Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
2.6. Зависимость массы от скорости
классическую физику, а содержит ее в себе как частный случай движения с малыми
скоростями.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается смысл механического принципа от носительности Галилея?
2. Как выглядят преобразования координат Галилея? Для какой цели они используются?
3. Что такое теория относительности? Какие постулаты лежат в ее основе?
4. Какие представления о времени лежат в основе классической механики, а какие
– в основе теории относительности? В чем они расходятся и при каких условиях
совпадают?
5. Как выглядит закон сложения скоростей в классической механике?
6. Чем отличаются преобразова ния координат Лоренца от преобразований Галилея? Что из себя представляет релятивистский множитель?
7. Как выводятся преобразования Лоренца? Для какой цели их используют?
8. В каком случае ньютоновское представление об абсолютности времени является
приемлемым?
9. В каком случае преобразования координат Лоренца совпадают с преобразованиями Галилея?
10. С какой скоростью должно двигаться тело, чтобы его продольные размеры
сократились вдвое?
11. Что называют собственной длиной тела?
12. Как описывается опыт с открыванием дверей вагона поезда Эйнштейна?
13. Как выглядит формула релятивистского замедления времени?
14. Можно ли создать «машину времени», позволяющую осуществить путешествие
в будущее и в прошло е?
15. Как выглядит закон сложения скоростей в теории относительности? В каком
случае он совпадает с классическим?
2.6 Зависимость массы от скорости.
Взаимосвязь массы и энергии
Масса m движущегося тела зависит от скорости v его движения и минимальна в системе отсчёта, в которой тело покоится (масса покоя m0). Эта зависимость, имеющая
вид:
m =
p
m
0
1 −β
, (2.15)
2
61
2.6. Зависимость массы от скорости
впервые была получена Круксом для электронов в опытах с катодными лучами. Теория относительности показывает, что зависимость массы от скорости универсальна и
не является привилегией только электронов. Физическую природу увеличения массы со скоростью можно понять, если рассмотреть случай малых скоростей (v ≪ c).
Тогда равенство (2.15) преобразуется в соотношение (2.16):
m = m0+
. (2.16)
2
c
Формула (2.16) имеет простой физический смысл: добавка к массе обусловлена кинетической энергией частицы и равна ей, делённой на квадрат скорости света. Тот
же физический смысл имеет добавка к массе и при больших скоростях, когда преобразование формулы (2.15) к виду (2.16) невозможно. Кинетическая энергия в этом
случае выражается иначе. Для системы в заимодействующих частиц свой вклад в
массу всей системы вносит и потенциальная энергия.
Обозначим сумму кинетической и потенциальной энергии системы частиц через
E. Тогда для массы всей системы будем иметь:
T
n
M =
X
m0i+
i=1
E
, (2.17)
2
c
где m0i– масса покоя i-той частицы, c – скорость света.
Для изолированной системы масса постоянна:
n
X
M =
m0i+
i=1
Соотношение (2.18) является выражением закона сохранения массы в теории от -
носительности. Его отличие от классического закона сохранения массы
E
= const. (2.18)
2
c
P
m0i=
E
const (для дискретной системы) состоит в наличии слагаемого
. Энергии систем,
2
c
с которыми приходится иметь дело в классической механике, слишком малы, чтобы
можно было заметить обусловленное энергией изменение массы. В то же время электрон, ускоренный полем в 380 MB, обладает за счёт кинетической энергии массой, в
588,5 раза превышающей массу покоя.
Если уравнение (2.18) умножить на c2, то получится выражение релятивистского
закона сохранения энергии для изолированной системы:
n
X
W = Mc2=
m0ic2+ E = const, (2.19)
i=1
где W – полная энергия системы, m0ic2– энергия покоя частицы массой m0i, E –
сумма кинетической и потенциальной энергии системы.
62
2.6. Зависимость массы от скорости
Из (2.19) следует взаимосвязь между массой и энергией:
∆W = ∆Mc2. (2.20)
Всякое изменение энергии системы ∆W сопровождается изменением ее массы, и
наоборот: всякое изменение массы сопровождается изменением энергии. Соотношение (2.20) применимо и к одной свободной частице
W = mc2, (2.21)
где W – полная энергия частицы.
Принимая во внимание выражение (2.16), формулу (2.21) можно представить в
виде
mc2= m0c2+ T, (2.22)
а отсюда получить соотнош ение для кинетической анергии частицы в теории относительности:
T = mc2− m0c2или T = m0c
p
1
1 −β
− 1!. (2.23)
2
2
Примеры решения задач
Задача 2.4. Напишите выражения для релятивистского импульса и основного закона релятивистской динамики материальной точки.
Решение. Зависимость массы от скорости в теории относительности является
универсальной, а поэтому импульс в теории относительности выражается так:
m0~v
p
~p =
1 −β
Следовательно, основной закон динамики материальной точки в теории относительности примет вид:
~
F =
d
p
dt
Обратите внимание! Уравнение (2.25) инвариантно относительно преобразований координат Лоренца.
Задача 2.5. Частица движется со скоростью v = 0, 5c. Во сколько раз реляти-
вистская масса частицы больше массы покоя?
Решение. Из формулы(2.15) имеем:
m
m
=
0
p
1
1 −β
2
. (2.24)
2
!
m0~v
. (2.25)
2
1 −β
1
r
=
1 −
. (2.26)
2
v
2
c
63
2.6. Зависимость массы от скорости
m
Отсюда
= 1, 15, т.е. релятивистская масса m лишь в 1,15 раза больше массы
m
0
покоя. При v ≪ c эти массы совпадают, что вполне соот ветствует представлению
классической механики о неизменности массы при движении тела.
Задача 2.6. Космический протон может обладать кинетической энергией 10 ГэВ.
Определите массу и импульс такого протона. Сравните эту массу с массой покоящегося протона. С какой скоростью движется протон?
Решение. В теории относительности кинетическая энергия частицы определяется по формуле:
T = mc2− m0c2. (2.27)
Для массы движущегося протона получим m = 1, 95 · 10
−26
кг.
При подстановке числовых данных в формулу для нахождения массы протона
следует иметь в виду, что 1ГэВ = 109эВ, а 1эВ = 1, 6 · 1 0
−19
Дж.
Для определения импульса протона воспользуемся формулой (см. задачу ниже):
p
1
p =
T (T + 2E0). (2.28)
c
Отсюда импульс протона равен p = 5, 8 · 10
m0= 1, 672 ·10
−27
кг. Следовательно,
m
m
−27
кг м c−1. Масса покоя протона равна
= 11, 66 т.е. релятивистская масса космиче-
0
ского протона в 11,66 раз превышает его массу покоя.
Для оценки скорости протона применим формулу ( 2.15), записанную в виде:
m
m
=
0
p
1
1 −β
. (2.29)
2
Подставляя сюда для отношения масс найденный результат, по лучим:
2
v
1 −
= 7, 35 · 10−3, v = 0, 99c.
2
c
Задача 2.7. Выразить релятивистский импульс частицы через её кинетическую
энергию.
Решение. Релятивистский импульс выражается соотношением(2.24), а полная
энергия в теории относительности может быть представлена в виде:
2
m0c
W =
p
1 −β
. (2.30)
2
Возводя равенство(2.30) в квадрат и используя очевидные преобразования, получим
искомый результат. В самом деле:
2
W2=
m
0
1 −β
4
c
, W2− (W β)2= m
2
2
c4, но W β =
0
p
m0c
1 −β
2
v
= p c.
2
c
64
2.6. Зависимость массы от скорости
Следовательно,
W2− p2c2= m
2
0
c4.
Учитывая, что W = m0c2+ T, получаем:
m
И окончательно:
2
c4+ 2m0c2T + T2− p2c2= m
0
p
1
p =
2
c4, p2c2= T2+ 2Tm0c2.
0
T (T + 2E0).
c
Задача 2.8. Показать, что релятивистское выражение кинетической энергии
(2.23) при v ≪ c переходит в соответствующее выражение классической механики.
v
Решение. При
2
v
по
. Следовательно, принимая во внимание данные условия задачи, получаем:
2
c
≪ 1 выражение1 −
c
T = m0c
2
1 +
v
2c
2
2
− 1=
v
c
2
2
m0c2v
1
−
2
в (2.23) можно разложить в ряд
2c
2
=
2
m0v
2
2
.
При увеличении кинетической энергии частицы в 4 раза ее импульс увеличится
в 2,8 раза.
А если бы случай был нерелятивистским, во сколько раз увеличился бы импульс
частицы при таком же увеличении её кинетической энергии?
Контрольные вопросы
1. Какой вид имеет зависимость массы частицы от скорости ее движения?
2. Чем обусловлено увеличение массы с возрастанием скорости движения частицы?
3. Каковы философские последствия неверного толкования формулы 2.15? Почему из неё нельзя сделать вывод об «исчезновении материи»?
4. В чем заключаются естественно-научные предпосылки кризиса в физике на
рубеже XIX и XX веков?
5. Какова роль книги В.И.Ленина «Материализм и эмпириокритицизм» в преодолении кризиса в физике?
6. Чем является, по выражению В.И.Ленина, теория относительности?
7. Какой смысл имеет добавка к массе для системы взаимодействующих между
собой частиц?
8. Как формулируется закон сохранения массы для изолированной системы в теории относительности?
65
2.7. Принцип эквивалентности
9. Как формулируется закон сохранения энергии для изолированной системы в
теории относительности?
10. Как выглядит взаимосвязь между массой и энергией?
11. Каково материалистическое толкование формулы ∆W = ∆M c2?
12. Что называется энергией покоя частицы? Как вычисляется её полная энергия?
13. Как выражается кинетическая энергия частицы в теории относительности?
14. В каком случае формула (2.23) переходит в классическое выражение для кинетической энергии частицы?
15. Как выражается релятивистский импульс частицы?
относительно преобразований координат Лоренца?
17. Как выражается релятивистский импульс частицы через её кинетическую энергию?
2.7 Принцип эквивалентности.
Явления, подтверждающие общую теорию
относительности
Релятивистское изменение длин, промежутков времени и закон сложения скоростей
относятся к специальной теории относительности или к теории пространства, времени и механике равномерных быстрых движений. Общая теория относительности,
созданная Эйнштейном в 1915 г., основана на принципе эквивалентности инерции и
тяготения тел.
Представим себе наблюдателя в закрытой кабине в отдалённой части Вселенной,
где отсутствуют силы тяготения (все массы находятся бесконечно далеко) и реализуется состояние полной невесомости. Если теперь при помощи внешней силы начать
увлекать эту кабину с постоянным ускорением, равным 9, 8 м · c−2, в каком-нибудь
определённом направлении, то свободно движущиеся т ела любой массы будут, очевидно, обладать относительно кабины постоянным ускорением, равным и противоположным ускорению самой кабины. Но точно так же движутся тела, например, в поле
тяготения Земли. Наблюдатель может считать, что он на Земле испытывает обычную силу тяготения. Ему никогда не придет мысль, что на самом деле никакого поля
тяготения нет, а просто его кабина увлекается некоей внешней силой с постоянным
ускорением, равным g. В этом и заключается принцип эквивалентности Эйнштейна.
Общая теория относительности предсказывает ряд явлений, которые качественно и количественно отличаются от теории Ньютона, например, отставание часов
в гравитационном поле, причём тем большее, чем сильнее поле. По общей теории
Эйнштейна, если движущаяся система имеет ускорение, то при больших скоростях
66
2.8. Мировоззренческие аспекты теории относительности
различие во времени может быть сколь угодно большим. Общая теория относительности подтверждает возможность путешествий в будущее. Только те, кто отправит
межзвёздный корабль, движущийся с большим ускорением, ничего не узнают о его
открытиях, зато через много лет об этом узнают их потомки.
Общая теория относительности предсказывает так называемое красное смещение
спектральных линий.
2.8 Мировоззренческие аспекты теории
относительности
При изучении данной темы, представляющей определённую трудность для самостоятельного знакомства с её отдельными вопросами, в частности, мировоззренческими
аспектами, следует обратить особое внимание на то, что теория о тносительности
представляет собой стройную систему, которая не только устраняет кажущиеся противоречия между отдельными экспериментальными наблюдениями, но и приводит
к очень углубленному пересмотру наших представлений о пространстве и времени. Кроме того, т еория относительности установила ряд новых о бщих положений,
в частности, положения, выражающие зависимость массы тела от скорости и связь
между массой и энергией. Обширные применения этих положений особ енно плодотворны в ядерной физике, где мы имеем дело с огромными скоростями и огромными
элементарными порциями энергии (для жёстких γ-квантов).
Поверхностное знакомство с теорией относительности может привести к представлению, что все наши физические понятия теряют реальност ь, ибо, будучи относительными, они могут по-разному оцениваться в разных системах отсчёта. Такое
заключение совершенно неправильно, так же как, например, неправильно было бы
суждение и о нереальности пространственных величин на том основании, что в зависимости от выбора системы декартовых координат (например, направления осей)
меняется численное значение координат x, y, z. Относительный характер каждого
из этих координатных отрезков не лишает реальности понятие длины как расстояния
между двумя точками, ибо длина эта, равная:
p
(∆x)2+ (∆y)2+ (∆z)2,
не зависит от выбора координат, а инвариантна по отношению к ним. Относительны
лишь компоненты этой реальной длины по осям координат. Совершенно так же в
теории относительности относительный характер времени и длины означает относительность лишь отдельных компонент некоторой физической величины, которая
как целое имеет вполне определённый реальный смысл, не зависящий от выбора координатной системы. Пользуясь геометрической аналогией, мы можем уяснить себе
смысл этой физической величины следующим образом. Точка в геометрии есть совокупность трех координат x, y, z , и расстояние между двумя точками есть вполне
67
2.8. Мировоззренческие аспекты теории относительности
определённая длина, в еличина которой не зависит от выбора системы координат. В
физике реальность имеет событие, для определения которого должны быть заданы
место и время, т.е. четыре координаты x, y, z, t (мировая точка). Реальный физический смысл имеет «расстояние между двумя событиями» т.е. «длина»
p
∆S =
(∆x)2+ (∆y)2+ (∆z)2− c2∆t2.
Эта величина, называемая интервалом, имеет определённое значение, ибо она не
зависит от выбора системы отсчёта и является инвариантной.
Совершенно так же формулы (2.15) и (2.21) приводят к выводу, что масса частицы
зависит от системы отсчёта; то же относится к её энергии и импульсу ~p = m~v. Таким
образом, все эти величины относительные, подобно рассмотренным выше пространственным и временным координатам. Величиной же инвариантной, не зависящей от
системы отсчёта и, следовательно, имеющей реальный физический смысл, является
длина четырёхмерного вектора, так называемого вектора энергии - импульса, равная:
q
E2− c2(p
2
x
+ p
2
2
+ p
) =√m2c4− c2m2v2= mc
y
z
p
2
1 − β2= m0c2,
т.е. величина, действительно сохраняющаяся неизменной в любой системе отсчёта.
Компоненты этого четырёхмерного вектора равны
iE = imc2, cpx, cpy, cpz,
т.е. связаны с энергией и импульсом частицы, значения которых зависят от выбора
инерциальной системы отсчёта.
Таким образом, правильное толкование следствий теории относительности не даёт оснований для выводов субъективистского или идеалистического толкования. Взаимосвязь массы и энергии с особенной убедительностью показывает, что масса и
энергия представляют собой неотъемлемые атрибуты материи, независимо от того,
имеем ли мы эту материю в форме вещества или в форме электромагнитного поля.
Пространственно-временные соотношения между событиями реального мира определяются интервалом, величина которого не зависит от произвольного выбора системы отсчёта и не является, следовательно, относительной.
Теория относительности делает значительный шаг вперед по сравнению с классической физикой, для которой пространство и время были самостоятельными, не
связанными друг с другом категориями. Рассматривая время и пространство в их
неразрывной связи, теория относительности даёт более глубокие представления о
пространстве и времени, являющиеся по сравнению с представлениями классической
физики дальнейшим приближением к соотношениям объективного мира. Развитие
этих представлений мы имеем в общей теории относительности, которая рассматривает не только равномерное, но и ускоренное движение систем отсчёта. Общая теория
относительности приходит к выводу о зависимости свойств пространства и времени
68
2.8. Мировоззренческие аспекты теории относительности
от распределения материальных масс. Таким образом, метафизическое представление об абсолютном времени и абсолютном пространстве, существующих независимо
от материи и наряду с нею («вместилище тел», «чистая длительность», как утверждал Ньютон), в соответствии с концепцией диалектического материализма заменяется представлениями, рассматривающими пространство и время как формы существования материи.
Успехи теории относительности в уточнении наших представлений о пространстве
и времени я вляются ценным этапом на пути познания, конкретизируют в известном
отношении общую постановку этого вопроса, выдвинутую диалектическим материализмом.
Человеческие представления о пространстве и времени относительны, но из этих
относительных представлений складывается абсолютная истина; эти относительные
представления, развиваясь, идут по линии абсолютной истины, приближаются к ней.
Изменчивость человеческих представлений о пространстве и времени так же мало
опровергает объективную реальность того и другого, как изменчивость научных знаний о строении и формах движения материи не опровергает объективной реальности
внешнего мира.
69
Глава 3
Молекулярная физика
и термодинамика
Молекулярная физика и термодинамика изучают явления, которые связаны с громадным количеством содержащихся в телах атомов и молекул. Такие яв ления называются макроскопическими. Эти разделы физики, взаимно дополняя друг друга, отличаются подходом к изучаемым явлениям. Молекулярная физика исходит из
представления об атомно-молекулярном строении вещества и рассматривает теплоту
как беспорядочное движение атомов и молекул. Термодинамика, напротив, не вводит никаких специальных гипотез и конкретных представлений о строении вещества
и физической природы теплоты. Она базируется на общих принципах или началах,
являющихся обобщением опытных данных.
3.1 Вывод уравнения молекулярно-кинетической
теории идеальных газов для давления и его связь
с уравнением Менделеева-Клапейрона
Для простоты вывода примем, что оболочка, в которой находится газ, имеет форму
сферы радиусом R, (рисунок 3.1); однако окончательное уравнение будет справедливо независимо от т ого, какую форму имеет оболочка, и даже от того, существует ли
она вообще. Кроме того, примем следующие упрощающие вывод допущения:
1. Газ, находящийся внутри сферической оболочки радиусом R, является идеальным и однородным.
2. Газ настолько разрежен, что молекулы между собой не сталкиваются.
3. Молекулы - шарики сталкиваются с оболочкой по законам идеально упругого
удара.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]