Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
1.5. Кинетическая энергия механической системы
одинаково. Другими словами, если объекты не взаимодействуют с окружающими их
телами, то для них любой момент времени может быть принят за начальный. Мы
считаем, что изученные сегодня закономерности в поведении атомов были теми же
самыми многие миллионы лет назад. Отсутствие однородности времени вело бы к
тому, что люди не могли бы прогрессировать в познании. Открытый вчера закон
плавания тел сегодня был бы уже несправедлив, и нужно было бы вновь вести исследование; завтра он, в свою очередь, будет снова несправедлив.
При выводе закона сохранения энергия мы получили соотношение (1.86), в котором dA – элементарная работа внешних сил. Переходя к связи между A, T и П в их
конечных значениях, можно записать:
2
Z
A12=
d(T + П). (1.92)
1
Преобразуем равенство (1.92) к более удобному для анализа виду:
Z
1
2
dT +
2
Z
dП = T2− T1+ П2− П1= (T2+ П2) −(T1+ П1) = A12. (1.93)
1
Предположим, что работа сил характеризуется потенциальной функцией u(x, y, z, t),
которая зависит не только от координат, но и от времени t. Тогда можно записать:
2
Z
∂u
A12=
dt, (1.94)
∂t
1
а с учетом (1.93) —
2
Z
∂u
(T2+ П2) −(T1+ П1) =
dt. (1.95)
∂t
1
Допустим, что наши рассуждения применяются для замкнутой системы, тогда,
ввиду однородности времени, потенциальная функция не может быть функцией вре-
∂u
мени, т.е.
= 0. В результате получим:
∂t
T2+ П2= T1+ П1. (1.96)
Соотношение (1.96) является выражением закона сохранения энергии в механике,
что и требовалось доказать.
31
1.5. Кинетическая энергия механической системы
Задача 1.10. Во сколько раз нужно увеличить мощность вентилятора, чтобы
струя перегоняемого им воздуха двигалась вдвое б ыстрее?
Решение. Пользуясь формулой (1.68), запишем:
N1=
1
2
ρSv
3
и N2=
1
1
2
ρSv
3
,
2
но по условию v2= 2v1, следовательно,
N2=
1
2
8ρSv
3
= 8N1.
1
Таким образом, мощность вентилятора должна увеличиться в 8 раз.
Задача 1.11. Пользуясь законами сохранения, рассмотреть удар абсолютно
упругих и неупругих тел.
Решение. Пусть два шара движутся так, как пока-
зано на рисунке 1.14. Через некоторое время первый шар
m
✓✏
✒✑
❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅
1
~v
1
✲
m
2
✓✏
~v
2
✲
✒✑
догонит второй, и между ними произойдет удар (внутреннее взаимодействие). Если трение между поверхностью и шарами ничтожно мало, то неизолированная система из двух шаров при движении в горизонтальном
Рис. 1.14. К задаче 1.11 .
направлении может считаться изолированной (силы тя-
жести, перпендикулярные к движению, величин скоростей изменить не могут). В качестве неизвестных будем рассматривать скорости шаров ~u1и ~u2после удара, которые, подчеркнём ещё раз, изменятся только в результате
внутреннего взаимодействия (удара), а не под влиянием внешних сил (трения, тяготения).
1. При абсолютно упругом ударе импульс системы и кинетические энергии шаров
сохраняются. Следовательно,
m1~v1+ m2~v2= m1~u1+ m2~u2, (1.97)
m1v
2
m2v
2
2
=
2
1
+
2
m1u
2
2
1
+
2
m2u
2
. (1.98)
2
Так как ша ры движутся по одной прямой и в одну сторону, то равенство (1.97)
можно записать в скалярном виде:
m1v1+ m2v2= m1u1+ m2u2, (1.99)
Для определения скоростей шаров после удара уравнения ( 1.98) и (1.99) представим в более удобном виде:
2
m1(v
1
2
− u
) = m2(u
1
2
2
− v
), (1.100)
2
2
m1(v1− u1) = m2(u2− v2). (1.101)
32
1.5. Кинетическая энергия механической системы
Разделив (1.100) на (1.101), получим:
v1+ u1= v2+ u2.
Подставляя u2в выражение (1.101), после несложных преобразований найдем:
2m2v2+ v1(m1− m2)
u1=
m1+ m
2
, (1.102)
2m1v1+ v2(m2− m1)
u2=
m1+ m
2
. (1.103)
Обратите внимание!
(a) Если m1= m2, то u1= v2и u2= v1, т.е. шары обменялись скоростями.
(b) Если при m1= m2, v2= 0 (второй шар покоится), то первый шар останав-
ливается u1= 0, а второй шар будет двигаться со скоростью первого шара
до столкновения u2= v1.
(c) Если v2= 0, m2→ ∞ ( неподвижная стенка), то u2= 0, а u1= −v1. Шар
отскакивает от стенки без потери скорости. Легко показать ( сделайте это
самостоятельно), что импульс, переданный шаром стенке, равен 2m1v1.
2. После неупругого удара шары будут двигаться как одно тело с общей скоростью
(u = u1= u2). Тогда по закону сохранения импульса будем иметь:
m1v1+ m2v
u =
m1+ m
2
. (1.104)
2
В качестве следствий из (1.104) отметим следующее:
(a) Скорости шаров m1и m2изменились на u − v1и u −v2.
(b) Если шары имеют одинаковые массы m1= m2и движутся навстречу друг
другу с равными скоростями v1= −v2, т о после удара о ни остановятся
(u = 0). Кинетическая энергия шаров будет израсходована на работу деформации, а та сама собой переходит в теплоту.
(c) Если удар направлен в неподвижное тело (v2= 0) с громадной массой
(стена,m2→ ∞), то u = v2= 0.
Контрольные вопросы
1. Следствием каких законов является закон сохранения импульса?
2. Для каких систем справедлив закон сохранения импульса?
33
1.5. Кинетическая энергия механической системы
3. При каких условиях неизолированная система по своим свойствам аналогична
изолированной?
4. Какие силы называются внутренними, а какие внешними?
5. Могут ли внутренние силы изменить импульс системы?
6. Как формулируется закон изменения импульса для незамкнутых систем?
7. Как понимать однородность пространства и времени?
8. Каким образом закон сохранения импульса связан с однородностью пространства?
9. Почему при абсолютно упругом ударе сохраняются импульс и кинетические
энергии?
10. Как определяются скорости шаров после абсолютно упругого удара?
11. Чему равен импульс, переданный шаром неподвижной стенке при абсолютно
упругом ударе?
12. В чем состоит характерная особенность абсолютно неупругого удара?
13. В каком случае после неупругого удара механическое движение исчезает? В какое движение оно переходит? Можно ли описать процесс преобразования одной
формы движения в другую, пользуясь законом сохранения импульса?
14. Где на практике применяется абсолютно неупругий удар?
15. В каком случае при неупругом ударе кинетическая энергия сохраняется?
16. С какой целью вводится понятие работы в механике? Что такое работа?
17. Как вычисляется работа постоянной и переменной силы?
18. В чем заключается наглядный геометрический смысл работы как величины?
19. Совершает ли работу сила, перпендикулярная к перемещению?
20. Что такое работа по определению Ф.Энгельса?
21. Как называется единица СИ работы? Из каких соображений она устанавливается?
22. С какой целью вводится понятие мощности? Как называется единица ее измерения в СИ?
23. Какие ещё используются на практике единицы измерения работы и мощности
(кроме СИ)?
24. В чем заключается философский смысл движения материи?
25. Что такое энергия? Какую энергию тела называют кинетической, а какую потенциальной?
26. Какую точку зрения при описании механического движения составляют понятия «работа», «мощ но сть », «энергия»?
27. Чем определяется изменение энергии при переходе системы из одного положения в другое?
34
1.6. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела
❏❏❪
~a
✛ ✛❏
❇
❇
~v
❇❇◆
❵
~r
~a
n
❇❇▼
~a
❇
❏
t
❇
O
❵
~r
i
✲
m
✻
~
F
i
i
Рис. 1.15. Связь углового и тангенциально-
го ускорения.
Рис. 1.16. К определению момента силы.
28. Как определяется потенциальная энергия тела, поднятого на высоту над поверхностью Земли? Как определяется потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины?
29. Как фо рмулируется закон сохранения энергии в механике?
30. Как показать, что закон сохранения энергии является следствием однородности
времени?
31. Что было бы с законами физики, если бы однородность пространства и времени
отсутствовали?
32. За счёт чего происходит рассеяние энергии в незамкнутой системе?
1.6 Уравнение динамики вращательного движения
твёрдого тела относительно неподвижной оси
При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси траектории всех частиц являются окружностями, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью
вращения. Все частицы, тела совершают плоское движение, причём скорости и ускорения различных частиц, вообщ е говоря, различны: чем дальше частица от оси вращения, тем больше линейная скорость. А угловая скорость вращения одинакова для
всех частей тела: она полностью определяет движение всего твёрдого тела при его
вращении около неподвижной оси.
Если угловая скорость изменяется во времени (растет или убывает), то так же, как
и при изменении линейной скорости точки, это изменение характеризуют угловым
ускорением или скоростью изменения угловой скорости, т.е. производной
как в данный момент угловая скорость одинакова для всех частиц твёрдого тела,
d~ω
то, очевидно, одинаково и угловое ускорение ~ε =
. Линейное ускорение каждой
dt
частицы тела различно и лежит в плоскости траектории частицы. Определим связь
между угловым и линейным ускорением тела, движущегося вокруг неподвижной
оси (рисунок 1.15). Для этого продифференцируем формулу (1.15) на странице 8 по
d~ω
. Так
dt
35
1.6. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела
времени. Получаем:
d~r
. (1.105)
dt
~a =
d~v
dt
=
d
[~ω, ~r] =
dt
d~ω
, ~r+~ω,
dt
Первое векторное произведение можно представить в виде [~ε,~r]. Тогда, согласно опре-
делению на странице 15, оно направлено по касательной и является тангенциальным
ускорением:
~aτ= [~ε, ~r]. (1.106)
Второе векторное произведение перепишем в виде [~ω, ~v], но, согласно (1.13), это нор-
мальное ускорение:
~an= [~ω, ~v]. (1.107)
Для изложения дальнейшего материала необходимо вспомнить определение момента сил. Моментом силы относительно какой-либо оси называется произведение
величины силы на плечо F l. Плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения
до линии действия силы. Следовательно, по величине момент силы равен удвоенной площади треугольника OAB, т.е. площади параллелограмма, построенного на
векторах ~r и~F (рисунок 1.17), ~r – радиус-вектор, проведённый из точки O к точке
приложения силы. Направление вектора M определяется правилом правого буравчика (см. рисунок 1.18), т.е.
~
M = [~r,~F ]. (1.108)
Векторное произведение векторов и можно представить в виде определителя третьего
порядка:
~
M =
~i~
j~k
x y z
FxFyF
. (1.109)
z
Теперь установим связь между угловым ускорением и моментом сил, которые
действуют на тело, вращающееся вокруг оси. Такая связь должна существовать потому, что равновесие (покой или равномерное вращение) определяется равенством
нулю моментов сил (см. задачу 1.12). Но как только момент сил относительно оси
покоящегося тела не будет равен нулю, нарушится равновесие и появится угловое
ускорение.
Для отыскания связи между угловым ускорением тела и моментом сил, действующих на него, рассмотрим сначала движение одной какой-либо выделенной частицы тела. Пусть частица, имеющая массу, находится на расстоянии ~ri, от оси (рисунок 1.16).
Допустим, что на частицу действуют внешние и внутренние силы: внешние приложены со стороны других тел, а внутренние – со стороны других частиц самого тела.
36
1.6. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела
✟
❍
✟
❍
C
✟
✟
O B
❍
❍
~
❍
❍
❆
F
❍
❍
❆
l
✟
❆
✟
❆
❍
❍❥✟
✟
❍
A
✟
❍
✟
❍
❍
✟✯
✟
~
F
αα
✓
✓
✓
✓
◗
~
F
❇▼
❇
❇
◗s
~r
✓
✓
✓
✓
✻
~n
Рис. 1.17. Определение модуля момента
сил.
Рис. 1.18. Определение направления мо-
мента силы.
Спроектируем эти силы на перпендикулярную к ~riлинию AB, лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси. Пусть величина этой проекции~F
вращательная составляющая внутренних сил, а~F
– вращательная составляющая
внеш
внут
+~F
внеш
, где~F
внут
внешних сил. Силы, вращающие ча стицу относительно оси против часово й стрелки,
будем считать положительными. Тогда в торое уравнение динамики для i-той частицы тела можно записать так:
m
d~v
i
= mir
i
dt
i
d~ω
dt
=~F
i
внут
+~F
. (1.110)
i
внеш
Найдем момент силы, действующей на частицу, относительно оси; для этого умножим (1.110) векторно на радиус-вектор ~riи получим:
m
~ri,
i
d~v
dt
i
= [~ri,~F
i
внут
] + [~ri,~F
]. (1.111)
i
внеш
Но, с учётом (1.105, 1.106, 1.107), левая часть формулы (1.111) преобразуется в в ыражение mi[~ri, [~ε , ~ri]] + mi[~ri,~an]. Причём, последнее слагаемое равно нулю, так как
~rik~an, а первое слагаемое равно mir
2
~ε, так как ~ε ⊥ ~ri. Для всех других частиц урав-
i
нения движения будут иметь такой же вид; напишем их и сложим друг с другом, в
результате получим:
] +
n
X
i=1
[~ri,~F
]. (1.112)
i
внеш
n
X
[~ri,~F
i
i=1
внеш
] =~M
n
X
~ε
mir
i=1
Прежде всего отметим, что
n
X
2
=
[~ri,~F
i
i
i=1
n
X
[~ri,~F
i=1
внут
], т.е. мо мент внутренних сил равен ну-
i
внут
лю. В самом деле, каждая внутренняя сила имеет равную и противоположную себе
силу, приложенную к другой частице, с тем же плечом. Сумма
представляет собой вращающий момент всех внешних сил, действующих на тело.
Величина
I =
n
X
i=1
mir
2
i
(1.113)
–
37
1.6. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела
носит особое название – это момент инерции тела относительно оси вращения. Теперь
запишем уравнение (1.112) так:
I~ε =~M. (1.114)
Это и есть основной закон динамики для вращательного движения.
Примеры решения задач
Задача 1.12. Вывести условие равновесия т вёрдого тела с закреплённой осью вращения.
Решение. Прежде всего отметим, что твёрдым телом в механике называют такое
тело, которое не деформируется даже при действии на него внешних сил. Из определения твёрдого тела вытекают следующие аксиомы относительно приложенных к
нему сил:
1. Две равные и действующие по одной прямой противоположные силы взаимно
уравновешиваются, т.е. их равнодействующая равна 0.
2. Движение твёрдого тела не изменится, если к силам, на него действующим,
прибавить или отнять две равные, но противоположные по направлению силы,
приложенные в одной точке.
3. Силу, действующую на твёрдое тело, можно перенести в любую точку тела по
направлению ее действия. Справедливость этого утверждения вытекает из двух
предыдущих. Покажите это.
Пусть на твёрдое тело, имеющее закрепленную ось вращения, в точках A и B
действуют силы (рисунок 1.19).
Для нахождения условия равновесия тела относительно неподвижной оси отложим силы от точки пересечения линий их действия (~F1и~F2лежат в плоскости
чертежа, а ось вращения перпендикулярна к нему. На рисунке 1.19 в точке O показан след этой оси) и по правилу параллелограмма определим равнодействующую
~
F . Если ось вращения пересекает равнодействующую (или линию её действия), то
твёрдое тело, имеющее эту ось, будет находиться в ра вновесии.
Для решения целого ряда практически важных задач (например, задач, связанных с определением положения центра масс) выведем условие равновесия твёрдого
тела, имеющего неподвижную ось вращения, математически более строго. Для этой
цели из точки O на линии действия сил опустим перпендикуляры l1и l2, которые
являются плечами сил~F1и~F2соответственно.
Из треугольников (они прямоугольные) MP O и MQO имеем
MO =
l
1
sin α
, M O =
l
2
sin β
,
38
1.6. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела
K
M
N
Q
B
A
P
O
F
F
l
l
1
2
1
2
L
β
α
F
l
2
x
✛ ✲✲✛
✛ ✲
✛ ✲
dx
Рис. 1.20. К задаче 1.13 . Рис. 1.21. К задаче 1.13 .
l
x
dx
так как M O – их общая гипотенуза. Отсюда получаем:
l
sin α
1
=
l
2
. (1.115)
sin β
Из треугольника теореме синусов имеем:
F
F
sin α
1
=
2
. (1.116)
sin β
Соединяя (1.115) и 1.116) вместе, находим:
F1l1= F2l2. (1.117)
Искомая зависимость найдена: для равновесия необходимо такое соотношение между вращающими силами, при котором произведения сил на их расстояния до неподвижной точки O были бы равны между собой. Если это условие соблюдено, то
силы будут эквивалентны в смысле вращательного действия, хотя они не равны
по величине. Каково вращающее действие
силы~F1, таково вращающее действие силы~F2. Из рассмотренного следует, что твёрдое тело, имеющее закрепленную ось вра-
Рис. 1.19. К задаче 1.12 .
щения, будет находиться в равновесии, если алгебраическая сумма моментов сил,
на него действующих, равна нулю.
Задача 1.13. Вывести ф ормулы для моментов инерции стержня относительно
оси, проходящей через его середину и через один из его концов (стержень по всей
длине однороден).
Решение. О бозначим через x расстояние от середины стержня до какой-либо его
части длиной dx (рисунок 1.2 0). Масса этой части, которую можно рассматривать как
39
1.6. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела
материальную точку, dm =
всего стержня:
l
2
Z
l
−
2
x2dm =
I =
m
dx, а мо мент инерции dI =
l
l
2
Z
m
d
l
l
−
2
3
x
=
3
mx
3l
3
|
x=
x=−
m
x2dx. Момент инерции
l
l
2
1
ml2. (1.118)
=
l
12
2
Для момента инерции стержня относительно оси, проходящей через один из его
концов (рисунок 1.7), будем иметь:
I =
l
Z
m
d
l
0
3
x
3
1
=
ml2. (1.119)
3
Задача 1.14. Вывести формулы для моментов инерции сплошного однородного
цилиндра и полого цилиндра относительно геометрической оси.
l
Решение. Для о пределения момента инер-
ции однородного цилиндра мысленно разобьем его на т онкие цилиндрические слои, ча-
dR
O'
стицы которых находятся на одинаковых расстояниях от оси ( рисунок 1.22). Обозначим
толщину слоя через dR. Тогда масса частиц,
O
R
заключенных в этом слое, равна:
dm = 2πRlρ dR, (1.120)
где l – длина образующей цилиндра, ρ – плот-
Рис. 1.22. К задаче 1.14 .
ность вещества. Все частицы слоя будут на-
ходиться на расстоянии R от оси, следовательно, момент инерции этого слоя:
dI = R2dm = 2πρl R3dR. (1.121)
Момент инерции всего цилиндра:
I =
R
Z
R2dm = 2πρl
R
Z
R3dR = 2πρl
4
R
. (1.122)
4
Но, как известно, ρ =
m
V
=
0
m
, следовательно,
πR2l
0
1
mR2. (1 .1 23)
I =
2
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]