?
11. Как, используя представление векторного произведения двух векторов в виде
определителя третьего порядка, найти составляющие вектора момента силы?
12. Чему равен момент инерции стержня относительно оси, проходящей в первом
случае через его середину, а во втором – через один из его концов?
13. Как произвести расчёт момента инерции однородного сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс?
14. Чему рав ен момент инерции полого цилиндра?
15. Чем объяснить, что момент инерции т онкостенного цилиндра вычисляется так
же, как и для материальной точки?
16. Что такое тело вращения? Как вычисляется его момент инерции?
17. Как вычислить момент инерции тела относительно любой оси, параллельной
оси, проходящей через центр масс?
18. Как вычисляется кинетическая энергия вращающегося тела?
19. Что определяет работу сил при вращательном движении?
20. Как фо рмулируется закон сохранения момента импульса системы?
21. В чем заключается связь закона сохранения момента импульса с изотропностью
пространства?
Заполните самостоятельно правую часть сопоставительной таблицы 1.2 для поступательного движения точки и вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.
45
1.7. Закон сохранения момента импульса
Сопоставительная таблица поступательного и вращательного движения.
Поступательное движение Вращательное движение
материальной точки твёрдого тела
Масса
Равнодействующая сила
Путь и перемещение (s, ~s)
Скорость и ускорение (~v, ~a)
Импульс ~p
2
mv
Кинетическая энергия
2
Второй закон Ньютона
~
F = m~a
Работа A = (~F ,~s)
Закон сохранения импульса
P
mi~vi= const
Таблица 1.2
Примеры решения задач
Задача 1.19. Рассмотрите изменение кинетической энергии тел при неупругом ударе.
Решение. Перед сто лкновением кинетическая энергия двух тел (шаров, например, движущихся в горизонтальном направлении) равна:
2
m1v
T1=
1
+
2
После удара:
m1+ m
T2=
m1v1+ m2v
2
2
m1+ m
Убыль кинетической энергии за время столкновения:
T1− T2=
m1v
2
2
1
+
m2v
2
2
2
После несложных преобразований формулы (1.144):
m1m
∆T =
2
2(m1+ m2)
2
m2v
2
. (1.142)
2
2
2
2
(m1v1+ m2v2)
−
. (1.143)
2
. (1.144)
2(m1+ m2)
(v1− v2)2. (1.145)
Кинетическая энергия при неупругом ударе сохраняется лишь в том случае, когда
v1= v2т.е. когда шары движутся вместе, не сталкиваясь между собой. Но если v
46
1
1.7. Закон сохранения момента импульса
и v2различны, то кинетическая энергия убывает, производя работу деформации, и
превращается в теплоту.
Рассмотрим условия деформации при неупругом ударе (ковка, чеканка, штамповка металла, раздробление тел). Пусть движется только второе тело массой m2со
скоростью v2, а первое тело m1неподвижно, т.е. v1= 0. Кинетическая энергия до
2
m2v
2
удара будет
. Работа деформации равна убыли кинетической энергии (см. 1.145):
2
∆T =
m1m
2
2(m1+ m2)
(v2)2= T
m
1
m1+ m
1
= T
2
1
1 +
1
. (1.146)
m
2
m
1
Работа перемещения тел за счёт оставшейся кинетической энергии после удара
будет составлять:
T1− ∆T = T
m
1 −
1
m1+ m
1
= T
2
1
1 +
1
. (1.147)
m
1
m
2
Чем больше m2по сравнению с m1, тем больше знаменатель в формуле (1.146),
тем меньше работа деформации, но тем больше работа перемещения тел T1− ∆T .
Поэтому масса молотка должна быть значительно больш е массы гвоздя, масса копровой бабы – больше массы сваи. Наоборот, деформация будет тем больше, чем меньше
масса движущегося тела по сравнению о массой тела покоящегося. Например, масса
наковальни во много раз больше массы молота.
Обратите вни мание!
1. При абсолютно упругом ударе сумма кинетических энергий тел сохраняется:
m1v
2
2
1
+
m1v
2
2
2
=
m1u
2
2
1
+
2
m1u
2
. (1.148)
2
2. Скорости тел (шаров) после абсолютно упругого удара определяются по формулам:
2m2v2+ v1(m1− m2)
u1=
m1+ m
2
, (1.149)
2m1v1+ v2(m2− m1)
u2=
m1+ m
2
. (1.150)
Они получаются из (1.148) и закона сохранения импульса (1.58) после несложных преобразований. В качестве неизвестных следует рассматривать скорости
тел после удара.
47
1.7. Закон сохранения момента импульса
Задача 1.20. Ньютон, используя введённое Гюйгенсом понятие центростреми-
тельной силы, из третьего закона Кеплера вывел закон всемирного тяготения. Покажите это.
Решение. Примем орбиты планет за окружности и запишем уравнение движе-
ния планеты вокруг Солнца в форме второго закона Ньютона:
F =
mv
R
2
= m
4π2R
, (1.151)
2
T
где m – масса планеты, R – радиус орбиты, T – период обращения планеты вокруг
Солнца, F – центростремительная сила.
Пользуясь третьим законом Кеплера, эту силу можно выразить иначе. Для какихлибо двух планет, например, Земли и Марса, третий закон Кеплера даёт соотнош ение:
2
T
2
T
1
=
R
R
3
2
T
,
3
3
R
1
2
T
1
. (1.152)
=
3
R
1
Если ваять ещё третью планету, например, Юпитер, то можно также записать:
2
T
2
T
2
=
R
R
3
2
T
,
3
3
R
2
2
T
2
. (1.153)
=
3
R
2
Отсюда следует:
T
R
=
T
R
2
1
3
1
2
3
=
2
T
2
= const. (1.154)
3
R
2
Это значит, что для данной системы планет отношение квадрата времени обращения к кубу среднего расстояния есть величина постоянная; обозначим её α:
2
T
= α, T2= αR3. (1.155)
3
R
Подставив в выражение (1.151) для центростремительной силы, находим:
2
Так как
4π
F =
αmR
2
4π
– число постоянное, то сила, действующая на планету со стороны Солнца
. (1.156)
2
α
во время ее движения, прямо пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату её расстояния до Солнца.
Обозначим постоянный коэффициент, входящий в формулу (1.156), через
2
4π
β =
. (1.1 57)
α
48
1.7. Закон сохранения момента импульса
Силы которые действуют со стороны Солнца на планеты: Землю, Марс, Юпитер,
Венеру, выразятся по формуле (1.156) с учётом (1.157) так:
F =
βm
R
, F =
2
βm
R
1
, F =
2
1
βm
2
, . . . . (1.158)
2
R
2
По третьему закону Ньютона на Солнце со стороны этих планет действуют равные по величине, но противоположные по направлению силы. Обозначив массу Солнца через M, запишем значения сил, действующих на Солнце со стороны планет:
F =
ϕM
R
, F1=
2
ϕ1M
2
R
1
, F2=
ϕ2M
, . . . , (1.159)
2
R
2
где ϕ, ϕ1, ϕ2– некоторые коэффициенты.
Из формул (1.158) и (1.159) находим:
βm
R
ϕM
=
2
R
βm
,
2
R
ϕ1M
1
=
2
1
R
βm
,
2
R
1
ϕ2M
2
=
2
2
R
2
2
, ··· ,
βm = ϕM, βm1= ϕ1M, βm2= ϕ2M, ··· ,
β
M
=
ϕ
m
ϕ
=
m
ϕ
=
2
= γ. (1.160)
m
2
1
1
Итак,
β = γM. (1.161)
Подставив значение коэффициента β в формулу (1.158), находим общее выражение для силы взаимодействия между Солнцем и планетой:
F = γ
. (1.162)
2
R
В этом и заключается вывод на основе законов Кеплера, закона всемирного тяготения Ньютона.
К такому же выводу можно прийти, рассматривая эллиптическое движение планет, но на основе более сложной математики.
Обратите вни мание!
1. Сила взаимодействия между телом и Землей является весом тела P . Вблизи
поверхности Земли расстояние между центром Земли и телом равно RЗи в
соответствии с формулой (1.162):
Mm
mM
P = γ
З
. (1.163)
2
R
З
2. Ускорение свободного падения от массы тела не зависит:
mg = γ
mM
R
З
, g = γ
2
З
M
З
. (1.164)
2
R
З
49
1.7. Закон сохранения момента импульса
3. Вес тела и и ускорение свободного падения с высотой над поверхностью Земли
убывают:
mM
З
Ph= γ
(RЗ+ h)
M
gh= γ
(RЗ+ h)
, (1.165)
2
З
, (1.166)
2
так как на высоте h над поверхностью Земли расстояние между её центром и
телом сделается равным RЗ+ h.
4. Зависимость веса тела от широты на поверхности З емли определяется по формуле:
Pϕ= P − mωRЗcos2ϕ, (1.167)
h
где ϕ – широта, на которой находится тело, ω =
2π
24
i
рад
– угловая скорость
ч
вращения Земли, P – вес тела на полюсе.
5. Первая космическая скорость вблизи поверхности Земли находится из уравнения:
и на любой высоте:
vh= v
v1=
p
gRЗ, (1.168)
r
R
З
1
RЗ+ h
. (1.169)
6. Минимальный период обращения спутника вокруг Земли равен:
2πR
T =
З
, (1.170)
v
1
на высоте h:
2π(RЗ+ h)
Th=
v
, (1.171)
1
7. Работа сил тяготения при падении тела массой m из бесконечности на поверхность Земли вычисляется по формуле:
Z
∞
R
З
mM
З
γ
dr. (1.172)
2
r
A =
∞
R
З
Z
F dr =
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]