Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
3.7. Цикл Карно и его КПД
Примеры решения задач
Задача 3.20. Докажите, что замкнутый цикл, состоящий из двух изотерм и двух
адиабат (цикл Карно, рисунок 3.13 ) в принципе возможен.
Решение. Выпишем значения параметров для наиболее характерных точек цикла:
1. p1, V1, T1.
2. p2, V2, T1.
3. p3, V3, T2.
4. p4, V4, T2.
Переход рабочего вещества из второго состояния в третье (2 → 3) происходит за счёт адиабатического расширения, тогда (согласно одному из
уравнений Пуассона для адиабаты) будем иметь:
γ−1
=
V
3
V
2
. (3.165)
T
1
T
2
Аналогично для адиабатического сжатия при переходе из четвёртого состояния в первое (4 → 1):
T
1
=
T
2
γ−1
V
4
V
1
. (3.166)
p
1
2
4
3
0
V
Из выражений (3.165) и (3.166) следует
или:
V
V
V
V
2
=
1
V
3
2
4
=
,
V
1
V
3
. (3.167)
V
4
Рис. 3.13. К задаче 3.20 .
Условию замкнутости цикла (3.167) можно удовлетворить. Следовательно, цикл Карно, практически возможен.
Задача 3.21. Получите выражение для КПД цикла Карно в виде формулы
(3.163).
Решение. При изотермическом расширении 1 → 2 (рисунок 3.13) рабо чее веще-
ство (идеальный газ) получило от нагревателя количество теплоты:
Q1=
m
RT1ln
µ
V
2
V
1
(3.168)
и совершило такую же работу. В результате изотермического сжатия количество
теплоты, «полученное» газом от холодильника:
−Q2=
m
RT2ln
µ
V
4
V
3
(3.169)
111
3.8. Энтропия
или
−Q2= −
m
RT2ln
µ
V
3
. (3.170)
V
4
Подставляя в уравнении (3.162) вместо Q1и ˘Q2их значения по выражениям (3.168)
и (3.170) и принимая во внимание условие замкнутости (3.167), получим:
T1− T
η =
2
,
T
1
что и требовалось доказать.
Контрольные вопросы
1. На чем базируется термодинамика?
2. О чем позволяет судить второе начало термодинамики?
3. Почему нельзя исключить тепловой отброс в сторону холодильника и сделать
фактический КПД равным единице?
4. Как выражается фактический КПД тепловой машины?
5. Какая машина называлась бы перпетуум мобиле второго рода?
6. Как на примере преобразования теплоты в работу объяснить, что работа –
это количественная мера процесса перехода одной формы движения материи в
другую?
7. Из каких процессов состоит цикл Карно?
8. В чем заключается условие замкнутости цикла Карно?
9. За счёт чего можно повысить КПД тепловой машины?
10. Как ещё (кроме формулы(3.162) можно вычислить фактический КПД тепловой
машины?
11. Что называют теплотворной способностью топлива?
3.8 Энтропия. Энтропия идеального газа.
Статистическое толкование второго начала
термодинамики
Выражение коэффициента полезного действия цикла Карно:
можно преобразовать так:
Q
1 −
Q
112
2
= 1 −
1
Q1− Q
Q
1
T
Q
2
;
T
Q
1
T1− T
2
=
T
2
2
−
T
1
1
T
1
= 0;
2
Q
Q
1
T
1
−
2
= 0. (3.171)
T
2
3.8. Энтропия
p
p
J
E
G
H
V
0
Рис. 3.14. Произвольный цикл, как сово-
купность циклов Карно.
V
K
0
Рис. 3.15. К выводу понятия энтропии.
Количество теплоты, полученной телом, делённое на температуру, при которой
происходит теплопередача, называется приведённым количеством теплоты и берется со знаком «плюс». Приведённое количество теплоты, отданное телом, берется со
знаком «минус». С этой о говоркой:
Q
Q
1
T
1
+
2
= 0, (3.172)
T
2
т.е. алгебраическая сумма приведённых количеств теплоты в цикле Карно равна нулю. Это утверждение справедливо для любого обратимого цикла, который можно
разбить рядом бесконечно близких адиабат и бесконечно коротких изотерм на совокупность циклов Карно (рисунок 3.14). В пределе их сумма даст весь цикл и тогда:
I
dQ
= 0. (3.173)
T
В этой сумме, распространённой в пределе на весь круговой про цесс (кружок на знаке
интеграла), приведённое количество теплоты, взятое у нагревателя, входит со знаком
«плюс», отданное холодильнику – со знаком «минус». Формула (3.173) показывает,
что в случае какого угодно обратимого цикла алгебраическая сумма приведённых
количеств теплоты равна нулю.
Возьмём обратимый цикл EGHKE (рисунок 3.15) и разобьем его на два незамкнутых процесса:
по условию (3.173) имеем:
I
dQ
T
Z
EGH
=
dQ
EGH
T
Z
dQ
T
+
Z
dQ
, (3.174)
T
HK E
Z
dQ
+
= 0. (3.175)
T
HK E
113
3.8. Энтропия
Точно так же для обратимого цикла EJHKE напишем:
+
Z
dQ
= 0. (3.176)
T
HK E
Z
dQ
T
EJ H
Из уравнений (3.175) и (3.176) следует, что суммы приведённых количеств теплоты
R
dQ
, вычисленные не для циклов, а по двум различным путям EGH и EJ H, между
T
двумя точками E и H двух обратимых процессов EGH и EJ H равны между собой:
=
Z
dQ
. (3.177)
T
HJ E
Z
dQ
T
EGH
Следовательно, значение рассматриваемого интеграла не зависит от пути, по которому протекает процесс ( EGH и EJH или EKH ), а определяется исключительно
его началом и концом, в данном случае - точками E и H , т.е. их параметрами.
Математически это означает, что существует некоторая функция (обозначим её
через S), для которой подынтегральное выражение является полным дифференциалом:
dQ
= dS. (3.178)
T
Следовательно, в результате преобразования формулы для КПД теплового двигателя мы нашли новую функцию, которая так же, как и внутренняя энергия системы,
определяется параметрами состояния; значение её от точки к точке по мере течения
процесса меняется, но так, что путь процесса не отражается на полном ее изменении
за весь процесс, так что:
H
Z
dQ
∆S =
. (3.179)
T
E
Эту функцию Клаузиус назвал энтропией («тропе» /греч/ – поворот, превращение;
«эн» – в, внутрь; энтропия – мера необратимости процесса).
Если положим, что состоянию E – начала процесса – соответствует значение энтропии S1, а состоянию H – конца процесса – значение S2, то:
H
Z
dQ
= S2− S1= ∆S, (3.180)
T
E
где ∆S есть изменение энтропии в течение обратимого процесса с началом в E и
концом в H независимо от того, как он протекает – по пути EGH, EJH, EKH или
ещё как-нибудь.
Из рассмотренного вытекают следующие свойства энтропии:
114
3.8. Энтропия
1. Энтропия есть функция состояния и в каждой точке процесса определяется
параметрами состояния.
2. Для всякого обратимого цикла имеем:
I
dQ
= 0; ∆S = 0. (3.181)
T
3. Единицей СИ энтропии является Дж·К−1.
Для коэффициента полезного действия какого угодно необратимого цикла в за-
мкнутой системе имеет место соотношение:
Q1− Q
Q
1
2
<
T1− T
T
1
2
. (3.182)
Аналогичные преобразования приводят к
I
dQ
< 0. (3.183)
T
Эта формула показывает, что большую абсолютную величину имеют отрицательные слагаемые суммы, т.е. приведенные количества теплоты, отданные холодильнику. Поэтому из формулы (3.183) можно сделать вывод: при всяком необратимом
процессе в изолированной системе энтропия системы возрастает.
Таким образом, все сказанное о величине энтропии и ее свойствах можно записать
в виде неравенств:
I
≤ 0,
dQ
≤ 0, dQ ≤ T dS, dS ≥ 0. (3.184)
T
dQ
T
Отсюда вытекает вывод: энтропия изолированней системы не может уменьшаться:
1. при круговых обратимых процессах она остается неизменной (∆S = 0);
2. при необратимых процессах она возрастает (∆S > 0).
При необратимых процессах в изолированной системе сами собой могут происходить лишь такие преобразования энергии, при которых энтропия растет – в этом
заключается наиболее общая формулировка II начала термодинамики.
Фундаментальное соотношение:
I
dQ
≤ 0, (3.185)
T
115
3.8. Энтропия
называемое неравенством Клаузиуса, является математическим выражением II начала термодинамики.
Сопоставляя утверждение II начала о возрастании энтропии с выводами статистического метода исследования термодинамических систем о вероятности состояния
(всякая замкнутая система, предоставленная самой себе, самопроизвольно переходит
от менее устойчивых состояний к более устойчивым, т.е. к таким, вероятность осуществления которых возрастает), можно сделать вывод о том, что между энтропией и
вероятностью состояния должна существовать определённая функциональная связь:
S = f (P ), (3.186)
где S – энтропия системы в каком-либо её состоянии, P – вероятность этого состояния.
Взгляд на энтропию, как на мэру вероятности состояния, содержит в себе новое
понимание II начала термодинамики. Односторонность в направлении процессов и
рост энтропии – все это разные стороны одного и того же явления – перехода системы
от состояний менее вероятных к более вероятным.
Как было показано М. Планком (1906 г.), функция (3.186) имеет вид:
S = k ln P, (3.187)
энтропия системы пропорциональна логарифму вероятности ее состояния; коэффициент пропорциональности есть постоянная Больцмана.
Примеры решения задач
Задача 3.22. Доказать, что при необратимых процессах в изолированной системе
энтропия возрастает.
Решение. Понятие об энтропии в случае обратимого процесса EKH (рису-
нок 3.15) дано формулами (3 .180) и (3.181):
H
Z
dQ
= SH− SE.
T
E
Обратимый процесс
Рассмотрим цикл EGHKE, в который входят процессы: EGH – необратимый и
HKE – обратимый:
H
Z
dQ
T
E
Необратимый процесс
+
Обратимый процесс
E
Z
dQ
< 0
T
H
(3.188)
(3.189)
116
Формула(3.188) даёт:
3.8. Энтропия
H
Z
dQ
T
E
вообще,
+ SE− SH< 0;
2
Z
dQ
< S2− S1или
T
1
H
Z
dQ
< SH− SE;
T
E
2
Z
dQ
< ∆S. (3.19 0)
T
1
Если все тела, участвующие в процессе, – нагреватели, холодильники, рабочее
вещество – включим в одну систему, а по условию система замкнута, теплота в неё
не уходит, поэтому dQ = 0, отсюда по уравнению (3.190) получаем:
0 < ∆S; 0 < S2− S1; S2> S1. (3.191)
Это значит, что при необратимом процессе в замкнутой системе энтропия системы
возрастает, что и требовалось доказать.
Задача 3.23. Выведите формулу для вычисления изменения энтропии идеального газа при переходе его из состояния E в состояние H (рисунок 3.15).
Решение. Пусть значение энтропии в состоянии E есть S1, в состоянии H есть
S2. Для всякого элемента обратимого процесса справедливо уравнение
dQ
dS =
; dQ = T dS. (3.192)
T
Выразим dQ на основе первого начала термодинамики
dQ = CVdT + pdV. (3.193)
Тогда, с учетом уравнений (3.192) и (3.193), имеем:
T dS = CVdT + pdV ; dS = C
H
Z
или
dS = S2− S1= C
E
По уравнению Менделеева-Клапейрона,
S2− S1=
H
Z
dT
T
E
+ R
H
Z
dV
V
E
dT
V
H
Z
dT
V
T
E
R
p
=
T
, поэтому:
V
; S2− S1= CVln
p
+
T
dV .
T
H
Z
p
+
dV . ( 3.194)
T
E
T
2
T
1
+ R ln
V
2
. (3.195)
V
1
Здесь T1и V1относятся к состоянию E; T2и V2– к состоянию H. Полученная формула
(3.195) показывает, что изменение энтропии может быть вычислено.
117
3.8. Энтропия
Контрольные вопросы
1. Что называется приведенным количеством теплоты?
2. Какая функция состояния называется энтропией?
3. Какими свойствами обладает энтропия для всякого обратимого цикла?
4. Как ведет себя энтропия при необратимом процессе?
5. В чем заключается физический смысл неравенства Клаузиуса?
6. В чем заключается наиболее общая формулировка II начала термодинамики?
7. Как связаны между собой энтропия и вероятность состояния?
8. Можно ли вывод о возрастании энтропии применить к системе масштаба вселенной? К каким еще системам нельзя применить этот вывод?
118
Глава 4
Реальные газы и жидкости
4.1 Отступление от законов идеального газа.
Реальные газы. Силы и потенциальная энергия
межмолекулярного взаимодействия
Обширные и весьма точные исследования обнаружили заметные отклонения от газовых законов, особенно при высоких давлениях и больших плотностях. Такое поведение реальных газов с точки зрения молекулярно-кинатической теории станет понятным, если представим себе, что при больших давлениях молекулы газа так сближаются, что расстояние между ними становится меньше их эффективного радиуса,
и поэтому они начинают взаимодействовать друг с другом. Наряду с кинетической
энергией поступательного движения молекул появляется потенциальная энергия их
притяжения или отталкивания.
Рассмотрим более подробно, как с точки зрения кинетической теории могут быть
истолкованы отступления реальных газов о т основных законов.
При значительных давлениях, т.е. при сильном сжатии газов, объём газа становится соизмеримым с собственным объёмом самих молекул. Так, полагая эффективный радиус молекулы газа 1,7· 10
2,7·1025молекул в 1 м3(при нормальных условиях) равен 5·10−4м3. Следовательно,
при 100 атм все эти молекулы займут уже 0,05 объёма всего газа. Обозначив объём самих молекул через V1, а объём газа через V , видим, что объём, доступный
для движения молекул сделается равным (V − V1). Однако объ ём, недоступный для
движения молекул, будет больше суммарного объёма самих молекул V1. Дело в том,
что, если предположить шарообразную форму молекул (рисунок 4.1), то уменьшение свободного пространства в объёме V будет б ольше, чем объём, занятый самими
молекулами.
Представим себе две молекулы в момент удара в соприкосновении (рисунок 4.2).
−10
м, найдем её объём 20·10
−30м3
, о бъём же
119
4.1. Отступление от законов идеального газа
r
r
O
Рис. 4.1. Плотная упаковка молекул. Рис. 4.2. К определению свободного про-
странства для движения молекул.
Их центры O и O1находятся при этом положении на расстоянии 2r друг от друга,
где r – радиус молекулы. Это значит, что молекула O создаёт не доступную для
движения молекулы O1сферу с радиусом 2r и объёмом V2:
O1
V2=
4
π(2r)3= 8(
3
4
πr3).
3
Этот объём V2в восемь ра з больше объёма самой молекулы; то же рассуждение
можно провести относительно молекулы O1. Для каждых двух молекул объ ём, доступный для их движения, уменьшается на восьмикратный объём молекулы, а для
одной молекулы уменьшение объёма для свободного движения равно учетверённому
её собственному объёму.
Итак, если мы имеем один моль газа, занимающий объём V , то для движения
молекул в этом объёме остаётся свободный объём:
V − 4NVЗ,
где VЗ– объём одной молекулы. Следовательно, поправка на объём молекул, которую
надо внести в уравнение Менделеева-Клапейрона при переходе к реальным газам,
выразится так:
V − b,
где b – учетверённый объём молекул в объёме V .
Для азота, например, с радиусом молекулы r = 1, 8 · 10
−10
м, вычисление даёт
b = 59 см3; по от ношению к объёму моля при нормальных условиях этот учетве-
рённый объём молекул составляет около 2,5% (объём моля газа при нормальных
условиях 22421 см3), поэтому в объёме моля азота для движения молекул остаётся
свободный объём 22421 − 59 = 22362 см3, а это почти молярный объём. Но если при
изотермическом увеличении давления в 100 раз, во столько же раз уменьшить объём,
то простор для движения молекул уменьшится примерно до 165,21 см3.
В идеальных газах мы не предполагали никаких сил взаимодействия между молекулами. С помощью о пытов Джоуль сначала выяснил, что внутренняя энергия газа
не зависит от его объёма и есть функция только температуры, т.е. зависит только от
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]