Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
3.4. Распределение Максвелла
лежат в интервале от u до u + du, где du должно быть взято малым по сравнению с
u, равно:
4
√
dN =
Nu2exp (−u2)du, (3.97)
π
где N – по лное число молекул рассматриваемого газа.
Наиболее вероятная скорость vв, по расчётам Максвелла, равна:
r
2kT
vв=
m
s
2RT
=
′
. (3.98)
µ
Для большей наглядности (геометрически) закон Максвелла(3.97) можно представить в виде:
1
= f (u) =
NdNdu
4
√
u2exp (−u2), (3.99)
π
1
где f (u) =
называется функцией распределения. Кривая зависимости f(u) от
NdNdu
относительной скорости имеет вид, изображенный на рисунке 3.6, и максимум при
u = 1, что соответствует значению скорости v, равной наиболее вероятной скоро-
dN
сти. Относительное число молекул
, скорости которых лежат в интервале от u до
N
u + du, равно произведению ординаты кривой (функции распределения) на du, т.е.
изобразится площадью заштрихованного столбика (см. рисунок 3.6). Соответственно, площадь под всей кривой f (u) равна относительному числу молекул скорости
которых лежат в интервале от 0 до ∞. Как не трудно догадаться, это число равно 1. Данное свойство функции распределения Максвелла называется нормировкой,
говорят, что функция f(u) нормирована. Математически это записывается так:
Z
∞
f(u) du = 1 (3.100)
0
Подставляя выражение (3.98) в уравнение (3.97), для числа молекул, имеющих
заданный модуль скорости, получим:
′
3
2
exp−
m′v
2kT
2
v2dv. (3.101)
Замечая, что εк=
dN = 4πN
2
m′v
2
и v2=
m
2πkT
2ε
к
, а также учитывая, что dεк= m′v dv из формулы
′
m
(3.101) получим ещё одно соотношение (3.102), выражающее закон распределения
молекул по энергиям:
dN =
√
2
(kT )
π
3
−
2
N exp−
ε
kT
√
к
. (3.102)
ε
кdεк
91
3.4. Распределение Максвелла
f(u)
0.8
0.6
0.4
0.2
u
0
Рис. 3.6. Функция распределения Максвелла.
0.5
1
1.5
2
32.5
Эта формула указывает, какое число частиц dN имеет кинетическую энергию, приходящуюся на интервал энергий от εкдо εк+ dεк.
2
Аналогично, но с помощью соотношений εк=
закон распределения частиц по импульсам.
p
2m
, dεк=
′
2p
dp, можно получить
′
m
Примеры решения задач
Задача 3.12. Какая честь молекул водорода, находящегося при температуре T , об-
ладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не бо ль ше, чем
м
на 5
справедливой при условии ∆u ≪ u. Поскольку в задаче идет речь о наиболее вероятной скорости, надо считать v = vв. Следовательно, u =
примет более простой вид:
Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале ∆u:
том, что выполняется условие ∆u ≪ u. Так как u =
? Задачу решить для двух значений T : 1) 400 К, 2) 900 К.
с
Решение. Распределение молекул по скоростям выражается формулой (3.94),
v
= 1, и уравнение (3.94)
v
в
4
∆N =
√
N ∆u.
πexp(1)
∆N
=
N
√
πexp(1)
4
N ∆u. (3.103)
Прежде чем производить расчёты по фо рмуле (3.103), необходимо убедиться в
v
, то:
v
в
∆v
∆u =
. (3.104)
v
в
92
f(v)
3.4. Распределение Максвелла
T1
T2
0
Рис. 3.7. Зависимость максимума функции распределения Максвела от температуры.
vв1
vв2
v
Чтобы вычислить по уравнению (3.104) интервал скоростей молекул, найдем сначала наиболее вероятную скорость по формуле (3.98) при T1= 400 К и T2= 900 К
соответственно:
Подставляя эти значения в формулу (3.104) и имея в виду, что ∆v = 10
ку в задаче речь идет о скоростях, лежащих в интервале от (vв− 5)
получим:
r
2 · 8, 31 · 400
v
=
в
1
0, 002
= 1, 82 · 10
r
2 · 8, 31 · 900
v
=
в
2
0, 002
= 2, 73 · 10
i
h
м
3
;
с
i
h
м
3
.
с
м
, посколь-
с
м
м
до (vв+ 5)
∆u1=
1
182
, ∆u2=
с
1
.
273
с
Так как u = 1, видим, что условие ∆u ≪ u выполняется для обеих температур.
Теперь по формуле (3.103) найдем ответы:
∆N
N
1
=
4
√
π exp(1)
∆u1= 0, 0046;
,
∆N
N
2
=
4
√
π exp(1)
∆u2= 0, 0030.
Обратите внимание! При увеличении температуры наиболее вероятная скорость
молекул увеличивается, а число молекул, скорости которых лежат в одном и том
же интервале около наиболее вероятной, уменьшается. На графике (рисунок 3.7),
выражающем функции распределения скоростей молекул f (v), с увеличением температуры (T2> T1) максимум кривой сдвигается вправо, а величина максимума
уменьшается.
93
3.4. Распределение Максвелла
Задача 3.13. Какая часть молекул газа имеет скорости, превышающие наиболее
вероятную скорость?
Решение. В условии задачи речь идет о молекулах, скорости которых заключены в интервале от наиболее вероятной скорости vвдо vв+ ∞, т.е. в бесконечно
большом интервале скоростей ∆v. Таким образом, условие применимости закона распределения скоростей (3.94), заключающееся в том, что ∆u ≪ u или ∆v ≪ vв, здесь
не выполняется. Поэтому oт уравнения в форме (3.94) надо перейти к дифференциальной форме этого закона (3.97).
Полное число ∆N молекул, относительные скорости которых лежат в заданном
интервале от u1до u2, найдем, интегрируя правую часть уравнения (3.97) в этих
пределах:
u
2
Z
4
∆N =
√
exp(−u2)u2du. (3.105)
N
π
u
1
Уравнение(3.105) является общей формой записи закона распределения скоростей
молекул, справедливой для любых интервалов скоростей.
v
Учитывая, что от но сительная скорость u =
и что в нашей задаче v1= vви
v
в
v2= ∞, получим: u1= 1 и u2= ∞. Следовательно, искомая часть молекул выразится
интегралом:
∞
Z
=
√
4
exp(−u2)u2du. (3.106)
π
1
∆N
N
Чтобы избежать математических затруднений, связанных с нахождением несобственного интеграла, воспользуемся тем очевидным фактом, что скорости всех молекул лежат в интервале от 0 до ∞. Поэтому, если о бозначить через ∆N′число
молекул, скорости которых меньше наиболее вероятной, т.е. лежат в интервале от 0
до 1, то можно записать:
∆N
+
N
′
∆N
= 1. (3.107)
N
∆N
Таким образом, вместо того, чт обы искать
′
найти
∆N
по формуле:
по уравнению (3.106), можно
N
N
1
∆N
N
′
=
√
Z
4
exp(−u2)u2du, (3.108)
π
0
∆N
а затем по выражению (3.107) вычислить
.
N
94
3.4. Распределение Максвелла
Тая как интеграл в формуле (3.108) все же не берется в конечном виде, воспользуемся методом приближённого интегрирования. Для этого разложим подынтегральную функцию exp(−u2)u2в ряд Маклорена:
4
6
8
u
+
− ··· ;
24
8
+
u
24
10
− ··· .
u
6
exp(−u2) = 1 −
exp(−u2)u2= u2−
2
u
u
+
1
4
u
+
1
u
−
2
6
6
u
−
2
Теперь, производя интегрирование уравнения (3.108), получим:
∆N
N
′
=
√
4
π
1
1
1
−
3
+
5
14
1
−
54
+
1
− ···.
264
Ограничиваясь первыми четырьмя членами разложения, найдем с погрешностью,
не превышающей 0,01:
∆N
′
= 0, 43.
N
Отсюда, на основании формулы (3.107) получим ответ:
∆N
= 1 − 0, 43 = 0, 57.
N
Обратите вни мание! Используя применённый в задаче метод вычисления интеграла:
u
Z
exp(−u2)u2du,
0
∆N
можно найти отно сительную долю молекул
, относительные скорости которых
N
превышают любое заданное значение по формуле:
u
Z
∆N
= 1 −
N
√
4
exp(−u2)u2du. (3.109)
π
0
Контрольные вопросы
1. Сколько существует способов описания состояния системы, в которой находится
большое число частиц?
2. В чем заключается о сновная особенность термодинамического подхода к описанию системы?
3. В чем суть статистического способа описания коллектива?
95
3.5. Средняя длинна свободного пробега молекул
4. Какие закономерности называются статистическими?
5. Как называется физическая статистика, изучающая свойства невырожденного
коллектива?
6. Как выглядит больцмановское распределение частиц во внешнем потенциальном поле?
7. Каково значение распределения Больцмана?
8. При каком условии можно пользоваться формулой (3.94)?
9. Какую скорость называют тепловой?
10. Чем характеризуется термодинамическое равновесие?
11. В чем заключается принцип детального равновесия?
12. В каком виде удобнее всего сформулировать закон Максвелла?
13. Как можно вычислить наиболее вероятную скорость?
14. Какая функция называется функцией распределения?
15. Каков геометрический смысл максвелловского распределения молекул по скоростям?
16. При каком условии кривая распределения молекул по относительным скоростям имеет максимум?
17. Как выглядит формула для числа молекул, имеющих заданный модуль скорости?
18. Как получается соотношение, выражающее максвелловский закон распределения молекул по энергиям?
19. Как получить закон распределения частиц по импульсам?
20. Как ведет себя максимум кривой распределения с увеличением температуры?
21. Как выглядит уравнение распределения для любых интервалов скоростей?
22. Как найти долю молекул, относительные скорости которых превышают любое
заданное значение?
3.5 Среднее число столкновений и средняя длина
свободного пробега молекул
Молекулы, находясь в газе в состоянии непрерывного и хаотического движения, сталкиваются друг с другом; между столкновениями они проходят свободно некоторый
путь¯λ. Длина этого пути между двумя столкновениями различна, но, благодаря
большому числу молекул и беспорядочности их движения, можно говорить о средней длине их свободного пробега. Для ее вычисления будем считать, что все молекулы, кроме одной, неподвижны. Кроме того, предположим, что рассматриваемая
молекула после столкновения с неподвижными молекулами продолжает двигаться
96
3.5. Средняя длинна свободного пробега молекул
v
2r
2r
Рис. 3.8. К вычислению числа столкнове-
ний молекулы.
Рис. 3.9. К вычислению числа столкнове-
ний молекулы.
в том же направлении. Тогда эта молекула при своем движении на своем пути заденет те молекулы, центры которых лежат на расстоянии, не больше 2r от прямой,
вдоль которой она движется (рисунок 3.8). Под r понимается геометрический радиус
молекулы. Следовательно, за единицу времени эта молекула заденет те молекулы,
которые находятся внутри цилиндра с основанием πR2(R = 2r) и длиной образующей, численно ра вной скорости молекулы (рисунок 3.9). Число молекул, которые
попадают внутрь такого цилиндра, равно:
Z = πR2vn, (3.110)
где n – концентрация молекул. Подставляя в (3.1 10) R = 2r и вместо v среднюю
скорость движения молекул ¯v, получим для среднего числа столкновений молекул в
единицу времени:
¯
Z = 4πr2vn. (3.111)
Учёт движения других молекул приводит к появлению в выражении (3.111) в качестве множителя
√
2. Так что правильная формула для¯Z имеет вид:
√
¯
Z = 4
2πr2¯vn. (3.112)
Поскольку путь, пройденный молекулой за одну секунду, численно равен скорости,
то для средней длины своб одного пробега получим:
¯
λ =
Z
¯v
=
¯
1
, (3.113)
4√2πr2n
или, если вместо радиуса молекулы ввести её диаметр σ = 2r, то:
√
1
2πσ
. (3.114)
2
n
¯
λ =
Обратите внимание! Величина σ в формуле (3.114) называется эффективным
диаметром молекулы, πσ2– эффективным сечением.
97
3.6. Явления переноса
3.6 Явления переноса в термодинамически
неравновесных системах. Опытные законы
диффузии, внутреннего трения и
теплопроводности. Молекулярно-кинетическая
теория этих явлений
Хаотическое движение молекул ведет к их перемешиванию. Перенос молекул из одних мест в другие обусловливают явления диффузии, внутреннего трения и теплопроводности.
3.6.1 Диффузия
Явление диффузии газов заключается в том, что два газа взаимно проникают друг
в друга, пока парциальные давления и плотности не станут одинаковыми по всей
смеси. Это значит, что диффузия сводится к обмену масс частиц газа; она возникает
и продолжается, если существует градиент плотности на некотором участке пути,
который проходят молекулы при перемешивании.
Для простоты рассмотрим два взаимопроникающих газа со столь сходными молекулами, что их массы и эффективные сечения можно считать одинаковыми. Такие мо лекулы будут иметь при одинаковых условиях одинаковые длины свободного пробега
и скорости.
Подсчитаем число молекул одного из двух газов,
пролетающих через площадку ∆S (рисунок 3.10) перпендикулярную оси ox, вдоль которой, будем считать,
происходит изменение плотности газа ρ, т.е. имеет
место градиент плотности как необходимое условие
диффузии. Мысленно выделим слева и справа от площадки на расстояниях от нее, равных¯λ, кубики 1 и
2. Тогда можно считать, что молекулы, вылетающие
из любого кубика, будут долетать до площадки ∆S без столкновений (при их движении к площадке, конечно). Боковые грани кубиков можно выбрать параллельными
и равными по величине площадки ∆S; очевидно, ∆S = l2, еcли l – длина ребра
кубика. Обозначим число молекул в кубике 1 через N1(в кубике 2 – N2). Ввиду
полной беспорядочности движения молекул
по направлению к площадке ∆S из кубика 1 будет двигаться
кул. Поскольку площадка от ближней грани кубика находится на расстоянии длины
1
их будет двигаться слева направо, т.е.
6
z
1
l
y
DS
l
2
x
Рис. 3.10. К выводу уравнения
диффузии.
1
N1всех его моле-
6
98
3.6. Явления переноса
свободного пробега, то все эти молекулы долетят до площадки ∆S без сто лкновений, пролетят через нее и попадут в ту область, где находится другой газ. Время
1
δt, необходимое для того, чтобы
N1молекул пролетела через площадку ∆S, равно
6
тому промежутку, за который последние из молекул кубика 1 подлетят к площадке
∆S позже первых. Так что число молекул ∆N1, пролетающих через площадку ∆S в
единицу времени слева направо, равно:
1
∆N1=
N
6
δt
1
1
=
¯v
N
. (3.115)
1
6
l
Обозначим концентрацию газа там, где находится кубик 1 , через n1, тогда N1= n1l
и выражение (3.115) можно переписать в виде:
1
∆N1=
n1¯vl2. (3.116)
6
Точно так же получим для числа молекул ∆N2, пролетающих через площадку
∆S из кубика 2 справа налево в единицу времени:
1
∆N2=
n2¯vl2. (3.117)
6
Из равенств (3.116) и (3.117) можно составить разность между числом молекул, пролетающих площадку ∆S слева направо и в противоположном направлении за произвольный промежуток времени:
1
∆N =
(n1− n2)∆S∆t. (3.118)
6
Если формулу (3.118) умножить на массу одной молекулы m′, получим массу ∆M ,
перенесенную через площадку ∆S за время ∆t слева направо:
1
∆M =
(n1− n2)m′∆S∆t. (3.119)
6
3
Разность n1−n2представляет собой быстроту изменения концентраций в направле-
∆n
нии оси , ее можно представить как
т.е.
, умножив на расстояние между кубиками,
∆x
∆n
n2− n1=
· 2¯λ. (3.120)
∆x
Подставив значение n2− n1в выражение (3.119), получим:
¯v¯λm
∆n
′
∆S ∆t. (3.121)
∆x
99
∆M = −
1
3
3.6. Явления переноса
Но m
∆n
′
∆x
∆(m′n)
=
∆x
=
∆ρ
(плотность равна произведению концентрации на массу
∆x
одной молекулы), тогда:
1
∆M = −
∆ρ
¯v¯λ
3
∆S∆t. (3.122)
∆x
Экспериментальный закон диффузии выражается фо рмулой:
∆ρ
∆M = −D
∆S∆t, (3.123)
∆x
∆ρ
где ∆M – масса газа,
– градиент плотности, ∆S – площадь соприкасающихся
∆x
слоев, ∆t – время наблюдения, D – коэффициент диффузии.
Формулы (3.122) и (3.123) совпадают между собой, причём:
1
D =
¯v¯λ. (3.124)
3
Таким образом, коэффициент диффузии D оказался выраженным через молекулярнокинетические характеристики.
3.6.2 Вязкое трение
Для силы внутреннего трения на опыте установлено:
∆u
F = η
∆S, (3.125)
∆x
∆u
где η – коэффициент внутреннего трения (вязкость),
– градиент скорости, ∆S
∆x
– площадка, к которой приложена сила F . Молекулярно-кинетическая теория даёт возможности объяснить и это явление, заключающееся в том, что при движении
двух слоев газа относительно друг друга молекулы переходят из одного слоя в другой и переносят туда свое количество движения. Следовательно, внутреннее трение
сводится к изменению импульса и условием его возникновения и существования является разность скоростей ∆u движущихся слоев. Пользуясь аналогичными, как и
при рассмотрении диффузии, соображениями, можно получить формулу (3.125) и
выразить коэффициент внутреннего трения через молекулярные величины.
Для того чтобы в этом убедиться, выделим в газе мысленно площа дку ∆S (рисунок 3.11) , параллельную слоям, текущим с различными скоростями u1и u2. Пусть
слой 1 лежит под площадкой ∆S на расстоянии средней длины свободного пробега
молекул
λ. Тогда молекулы, летящие из слоя 1 по направлению к площадке ∆S, до-
стигнут ее без столкновений. Число этих молекул ∆N1, пролетающих площадку ∆S
за время ∆t из слоя 1, б удет:
1
∆N1=
n
v∆S∆t, (3.126)
6
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]