Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Задачи и примеры решения. Учебное пособие [для обучающихся заочной формы обучения технических направлений подготовки и специальностей]
.pdf
1
3
l
M D St
dx
dx
3
Q St
dx
dx
3
Q U A
,
v
где ρ — плотность газа(жидкости);
— средняя арифметическая скорость движения его молекул;
v
— средняя длина свободного пробега.
l
Закон диффузии Фика
где M — масса вещества, переносимая при диффузии через пло-
щадь S за время t;
d
— градиент плотности;
D — диффузия (коэффициент диффузии).
Закон теплопроводности Фурье
где Q — теплота, прошедшая посредством теплопроводности че-
рез площадь S за время t;
d
,
1
lD v
.
dT
,
dT
— градиент температуры;
λ — теплопроводность (коэффициент теплопроводности).
1
lcD
v
V
,
где cV — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Первое начало термодинамики
,
где Q — теплота, полученная системой (газом);
U — изменение внутренней энергии системы;
А — работа выполненная системой против внешних сил.
41
Первое начало термодинамики при изобарическом процессе
Q U A C T R T C T
M M M
M
M
2 1
( )
A p V V
A U C T
M
1
p
v
C
C
m m m
V p
При изохорическом процессе (A=0)
m
UQ
При изотермическом процессе (ΔU =0)
m
AQ
RT
M
При адиабатическом процессе (Q =0)
V
ln
V
V
m
Работа расширения газа
V
2
в общем случае:
pdVA
V
1
UA
;
V
.
TC
.
2
.
1
TC
.
при изобарном процессе:
при изотермическом процессе:
при адиабатическом процессе:
1
2
,
— показатель адиабаты.
или
RT m V
A
где
1 1
1
M V
Уравнение Пуассона, которое связывает параметры идеального
газа при адиабатном процессе,
A
m
M
;
RT
ln
V
V
2
;
1
m
,
v
42
pV const
1
1
1 2
,
Q Q
1 2
T T
T
dQ dU dA
2 2
1 1
V p
V p
2 2
1 1
ln ln
T p
T p
2 1
1 2
ln ln
V p
V p
p V T p
2 1 2 2
p V T p
1 2 1 1
T V
2 1
,
T V
1 2
,
,
.
Термический КПД цикла
Q
1
где Q1 — теплота, принятая рабочим телом от нагревателя,
Q2 — теплота, отданная рабочим телом холодильнику.
Термический КПД цикла Карно
,
1
где Т1 и Т2 — термодинамические температуры нагревателя и хо-
лодильника.
Изменение энтропии
2 2
S S S
2 1
T T
1 1
где 1 и 2 — интервал интегрирования, соответственно до началь-
ного и конечного состояний системы.
Изменение энтропии при изобарическом процессе (p=const)
S R R
ln ln
При изохорическом процессе (p=const → A=0)
S R R
,
.
.
При изотермическом процессе (T=const → ΔU =0)
S R R
43
.
При адиабатическом процессе (δQ =0)
F
l
E
S
2
R
2 cos
gR
2 cos
gd
0
S
Коэффициент поверхностного натяжения
.
где F — сила поверхностного натяжения, действующая на контур l;
Е — изменение свободной энергии поверхности пленки жид-
кости, связанное с изменением площади S поверхности этой пленки.
Формула Лапласа, которая выражает давление Р, образованное
сферической поверхностью жидкости
где R — радиус сферической поверхности.
Высота поднимания жидкости в капиллярной трубке
h
или
P
,
,
,
где θ — краевой угол (θ = 0 при полном смачивании стенок трубки
жидкостью;
R — радиус трубки;
— плотность жидкости;
g — ускорение свободного падения.
Высота поднимания жидкости между близкими и параллельными
плоскостями.
при полном несмачивании),
h
,
где d — расстояние между плоскостями.
2.2 Примеры решения задач
Пример 1. Определить число молекул N, которые находятся в
объеме V = 1 мм3 воды, и массу m1 молекулы воды. Принять, что молекулы воды имеют вид шаров и найти диаметр d молекул.
44
Число N молекул, которые находятся в некоторой системе массой
A
N v N
M
A
VN
M
19
3,34 10
18 10
26
2,99 10
1
d V
m
A
VVN
m, равно
где NA — постоянная Авогадро,
Тогда после подстановки в (1) имеем
Сделаем вычисления:
m
v
;
Vm
;
M — молярная масса.
Решение
N
, (1)
. (2)
воды
3 9
10 10 6,02.10
N
3
23
молекул.
Массу m1 одной молекулы воды найдем
m
M
1
. (3)
N
A
Подставим в (3) значения М и NA и определим массу молекулы
m
1
6,02 10
Каждая молекула имеет объем V
Тогда
С другой стороны,
18 10
3
23
d3, где d — диаметр молекулы.
1
3
. (4)
, (5)
1
(кг).
где Vm — молярный объем.
45
Подставим (5) в (4)
m
A
VdN
M
A
MdN
м
м 3,11 10 м 311пм.
2 2
p V RT
2 2
m RT
MV
3
где
V
.
m
Тогда
3
Проверим единицы измерения
M
1 3
3
d
A
18 10
3 23
10 6,02 10
1кг/м 1моль
3
N
Ответ: d = 311 пм.
,
. (6)
1кг/моль
3 -1
1
3
1
10
Пример 2. В баллоне емкостью 10 л находится гелий под давлением 1 МПа и при температуре 300 К. После того, как с баллона было
потрачено 10 г гелия, температура в баллоне снизилась до 290 К. Определить давление гелия, который остался в баллоне.
Решение
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для конечного состояния газа
m
2
M
, (1)
где m2 = (m1 – m) — масса гелия в баллоне в конечном состоянии;
М — молярная масса гелия;
R — молярная газовая постоянная.
Из уравнения (1)
p
2
46
. (2)
Массу m1 гелия найдем также из уравнения Менделеева-
111
Mp V
RT
1 2
( ) ,
M V RT
RT MV
2 2
T m RT
T M V
1 1 1 1 1
а а
м моль К м м
10 290 0,364 .
Па Па
,
m RT
M V
m RT
M V
Клапейрона
Подставим m1, а потом m2 в (2) — тогда
m
. (3)
p m
2
1
или
p p
. (4)
2 1
1
Проверим единицы измерения р2:
T m R T
T M V кг моль
1 1 1 1 1 1
кг моль Дж К Дж н м
a a
1
кг
p
290 10
2
300
a
3 3 3
6
4 10
1 1 / 1
кг Дж моль К К
1 /
2
2
3
1
м
Ответ: р2 = 0,364 Па.
Пример 3. Баллон имеет m1 = 80 г кислорода и m2=230 г аргона.
Давление смеси p = 1 МПа, температура Т = 300 К. Определить емкость
баллона, если газы идеальные.
Решение
Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, найдем p1 и p2.
p
p
1
1
1
2
.
2
2
По закону Дальтона для смеси газов
47
1 2
p p p
Тогда емкость баллона
м 26,2л.
1
2
kT
1
2
kT
E N
или
m
1
P
M
1
m
M
2
2
RT
V
.
m
1
V
M
1
m
M
RT
2
P
2
(1)
где М1 = 32·10-3 кг/моль , М2 = 40·10-3 кг/моль
0,08 0,32 8,31 300
V
32 10 40 10 10
3 3 6
0,0262
3
Ответ: V = 26,2 л.
Пример 4. Найти среднюю кинетическую энергию
вращ.
враща-
тельного движения одной молекулы кислорода при температуре 350К, а
также кинетическую энергию Ек вращательного движения всех молекул
кислорода массой m = 4 г.
Решение
На каждую степень свободы молекулы газу припадает одинаковая
средняя энергия
i
, (1)
где k — постоянная Больцмана;
Т — термодинамическая температура газа.
Молекула кислорода двухатомная и поэтому имеет пять степеней
свободы, из них 2 приходится на вращательное движение, то есть
вращ
2
.
Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа
соответственно равна
K вращ
. (2)
Число всех молекул газа
48
A
N N v
m
M
m
M
Дж)
Дж)
32 10
2
M
Дж/(кг К)
2
20 10
Дж/(кг К)
2
20 10
где NA — постоянная Авогадро;
— количество вещества.
Тогда формула (3) буде иметь вид
, (3)
N N
A
.
Если N подставить в уравнение (2), то получим
E N
K вращ A
.
После вычисления получим
23 21
3
4 10
3
-21
Дж; Ek = 364 Дж.
.
E
k
Ответ: <ε
.
вращ
6,02 10 6 4,83 10 364(
> = 4,83·10
вращ
1,38 10 350 4,83 10 (
23 21
Пример 5. Вычислить удельные теплоемкости при неизменном
объеме сV и при постоянном давлении ср неона и водорода, считая эти
газы идеальными.
Удельные теплоемкости идеальных газов можно посчитать по
формуле
где і — число степеней свободы молекулы газа;
Для неона і = 3, а М=20·10-3 кг/моль
Выполним расчеты
М — молярная масса.
3 8,31
c
V
3 2 8,31
c
p
Решение
с
V
3
6,24 10
3
49
1,04 10
Ri
,
(1)
2
3
.
Для водорода (двухатомный газ) і = 5, а М = 2·10-3 кг/моль
Дж/(кг К)
2
2 10
Дж/(кг К)
2
2 10
( )
Q c m c m T
1 2 1 1 2 2
c m m c m c m
1 1 2 2
c c w c w
Тогда
c
V
3
1,04 10
5 2 8,31
5 8,31
c
p
3
1,46 10
Ответ: сV = 1,04·104 Дж/(кг·К); с
4
4
= 1,46·104 Дж/(кг·К).
р
.
Пример 6. Вычислить удельные теплоемкости сv и ср смеси неона
и водорода, если массовая доля неона и водорода составляют w1 = 80 %
и w2 = 20 %. Значение удельных теплоемкостей газов взять с предыдущего примера.
Решение
Удельную теплоемкость сv смеси при постоянном объеме найдем
так. Сначала найдем теплоту для нагревания смеси таким способом
TmmcQ
)(
V
21
, (1)
а потом по следующей формуле
где сV1 — удельная теплоемкость неона;
сV2 — удельная теплоемкость водорода.
Приравняем правые части (1) и (2) и разделим обе части нового
уравнения на , получим
( )
V V V
тогда
где
w
1
Таким же способом можно получить формулу для вычисления
1 1 2 2
V V
m
1
i
mm
21
, (2)
,
wcwcc
,
VVV
w
,
2
2211
m
2
.
mm
21
удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении
p p p
50
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]