Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
3.1. Вывод уравнения МКТ
Рис. 3.1. Движение молекулы в сферическом сосуде.
Наша задача заключается в том, чтобы подсчитать давление газа, т.е. силу, действующую на единицу площади поверхности оболочки. Д авление характеризует механическое действие газа на стенки сосуда и является своего рода динамическим
параметром.
Пусть молекула массой m со скоростью v под углом ϕ налетает на оболочку. Импульс, переданный молекулой о болочке, при каждом столкновении, в соответствии
со вторым законом Ньютона, равен изменению количества движения молекулы:
f∆t = mv2− mv1. (3.1)
Поскольку при упругом ударе изменяется только нормальная доставляющая скорость, которая равна v cos ϕ, то уравнение (3.1) можно переписать так:
f∆t = mv cos ϕ − m(−v) cos ϕ = 2mv cos ϕ. (3.2)
Импульс численно равен силе при ∆t = 1 с. Следовательно, если в формуле (3 .2)
положить ∆t = 1 с, то левая его часть увеличится во столько раз, сколько раз
молекула при своем движении столкнется с оболочкой в 1 секунду. Чтобы равенство
(3.2) сохранило смысл, во столько же раз мы должны увеличить и его правую часть.
За 1 с молекула проходит путь, численно равный скорости, а от одного удара до
другого — длине хорды AB = 2R cos ϕ. Тогда число столкновений Z в секунду одной
молекулы с оболочкой будет равно:
v
Z =
. (3.3)
2R cos ϕ
С учётом (3.3), равенство (3.2) можно представить в следующем виде:
=
2
mv
. (3.4)
R
f = 2mv cos ϕ
v
2R cos ϕ
71
3.1. Вывод уравнения МКТ
Суммарное действие всех N молекул, находящихся внутри оболочки, очевидно, определится соотношением:
F =
mv
R
2
1
+
mv
R
2
2
+ ···+
mv
R
2
N
=
m
R
N
X
i=1
2
v
. (3.5)
i
В равенстве (3.5) умножим и разделим на N число молекул в сосуде:
N
P
2
v
i=1
i
· N, (3.6)
N
но
P
m
F =
R
2
v
i
v2— квадрат средней квадратичной скорости, тогда:
=
N
2
mN
F =
v
. (3.7)
R
Теперь уже легко найти давление газа. Это будет не что иное, как суммарный
импульс, полученный в 1 с единицей поверхности оболочки:
2
v
m
R ·4πR
· N. (3.8)
2
p =
F
=
S
Здесь m
жения одной молекулы, т.е. 2
v2— удвоенное значение средней кинетической энергии поступательного дви-
εк, а 4πR3— утроенный о бъём сферической оболочки.
Так что:
p =
2
3
εкN
V
2
=
n
εк, (3.9)
3
где n — число молекул в единице объёма (концентрация). Формула (3.9) и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории.
Сравнение (3.9) с уравнением Менделеева-Клапейрона:
m
pV =
RT (3.10)
µ
приводит к следующему интересному выводу: средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы (как, впрочем, и внутренняя энергия идеального газа) пропорциональна абсолютной температуре. В самом деле, запишем (3.9)
в виде:
2
pV =
N
εк, (3.11)
3
72
3.1. Вывод уравнения МКТ
но, как известно, число атомов в произвольной массе газа равно:
m
N =
NA, (3.12)
µ
тогда:
2
pV =
3mµ
εк. (3.13)
N
A
Приравнивая правые части (3.10) и (3.13), получаем:
отсюда:
R
где
N
A
m
RT =
µ
εк=
= k — постоянная Больцмана, равная 1, 38 · 10
2
εк,
N
A
3mµ
3
R
T, (3.14)
2
N
A
−23
Дж ·К−1, следовательно,
3
εк=
kT (3.15)
2
— одна из самых знаменитых формул мо лекулярной физики!
Обратите вни мание!
1. Количество вещества, которое содержит столько же структурных элементов
(атомов или молекул), сколько их содержится в 0,012 кг лёгкого изотопа углерода, называется молем.
2. 1 моль любого вещества содержит число Авогадро молекул (атомов); NA=
6, 02 ·1023моль−1.
3. 1 моль идеального газа при нормальных условиях занимает объём 22, 4·10
моль−1(молярный объём).
−23м−3
·
4. Нормальным условиям соответствуют температура 27 3 К и давление 1, 013 ·
105Па.
Пользуясь указанными определениями, можно оценить массу одной молекулы
(атома):
µ
m′=
, (3.16)
N
A
вычислить число молекул, содержащихся в произвольной массе вещества, т.е. получить формулу (3.12), а также посчитать число молекул в единице массы, единице
объёма и т.д.
Задача 3.1. На примере воды оцените радиус молекулы H2O, считая её шари-
ком.
73
3.1. Вывод уравнения МКТ
Решение. Вода, как и любая другая жидкость, практически несжимаема, сле-
довательно, молекулы в ней на ходятся в состоянии наиплотнейшей упаковки. Молярный объём воды
µ
V =
, (3.17)
ρ
в нём содержится число Авогадро молекул. Объём одной мо лекулы-шарика
4
V′=
πr3, (3.18)
3
следовательно,
4
V =
πr3NA. (3.19)
3
Приравнивая правые части ра венств (3.17) и (3.19), для радиуса молекулы воды
получаем:
r =
r
3
3µ
4πρN
. (3.20)
A
Подставьте в формулу (3.20) численные данные и получите результат. Мы лишь
отметим, что точные измерения радиуса атома водорода приводят к rH= 0, 529 ·
−10
10
м.
Задача 3.2. Универсальная газовая постоянная R численно равна работе, ко-
торую совершает 1 моль идеального газа при нагревании на 1 К при постоянном
давлении. Докажите это определение.
Решение. Отметим, прежде всего, что моль является одной из основных единиц
измерения физических величин в СИ.
Для одного моль идеального газа уравнение Менделеева-Клапейрона имеет в ид
pV = RT. (3.21)
Пусть 1 моль идеального газа (количество вещества
ν = 1) находится в цилиндре (рисунок 3.2) под порш-
нем, плотно притертым к стенкам. Давление газа обозначим через p, его объем — V1, температуру — T .
После нагревания на 1 К при постоянном давлении
объём газа сделается равным V2, а температура повысится до T + 1 К. При расширении газ совершит
работу A = F ∆h, где F — сила давления со стороны
газа на поршень, равная pS, тогда
A = pS∆h = p(V2− V1), (3.22)
но, согласно (3.21),
pV1= RT, pV2= R(T + 1),
74
Рис. 3.2. К задаче 3.2 .
3.1. Вывод уравнения МКТ
отсюда, вычитая из второ го равенства первое, найдем, что
p(V2− V1) = R(T + 1) −R T = R = A.
Обратите вни мание!
1. Работа газа при изобарическом расширении
P
равна площади прямоугольника (рисунок 3.3).
Причём, работа газа при любом процессе численно равна площади фигуры, ограниченной
графиком процесса в pV – координатах, двумя
ординатами и частью оси абсцисс.
2. Численная величина универсальной газовой постоянной равна R = 8, 31 Дж ·К−1· моль−1.
1
V1
2
V
V2
Задача 3.3. Подставляя в уравнение (3.9)
равенство(3.15), основное уравнение молекулярнокинетической теории получим в виде:
Рис. 3.3. Работа газа числен-
но равна площади
заштрихованной
фигуры.
p = nkT. (3.23)
Выведите эту формулу из уравнения Менделеева-Клапейрона.
Решение. Согласно выражению (3.10),
m
p =
, (3.24)
µRTV
но m = m′N, где m′— масса одной молекулы, N — число молекул в газе; что же
касается молярной массы, то она равна µ = m′NA, тогда
m′N
RT
. (3.25)
V
A
Поскольку
N
V
= n, а
p =
m′N
R
= k, то равенство(3.25) приобретает вид:
N
A
p = nkT,
что и требовалось доказать.
Задача 3.4. Из соображений, основанных на уравнении молекулярно-кинетической
теории, вывести закон Дальтона для парциальных давлений газовой смеси.
Решение. Так как энергия — величина аддитивная (энергия системы равна
сумме энергий отдельных ее компонент), то
E = E1+ E2+ ···+ En. (3.26)
75
3.1. Вывод уравнения МКТ
Умножим уравнение (3.26) слева и справа почленно на
в котором находится газ:
2
3EV
=
2
E
3
2
E
1
V
+
3
2
V
+ ···+
2
E
3
V
, где V — объём сосуда,
3V
n
, (3.27)
2
2
где
, согласно формулы (3.9),есть давление газа (газовой смеси, состоящей из n
3EV
2
E
компонент),
i
= pi— парциальное давление i-той компоненты, как если бы она
3
V
одна находилась в рассматриваемом объеме. Следовательно,
p = p1+ p2+ p3+ ···+ pn. (3.28)
Давление газовой смеси ра вно сумме парциальных давлений отдельных её компонент.
Это утверждение представляет собой закон Дальтона.
Задача 3.5. Вывести формулу для средней квадратичной скорости газовых мо-
лекул.
Решение. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы
определяется по формуле
′
2
v
m
εк=
. (3.29)
2
С другой стороны, она равна
3
εк=
kT. (3.30)
2
Следовательно,
′
2
v
=
3
kT,
2
m
2
откуда для одной из наиболее характерных скоростей молекул газа получим:
v2=
r
3kT
, (3.31)
′
m
p
µ
где m′— масса одной молекулы. Принимая во внимание, что m′=
p
v2=
s
3RT
µ
p
, или
v2=
r
3pV
. (3.32)
m
, получим:
N
A
Среднюю квадратичную скорость называют часто тепловой скоростью VT.
Задача 3.6. Работа газа при изобарическом расширении определяется по фор-
муле A = p(V2− V1). Вывести формулу работы при изотермическом расширении.
Решение. Изотермический процесс в pV – диаграмме изображается кривой (ги-
перболой, асимптотически приближающейся к осям координат), называемой изотермой (рисунок 3.4).
76
3.1. Вывод уравнения МКТ
Так как при изотермическом переходе газа
p
из одного состояния в другое меняются p и V ,
то вычислить работу расширения по формуле
A = p(V2− V1) уже нельзя.
p1
1
Выделим на оси абсцисс бесконечно малый
отрезок dV и построим на нём как на основании прямоугольный столбик. При сколь угодно
p2
2
малом изменении объёма давление можно считать постоянным, и тогда элементарная работа
V1
dV
V2
V
dA = p dV, (3.33)
Рис. 3.4. Работа газа при изотермиче-
которая численно равна площади заштрихован-
ском расширении.
ного прямоугольного столбика с основанием dV
и высотой p. Всю фигуру можно разбить на какое угодно множество таких прямоугольных столбиков, суммарная площадь которых равна площади указанной фигуры, с одной стороны, и численно равна работе газа при изотермическом расширении,
с другой, т.е.
V
2
Z
A =
p dV. (3.34)
V
1
(Формула (3.34) выражает площ адь криволинейной трапеции). Подставляя в(3.34)
mRT
p =
, под знаком интеграла будем иметь один переменный параметр V :
µV
V
2
A =
Z
m
V
1
dV
RT
µ
V
m
=
RT (ln V2− ln V1) ,
µ
или
m
A =
µ
A = P1V1ln
Так как, согласно закону Бойля-Мариотта,
представить в виде
A = P1V1ln
RT ln
V
2
, (3.35)
V
1
V
2
. (3.36)
V
1
V
V
P
1
. (3.37)
P
2
P
2
1
1
=
, т о равенство 3.36 можно
P
2
Обратите внимание!
77
3.1. Вывод уравнения МКТ
1. При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории 3 .9 предполагалось, что газ, заключенный в объёме оболочки, – одноатомный, его молекулы – шарики, движение каждого из которых может быть определено тремя
координатами. Число независимых координат, с помощью которых однозначно
можно описать поведение частицы, называется числом степеней свободы. Для
одноатомной молекулы оно равно 3, двухатомной – 5, трёх (и более) атомной –
6. Число степеней свободы обозначается буквой i.
2. На одну степень свободы приходится энергия
1
ε0=
kT. (3.38)
2
3. Энергия, приходящаяся на i степеней свободы:
i
εк=
kT. (3.39)
2
4. Для молекулы CO2, например,
причём,
ное и
εк=
3
kT +
2
2
kT +
2
3
kT приходится на поступательное движение;
2
1
kT – на колебательное. Формула 3.39 выражает полную кинетическую
2
1
kT. (3.40)
2
2
kT – на вращатель-
2
энергию молекулы.
Задача 3.7. В приближении идеального газа вывести формулу для внутренней
энергии.
Решение. Молекулы идеального газа между собой не взаимодействуют (одно из
непременных условий в представлениях об идеальном газе), поэтому его внутренняя
энергия – это суммарная кинетическая энергия всех его N молекул
i
U = N
εк=
kT N (3.41 )
2
i
или U =
RT, (3.42)
2mµ
m
так как N =
NA, а kNA= R – универсальная газовая постоянная. Согласно
µ
m
3.10,
RT равно pV , тогда
µ
i
U =
pV. (3.4 3)
2
78
3.1. Вывод уравнения МКТ
Для одного моля идеального газа внутренняя энергия
i
U0=
ее изменение при нагревании
∆U =
RT, (3.44)
2
i
R∆T. (3.45)
2mµ
Контрольные вопросы
1. В чем сходство между молекулярной физикой и термодинамикой? Чем они
отличаются друг от друга?
2. Где используются выводы термодинамики?
3. Что я вляется содержанием термодинамики как науки?
4. Почему для характеристики состояния газа выбираются давление p, объем V
и температура T ? Как они называются?
5. Какой молекулярной картине соответствует представление об идеальном газе?
6. На каких допущениях основан вывод уравнения молекулярно-кинетической теории?
7. Какое количество вещества называется молем? Сколько молекул содержится в
одном моле в ещ ества?
8. Чему равен молярный объём газа при нормальных условиях?
9. Как найти массу одной молекулы?
10. Как определить число молекул в произвольной массе вещества?
11. Почему на примере жидкости проще всего оценить размер молекулы?
12. В чем заключается смысл универсальной газовой постоянной?
13. Что называется постоянной Больцмана? Какого ее численное значение?
14. Как найти число молекул в единице массы газа? Единице объёма?
15. Как связаны между собой давление, объём и температура?
16. Какая связь существует между уравнением Менделеева-Клапейрона и основным уравнением молекулярно-кинетической теории?
17. Что называется парциальным давлением?
18. Как выражается через абсолютную температуру средняя кинетическая энергия
молекулы одноатомного идеального газа?
19. Какую скорость газовых молекул называют т епловой? Как она вычисляется?
20. В чем заключается геометрический смысл работы газа при изменении его объёма?
21. Почему при изотермическом изменении объёма газа для вычисления работы
нельзя воспользоваться формулой A = p(V2− V1)?
79
3.2. Первое начало термодинамики
22. Какие опытные законы в применении к идеальному газу Вам известны?
23. Какой процесс практически является самым выгодным?
24. В чем заключается молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры?
25. Как вычисляется работа газа при изотермическом расширении? Чему она равна
для изохорического процесса?
26. Что называют числом степеней свободы? Как распределяется энергия по степеням свободы?
27. Как определяется полная кинетическая энергия молекулы, обладающей i степенями свободы?
28. Как распределяется энергия молекулы по степеням своб оды?
29. Чему рав на внутренняя энергия идеального газа? Её изменение?
3.2 Количество теплоты. Теплоемкость. Применение
первого начала термодинамики к изопроцессам
Физики ХVIII и о тчасти первой половины XIX века считали, что теплота – это особое невесомое жидкое вещество, способное переливаться из одного тела в другое. Оно
не может быть создано или уничтожено. Это гипотетическое вещество называлось
теплородом. Теория теплорода несостоятельна. Она не может объяснить простейшие
явления, например, нагревание тел при трении. Разумеется, на м нет необходимости
рассматривать эту теорию; мы упомянули о ней только потому, что понятия, ею порождённые, в силу консерватизма физической терминологии до сих пор не вышли
из употребления. К этим понятиям относятся количество теплоты, теплоемкость. С
точки зрения теории т еплорода, понятие «количество теплоты» само собой разумелось и не нуждалось в определении, а теплоемкость ассоциировалась с механической
ёмкостью – вместимостью. Для того, чтобы лучше понять смысл основных термодинамических величин, отметим, что энергия, теплота (количество теплоты) и работа
измеряются в одних единицах (в СИ – в джоулях), но понятия, которые вкладываются в эти величины, не являются равноценными.
Когда мы говорим о работе, то имеем в виду или сам процесс перемещения точки
приложения силы на каком-либо отрезке пути, или как форму передачи энергии. Что
же касается энергии, то это – работоспособность тела, её можно запасать . Однако
под теплотой запас энергии понимать нельзя (ни в коем случае!); о теплоте может
идти речь, когда имеется в виду процесс передачи энергии.
Запомните: в природе не существует никаких запасов тепла. О количестве т еплоты имеет смысл говорить только тогда, когда есть процесс теплопередачи, подобно
тому, как в механике нельзя говорить о работе, если нет процесса, заключающегося
в перемещении точки приложения силы.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]