Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Задачи и примеры решения. Учебное пособие [для обучающихся заочной формы обучения технических направлений подготовки и специальностей]
.pdf
B d B
где символ ℓ означает, что интегрирование распространяется на
4
I d r
r
d B
r
d B
B dB
sin
4
r
Id
r
B d
sin
rd
2
sin
r
всю длину проводника.
Запишем закон Био-Савара-Лапласа в векторной форме
, (1)
o
где
d B
— магнитная индукция, созданная элементом проводника,
длина которого dℓ с током I в точке, определенной радиусом-вектором
— магнитная постоянная;
о
— магнитная проницаемость среды, в которой находится
,
3
провод (в нашем случае = 1).
Заметим, что векторы
от различных элементов тока сонаправлены (рис.), поэтому выражение (1) можно переписать в скалярной
форме
где
d B
o
Id
,
.
2
В скалярном выражении закона Био-Савара-Лапласа угол — это
угол между элементом тока
и радиусом-вектором
.
Таким образом,
4
r
. (2)
2
sin
I
o
Превратим подинтегральное выражение так, чтобы была одна переменная — угол . Для этого выразим длину элемента провода dℓ через угол d (рис.)
d
.
Тогда подинтегральное выражение
91
запишем в виде
sin
sin
rd d
r
r
sin
r
d
B d
1 2
(cos cos )
1
cos
2 2
2 2
.
2
Заметим, что переменная r также зависит от (
Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде
где
и
1
границы интегрирования.
2
Выполним интегрирование
Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода, cos
принимает вид
.
r r
I
0
4
r
0
B
= –cos
2
r
0
), тогда
sind
0
2
sin
1
0
. (3)
4
r
,
I
0
. С учетом этого формула (3)
1
I
B
o
. (4)
2
r
o
Из рисунка 16 получается
сos
Подставив выражение cos
B
2
1
4
r
0
в формулу (4), получим
1
I
0
r
4
0
r
.
. (5)
0
Выполнив вычисления по формуле (5), найдем В = 26,7 мкТл.
Направление вектора магнитной индукции В поля, создаваемого прямым током, можно определить по правилу буравчика (правилу правого
винта). Вектор магнитной индукции В в точке А (рис.) направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас.
Ответ: В = 26,7 мкТл.
92
Пример 2. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С,
по которым текут в одном направлении электрические токи, сила которых I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга.
Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого проводниками с
током в точке А (рисунок), которая находится от оси одного проводника
на расстоянии r1 = 5 cм, от второго — r2 = 12 cм.
Решение
Для того, чтобы найти магнитную индукцию В в точке А, вос-
пользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого
определим направление магнитных
индукций
B
1
и
B
полей, создавае-
2
мых каждым проводником с током
по отдельности, и сложим их гео-
метрически
B B B
1 2
Модуль вектора В может быть найден по теореме косинусов:
2 2
1 2 1 2
где — угол между векторами
2 cosB B B B B
B
и
1
B
, (1)
.
2
Магнитные индукции В1 и В2 выражаются соответственно через
силу тока I и расстояния r1 и r2 от проводов до точки А
0 0
B B
.
1 2
,
2 2
r r
1 2
Подставляя выражения В1 и В2 в формулу (1) и вынося
знак корня, получаем
.
I
o
за
2
1 1 2
I
B
Вычислим cos. Учитывая, что DAC
o
. (2)
2
2 2
r r
1 2
cos
r r
1 2
(как углы с соответ-
ственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов
запишем
93
2 2 2
,
где d — расстояние между проводниками.
Отсюда
cos
cos
Подставим в формулу (2) численные значения физических величин и произведем вычисление:
7
4 3,14 10 60 1 1 2 23
B
2 3,14 (0,05) (0,12) 40
(0,05) (0,12)
3,08 10 Tл 308мкТл.
1 2 1 2
,
2 2 2
5 12 10 23
2 cosd r r r r
2 2 2
r r d
1 2
2
r r
1 2
2 5 12 40
2 2
4
.
Ответ: 308мкТлB .
Пример 3. Бесконечно длинный проводник изогнут так, как это
изображено на рисунке. Радиус R дуги равен 10 см. Определить магнитную индукцию В поля, образованного в точке O током I = 80 А, протекающего по этому проводнику.
Решение
Магнитную индукцию В в точке
О найдем, воспользовавшись принципом суперпозиции магнитных полей
n
B Bi
i
.
В нашем случае провод можно разделить на три части (1, 2, 3): два
прямолинейных провода (1 и 3), которые одним концом переходят в
бесконечность, а вторым в дугу полуокружности (2) радиусом R. Тогда
B B B B
1 2 3
,
где В1, В2, В3 — магнитные индукции в точке O, создаваемые током, который течет соответственно на первом, втором и третьем участ-
94
ках провода. Точка O лежит на оси провода 1, следовательно В1 = 0, то-
2 3
B B B
2
B
3
B
2 3
B B B
0
2
I
R
0
4
I
R
1 2
0
4
I
R
4 4
o o
I I
R R
( 1)
4
R
Тл)
Тл)
гда
Учитывая, что векторы
.
и
направлены согласно правилу бу-
равчика перпендикулярно плоскости рисунка от нас, геометрическое
интегрирование можно заменить алгебраическим
.
Магнитную индукцию В2 найдем, воспользовавшись выражением
для магнитной индукции в центре кругового тока
B
2
.
В нашем случае магнитное поле в точке O образуется только половиной такого кругового тока, следовательно
B
2
.
Магнитную индукцию В3 найдем, воспользовавшись соотношением (3), которое было выведено в примере 1:
I
0
cos cos
r
0
.
3
1
тогда
B
.
4
В нашем случае rо = R, 2 = /2, cos
B
Используя найденное выражение для В2 и В3, получим
B
или
B
Выполним вычисления:
4 10 80
B
7
4 0,1
( 1) 3,31 10 (
= 0, 2 = и cos
I
o
.
4
.
= –1,
2
Ответ:
3,31 10 (
B
4
.
95
Пример 4. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (рис. а). По проводам текут токи I1 = 80 А и I2 = 60 А. Рас-
стояние между проводами равно 10 см. Определить индукцию B в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.
а б
Решение
В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция B поля, создаваемого токами I1 и I2 определяется выражением
B B B
1 2
, где
— магнитная индукция поля, созданного в
B
1
точке А током I1;
— магнитная индукция поля, созданного в точке А
B
2
током I2.
Векторы
B
1
и
взаимно перпендикулярны (их направления
B
2
находятся по правилу буравчика и изображены в двух проекциях на рисунке б). Модуль вектора определим по теореме Пифагора:
B B B B
2 2
1 2
,
где В1 и В2 определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного проводника с током
I I
0 1 0 1
B B
.
1 2
,
2 2
r r
1 2
d
В нашем случае
r
o
2
B I I
.
d
o
2 2
1 2
96
Выполним вычисление:
7
10
7
2 2 4
80 60 4 10 ( ) 400
.
4 10
B Тл мкТл
Ответ: 400B мкТл .
Пример 5. По двум параллельным прямым проводникам, длина
которых ℓ = 2,5 м каждый, которые находятся на расстоянии d = 20 см
друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Определить силу взаимодействия токов.
Решение
Взаимодействие двух проводников,
по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток образует
магнитное поле, которое действует на другой проводник.
Предположим, что оба тока (обозначим их для удобства I1 и I2) текут в одном
направлении. Ток I1 образует в месте рас-
положения второго проводника (с током I2) магнитное поле. Проведем
линию магнитной индукции (пунктир на рисунке) через второй провод-
ник и по касательной к ней — вектор магнитной индукции
B . Модуль
1
магнитной индукции В1 определяется соотношением:
I
1
B
o
. (1)
1
2
d
Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода с
током I2, длина которого dℓ, в магнитном поле действует сила
sin ,dF I B d d B .
2 1
Вектор d перпендикулярен вектору
1
B и
sin , 1d B , тогда
1
1
dF I B d
2 1
.
Подставив в это выражение В1 согласно (1), получим
97
I I
1 2
dF d
o
.
2
d
Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:
I I I I
1 2 1 2
F d
o o
2 2
d d
.
o
Учитывая, что
I II
1 2
Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу
силы (Н):
2
I
o
1Гн/м 1А 1м
d
Выполним вычисления:
4 10 10 2,5
F
Сила F сонаправлена с силой dF (рис.) и определяется в данном
случае по правилу левой руки.
Ответ:
.
2,5HF
, получим
I
2
o
d
F
1м 1м
7 3
2
2 0,2
2
.
2
1Дж
.
=1Н
H 2,5H
.
Пример 6. Протон, который прошел ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией
В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Определить радиус R круга.
Решение
Движение заряженной частицы в
однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда частица влетает в магнитное
поле перпендикулярно линиям магнитной
индукции Bv .
Сила Лоренца перпендикулярна
вектору
v и придает частице (протону) нормальное ускорение
98
а
.
n
Согласно второму закону Ньютона,
л n
F ma
.
л n
F ma
sin
Bv
sin 1
лF q B
v
2
R
v
2
m
R
v
mRqB
v
pRqB
А Т
1 2 2 1
,
Т Т
1 2
, (1)
где m — масса протона.
На рисунке показана траектория протона в плоскости рисунка и
указаны направление вектора v и направление вектора B («к нам»).
Используя правило левой руки, определим направление силы Лоренца.
Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус)
(2)
В скалярной форме
¸тогда
Нормальное ускорение
следующим образом:
Отсюда находим радиус круговой траектории
Заметив, что mv является импульсом протона (р), это выражение
можно записать в виде
F q B
v
л
, в нашем случае
и
.
a
n
q B
v
, тогда выражение (2) перепишем
.
.
. (3)
той сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, то есть
щее напряжение U);
Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между рабо-
( )Q
где (
или
) — ускоряющая разность потенциалов (или ускоряю-
Т1 и Т2 — начальная и конечная кинетические энергии протона.
99
Пренебрегая начальной кинетической энергией (Т1 0) и выражая
кинетическую энергию Т2 через импульс р, получим
2
qU
p
.
2
m
Найдем из этого выражения импульс 2p mqU и подставим его
в формулу (3)
R
Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м):
m U
B q
1 кг В кг А м Дж кг м кг м с
Tл Кл Дж кг
Подставим в формулу (4) числовые значения физических величин
и произведем вычисления
1 2 1,67 10 600
R
0,3
Ответ: 11,8ммR .
Пример 7. Электрон, влетев в однородное магнитное поле
2mqUB
qB
1,6 10
1 2mU
R
или
. (4)
B q
2
м
27
19
м 0,0118м 11,8мм
Дж с кг м с
.
(В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиусом R= 5 см. Определить магнитный момент Р эквивалентного кругового тока.
Решение
Электрон начинает двигаться по
окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно
линиям магнитной индукции. На рисунке
линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости рисунка и направлены
«от нас» (обозначены крестиками).
Движение электрона по окружности эквивалентному круговому
току, который в данном случае определяется выражением
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]