Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
1.1. Элементы кинематики
Эту же формулу получите исходя из других соображений. Сделайте это сами.
Обратите внимание! Основные формулы кинематики поступательного и вращательного движения собраны в таблице 1.1.
Контрольные вопросы
1. Что я вляется предметом изучения физики?
2. Что изучает механика?
3. Можно ли использовать классическую механику для о писания движений, происходящих со скоростями, близкими к скорости света?
4. Применима ли классическая механика к явлениям атомного масштаба? В чем
заключается особенность этих явлений?
5. Отменяют ли теория относительности и квантовая механика классическую механику или содержат её в себе как предельный случай?
6. Что понимают под движением в широком смысле слова?
7. Какое движение называют механическим?
8. Какие ещё (кроме механического) существуют формы движения материи?
9. Можно ли любое движение материи свести к механическому?
10. В чем заключается задача кинематики?
11. Сколько существует способов описания движения? Чем они отличаются?
12. При каком движении путь и перемещение сов пада ют ?
13. С какой целью строится график скорости?
14. Как выглядит график скорости для тела, брошенного под углом к горизонту
за все время движения?
15. С какой целью вводится понятие средней скорости? В каком случае для её
определения можно воспользоваться понятием среднего арифметического?
16. Как направлена линейная скорость при криволинейном движении?
17. Как направлен вектор угловой скорости?
18. Какое движение называется равноускоренным?
19. О каком ускорении можно говорить при равномерном движении по окружности?
20. Как выглядит график скорости при равноускоренном движении с начальной
скоростью?
21. Как выглядит график скорости для тела, брошенного вертикально вверх, за
все время движения?
22. Как показать, что пути, пройденные точкой за последовательные равные промежутки времени, относятся как 1,3,5,7. . . ?
23. По какой траектории движется тело, брошенное под углом к горизонту?
11
1.2. Законы динамики материальной точки
24. При каком угле бросания дальность полета тела максимальна?
25. Как выразить через начальную скорость и угол бросания максимальную высоту
подъема?
26. Чему рав ен радиус кривизны в высшей точке траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту?
1.2 Законы динамики материальной точки и
системы материальных точек
Динамика - это раздел механики, где изучаются законы движения с учётом причин,
которые обусловливают характер движения. Механическое движение тел изменяется
в процессе их взаимодействия. Меру взаимодействия тел, в результате которого тела
деформируются или приобретают ускорение, называют силой. В более общем случае
под силой понимают физическую причину, изменяющую состояние движения тела
или его форму.
Сила~F – векторная величина, она определяется численным значением, направлением действия и точкой приложения. Если к материальной точке приложено несколько сил~F1,~F2,~F2. . .~Fn, их действие можно заменить действием одной силы~F, называемой равнодействующей данной системы сил:
n
~
F =~F1+~F2+~F3+ . . . +~Fn=
При отсутствии в нешних воздействий тела сохраняют состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Это свойство материальных тел называется
инерцией. Инерция тел проявляется также в том, что изменение движения т ела под
действием силы происходит не мгновенно, а спустя некоторый промежуток времени.
X
~
Fi. (1.29)
i=1
1.2.1 Законы Ньютона
В основе динамики (всей классической механики) лежат три закона Ньютона, сформулированные Ньютоном для материальной точки и тел, движущихся поступательно
в инерциальных системах отсчета.
Законы Ньютона возникли в результате обобщения б ольшого количества опытных
фактов.
Первый закон Ньютона – это закон инерции. Обычно подчеркивается, что первый
закон Ньютона не может быть проверен непосредственными механическими опытами, так как в реальных условиях не существует тела, на которое не действовали бы
другие тела. Но, тем не менее, этот закон является следствием обобщения данных
12
1.2. Законы динамики материальной точки
опыта. Наблюдаемые в действительности состояния покоя и равномерного и прямолинейного движения о существляются, если равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю, т. е.
~
F =
n
X
~
Fi= 0. (1.30)
i=1
Из первого закона Ньютона следует, что движение частиц с постоянной скоростью
(движение по инерции) есть такое же состояние, как и покой (в инерциальной системе
отсчёта, движущейся вместе с точкой с такой же скоростью и в том же направлении). Покой и равномерное прямолинейное движение есть одно и то же механическое
состояние тела в инерциальной системе отсчёта.
Второй закон Нь ютона. Изменение импульса материальной точки по величине
и направлению совпадает с импульсом силы, на неё действующей:
~p2− ~p1=~F ∆t, (1.31)
где ∆t – время действия силы~F ; ~p1= m1~v1и ~p2= m2~v2– импульсы частицы в начале
и в конце промежутка времени наблюдения ∆t. Если m1= m2= m, тогда:
~v2− ~v
~
F = m
1
= m~a. (1.3 2)
△t
Действие сил на материальную точку не зависит друг от друга. Каждая из сил,
приложенная к частице, сообщает ей ускорение, как если бы других сил не было
(принцип независимости действия сил): ~a1=
F
m
1
, ~a2=
F
m
2
, ~a3=
F
3
, . . . , ~an=
m
F
n
m
Результирующее ускорение частицы ~a, находящееся под действием нескольких сил,
равно геометрической, т.е. векторной сумме ускорений ~a1, ~a2, . . . , ~an, сообщаемой
каждой силой в отдельности.
~
F =
n
X
i=1
~
Fi= m
n
X
~ai= m~a, (1.33)
i=1
т.е. о сновное уравнение динамики материальной точки справедливо как для отдельных сил, так и для их равнодействующей. Векторному равенству (1.33) в декартовой
системе координат соответствуют три скалярных уравнения:
n
X
Fxi= max,
i=1
n
X
Fyi= may,
i=1
n
X
Fzi= maz, (1.34)
i=1
где и Fxi, Fyi, Fzi, ax, ay, az– проекции сил и ускорений на соответствующие оси. Во
всех реальных случаях под силой, сообщающей точке ускорение, следует понимать
равнодействующую, по крайней мере, двух сил, приложенных к точке (телу).
~
Fдв+~Fс= m~a. (1.35)
.
13
1.2. Законы динамики материальной точки
Здесь~Fдв– сила вызывающая движение, а~Fс– сила сопротивления, направленная
всегда в сторону, противоположную скорости движения.
Если равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю, то и ускорение
будет равно нулю и тело либо на ходится в покое, либо движется равномерно и прямолинейно. Это и есть практически более удобная формулировка первого закона
динамики. Таким образом, первый закон является простым следствием второго.
1.2.2 Движение тела с переменной массой
Примером такого движения является движение ракеты, масса которой по мере выгорания топлива уменьшается. В камере двигателя ракеты происходит быстрое сгорание топлива, давление в камере при этом резко повышается и образующие при сгорании топлива газы с большой скоростью выбрасываются через
сопло в хвосте ракеты, где образуется область
сильно пониженного давления. Перепад давлений
на переднюю и заднюю стенки камеры вызывает
появление реактивной силы тяги, направленной в
сторону, противоположную движению отработанных газов (рисунок 1.8). А вообще, реактивным
движением называют такое движение, в котором
используется сила реакции отб ра сываемой струи
жидкости или газа. Реактивным можно было бы
назвать движение судна с гребным винтом и винтомоторного самолета. Однако термин «реактив-
~
C
✠
✒
✛✛✲❄✻
ное движение» в настоящее время применяют чаще всего при описании движения ракет. Уравнение движения ракеты может быть получено из
Рис. 1.8. Движение ракеты (впер-
вые описал Циолковский).
формулы (1.31).
Пусть скорость истечения газов относительно ракеты постоянна и равна ~c, а от-
носительно Земли она равна ~u; ракета движется в противоположном направлении со
скоростью ~v относительно Земли.
Пусть M – масса ракеты вместе с топливом в момент времени t = 0, тогда:
m~g
F
✁☛
❄
µ~C
✒
~
C
✠✁
✁
~
✁
F
~p1= M~v (1.36)
её импульс. За время dt, т.е. к моменту t+dt, масса ракеты сделается равной M −dM ,
а скорость ~v + d~v. Учитывая ещё и импульс отработанных газов dM
~u, будем иметь
газ
для импульса системы (ракета – продукты истечения):
~p2= (M − dM) (~v + d~v) + dM
14
~u. (1.37)
газ
1.2. Законы динамики материальной точки
Изменение импульса системы за время dt будет равно импульсу сил, действующих
на систему за этот промежуток:
~p2− ~p1=~F dt. (1.38)
Подставляя формулы 1.3 6 и 1.37 в выражение 1.38, после несложных преобразований
с учетом того, что dM = dM
и (~u −~v) есть ~c – скорость отработанных газов отно-
газ
сительно ракеты, а произведение dM d~v – величина пренебрежимо малая, получим:
M
d~v
=~F −
dt
dM
~c. (1.39)
dt
(1.39) – уравнение Мещерского И.В. (1859-1935 гг.). Оно представляет собой уравнение движения тела с переменной массой, непрерывно уменьшающейся с течением
времени.
dM
Реактивная сила
~c всегда направлена навстречу скорости ~c. Поэтому когда
dt
в ракете струя газа выбрасывается против движения, реактивная сила тяги является ускоряющей, если по направлению движения, то реактивная сила замедляет
движение.
Применим уравнение (1.39) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая~F = 0, из (1.39) получим:
Md~v = −~cdM. (1.40)
Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора на это направление будет отрицательной и равной −c.1После простейших преобразований получаем:
dM
M
= −
dv
. (1.41)
c
Скорость газовой струи c может меняться во время полета. Однако простейшим
и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве c, очевидно, не зат ра гивает основные черты явления, но сильно облегчает
решение уравнения (1.41). Пусть начальная скорость ракеты равна нулю, M0– начальная масса ракеты вместе с топливом, то гда из (1.41) получаем:
= −
Z
v
dv
. (1.42)
c
0
Z
M
dM
M
M
0
1
dM – убыль массы ракеты также отрицательна. Поэт ому в скалярной форме уравнение 1.40
можно записать так:
M dv = cdM.
15
1.2. Законы динамики материальной точки
Интегрируя (1.42), находим:
ln
M
M
0
= −
v
. (1.43)
c
И окончательно:
M
M
0
= exp
v
. (1.44)
c
Соотношение (1.44) называется формулой Циолковского.
Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для
сообщения ракете определённой скорости. Допустим, например, что ракете сообщили первую космическую скорость, т.е. такую скорость, чтобы она начала дв игаться
вокруг Земли по окружности. Эта скорость приблизительно равна v = 8 км · с−1.
При скорости газовой струи c = 1 км ·с−1отношение массы ракеты до старта к массе
M
0
ракеты после окончания разгона должно быть
= 2980. Практически вся масса
M
M
ракеты приходится на топливо. При c = 2 км · с−1получилось бы
0
= 54, 6; при
M
M
0
c = 4 км · с
−1
= 7, 39 и т.д. Отсюда следует, что относительная полезная масса
M
ракеты очень быстро увеличивается с увеличение скорости газовой струи. В современных ракетах на химическом топливе скорость газовой струи порядка одного или
нескольких километров в секунду. Вероятно, она не превосходит 4 км/с.
Примеры решения задач
Задача 1.4. Два груза с массами по m = 100г каждый подвешены на концах ни-
ти, перекинутой через неподвижный блок (рисунок 1.9). На один из грузов положен
перегрузок m1= 50г. С какой силой будет действовать этот перегрузок на тело, на
котором он лежит, когда вся система придет в движение.
Решение. Пользуясь формулой второго закона Ньютона как уравнением движения, определим ускорение системы грузов. При этом движущая сила равна, очевидно,
весу перегрузка, а движущейся массой является масса всей системы.
(2m + m1)a = m1g. (1.45)
Отсюда
a =
Применяя к описанию движения перегрузка формулу (1.35), будем иметь:
m1a = m1g − N.
Следовательно,
N = m1(g − a) = m1g1 −
m
1
2m + m
g. (1.46)
1
m
1
. (1.47)
m1+ 2m
16
1.2. Законы динамики материальной точки
✤✜
❆❆✁
✁
✣✢
Fòð2
~
F
✻
~
F
✻
н
❵
m1~g
❵
❄
❄
(m + m1)~g
Рис. 1.9. К задаче 1.4 . Рис. 1.10. К задаче 1.5 .
Подставляя данные условия задачи в расчётное соотношение (1.47), получим:
Задача 1.5. Тележку массой M = 20 кг, на которой лежит груз массой m = 10 кг,
тянут с силой, направленной горизонтально (рисунок 1.10).
Коэффициент трения между грузом и тележкой µ = 0, 1. Пренебрегая трением
между тележкой и опорой, найти ускорения тележки и груза, а также силу трения
между грузом и тележкой в двух случаях: 1) F = 19, 8 Н; 2 ) F = 58, 8 Н.
Решение. Рассмотрим силы, действующие на тележку и груз. При этом будем
учитывать лишь силы, действующие горизонтально.
На тележку действуют сила~F и сила со стороны груза~F
на против скорости тележки относительно груза при трении скольжения или против
силы~F при трении покоя, т.е. в любом случае сила~F
действует сила трения со стороны тележки~F
закону Нь ют она, вправо. Отметим, что по модулю |~F
Уравнения движения тележки и груза в скалярной форме имеют следующий вид:
❵
❄
m~g
н
Fòð1
F
N = 0, 39 Н.
. Последняя направле-
тр1
, направлена влево. На груз
тр1
, направленная, согласно третьему
тр2
тр1
| = |~F
| = Fтр.
тр2
Ma1= F − Fтр, (1.48)
ma2= Fтр. (1.49)
Уравнения (1.48)и (1.49) содержат три неизвестных. Чтобы получить еще одно уравнение, выясним характер силы трения между тележкой и грузом. Если тележка выскальзывает из-под груза, то между ними действует сила трения скольжения, подчиняющаяся закону Fтр= µN . Так как в данном случае сила нормального давления
N равна по модулю силе тяжести груза, то
Fтр= µmg. (1.50)
17
1.2. Законы динамики материальной точки
Если же тележка и груз двигаются как одно целое, то между ними действует сила
трения покоя, вообще говоря, отличная от (1.50). Однако в этом случае выполняется
равенство:
a1= a2, (1.51)
т.е. груз и тележка движутся с одинаковым ускорением. Таким образом, в обоих
возможных случаях получим систему из трёх уравнений.
Итак, необходимо выяснить характер сил трения, действующих между телами.
Рассмотрим подробнее оба возможных варианта.
1. Тележка выскальзывает из-под груза. Между ними действует сила трения скольжения, которую найдем по формуле (1.50): Fтр= 0, 1 · 10 · 9, 8 = 9, 8 Н.
2. Тележка и груз движутся как одно целое, удерживаемые трением покоя. Тогда,
обозначив a1= a2= a, запишем систему уравнений(1.48) и (1.49) в виде:
Ma = F − F
, ma = F
пок
пок
.
Решив эту систему, получим:
F
a =
, (1.52)
M + m
m
F
пок
= F
M + m
Формула (1.53) выражает пропорциональную зависимость между F и F
нако значение F
имеет предел, равный силе Fтр, которая уже найдена. Поэтому в
пок
. (1.53)
. Од-
пок
действительности два тела будут двигаться как одно целое лишь при таких значениях силы F , при которых значение F
, определяемое по (1.53), не будет превышать
пок
ее предельного значения. Проделав расчеты, получим:
1. Если F = 1 9, 6 Н, то F
2. Если F = 58, 8 Н, то F
F
равно 9,8 Н. Значит, в этом случае между телами будет действовать трение
пок
= 6, 5 Н.
пок
= 19 Н, что невозможно, ибо предельное значение
пок
скольжения.
Теперь легко ответить на все вопросы задачи:
1. F = 19, 6 Н. Между телами действует сила трения F
= 6, 5 Н. Из формулы
пок
(1.52) находим a = 0, 65 м · с−2.
2. F = 58, 8 Н. Между телами действует сила трения скольжения Fтр= 9, 8 Н. Из
(1.48) и (1.49) находим ускорения тел: a1= 2, 5 м · с−2; a2= 0, 98 м · с−2.
18
1.2. Законы динамики материальной точки
Задача 1.6. Человек поддерживается в воздухе на постоянной высоте с помощью
небольшого реактивного двигателя за спиной. Двигатель выбрасывает струю газов
вертикально вниз со скоростью (относительно человека) c = 1000 м · с−1. Расход
топлива автоматически поддерживается таким, чтобы в любой момент времени, пока
работает двигатель, реактивная сила уравновешивала вес человека с грузом. Сколько
времени человек может продержаться на постоянной высоте, если его масса m1= 70
кг, масса двигателя без топлива m2= 10 кг, начальная масса топлива m0= 20 кг?
Решение. Для решения этой задачи воспользуемся уравнением (1.39 ) , в котором
dv
= 0. Тогда, принимая во внимание (1.41), получим:
dt
Mg = −c
. (1.54)
dt
Переменные в уравнении (1.54) легко разделяются,и его можно представить в виде:
dM
g
dt = −
c
dM
. (1.55)
M
Интегрируя (1.55) слева от 0 до t справа от M0до M, найдем:
g
t = −ln
c
M
M
0
= ln
M
M
0
.
Начальная масса системы M0складывается из массы человека, двигателя и топлива;
конечная M - на массу топлива меньше. Поэтому последнюю формулу преобразуем
к следующему виду:
c
t =
m1+ m2+ m
ln
g
m1+ m
0
. (1.56)
2
Принимая во внимание эти замечания, после подстановки в формулу (1.56) числовых
данных условия задачи получим t = 22 с.
Обратите внимание! Второй закон Ньютона не вскрывает причины происхождения силы и не указывает на способ её измерения в тех случаях, когда она не производит движения. С этой точки зрения второй закон дополняется третьим. Третий
закон динамики определяет характер взаимодействия тел, т.е. вскрывает причину
происхождения силы. Сила - результат взаимодействия, по крайней мере, двух тел,
но для того, чтобы тела действовали друг на друга, они должны находиться в деформированном состоянии (при непосредственном механическом контакте, если не
учитывать силового поля, что также обусловливает взаимодействие тел). Значит,
деформации являются источником и причиной силы. В свою очередь, сила может
производить движение (второй закон Ньютона) или вызывать деформацию (пружинные весы, динамометры и силомеры). В первом случае говорят о динамическом
проявлении силы, а во втором о статическом. По третьему закону Ньютона в любой
механической системе векторная сумма внутренних сил всегда равна нулю.
19
1.2. Законы динамики материальной точки
Контрольные вопросы
1. Что я вляется задачей динамики? Чем она отличается от кинематики?
2. Что такое сила?
3. В чем заключается принцип независимости действия сил?
4. Как формулируется первый закон Ньютона?
5. Что я вляется обязательным признаком силы?
6. Как формулируется второй закон Ньютона?
7. Как выглядит второй закон динамики в применении к свободному падению?
Как выглядит второй закон динамики, когда на материальную то чку действует
несколько сил?
8. В каких единицах измеряется сила? Как называется единица силы в СИ?
9. Какие силы называются внутренними, а какие внешними?
10. Какая система материальных точек называется изолированной?
11. При каком условии материальная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно?
12. В чем заключается причина происхождения силы? Каким образом можно ее
измерить, если она не производит движения?
13. В каком случае сила проявляет себя динамически, а в каком статически?
14. Какую точку зрения при описании механического движения формируют законы Ньютона?
15. В чем заключается связь между законами Н ьютона?
16. Как, используя второй закон Ньютона, объяснить невесомость, перегрузки?
17. Какая сила называется центростремительной? Какова ее роль во вращательном
движении? В чем заключается причина её происхождения?
18. Какая сила является центростремительной при движении спутника вокруг Земли? Могут ли являться центростремительными следующие силы: сила трения,
сила упругости, сила кулоновского взаимодействия между двумя разноимёнными зарядами? В каких случаях?
19. Какое движение называется реактивным?
20. В чем состоит причина происхождения реактивной силы тяги?
21. Как выглядит уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой?
Каким образом оно получается?
22. В каком случае уравнение Мещерского переходит в формулу второго закона
Ньютона?
23. Как направлена реактивная сила тяги? В каком случае она вызывает ускорение,
а в каком замедление движения?
24. Как выглядит уравнение Мещерского в скалярной форме?
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]