Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Задачи и примеры решения. Учебное пособие [для обучающихся заочной формы обучения технических направлений подготовки и специальностей]
.pdf
где а0 — первый боровский радиус, табличная величина;
m — масса электрона;
V — скорость электрона.
Длина волны де Бройля
2
0
2
10 10
-10
м.
a
Ответ:
= 10
1
h h a
2 0
mV h
2 3,14 0,529 10 3,3 10 м
.
2
-11
м;
= 3,3·10
2
Пример 4. Волновая функция
x
2
sin
x
l l
описывает основное состояние частицы в глубокой прямоугольной
«яме» шириной l. Найти вероятность нахождения частицы в небольшом
диапазоне l = 0,01 l в двух случаях:
1) вблизи стенки
2) в средней части «ямы» )
lx 0
;
ll
(
.
x
ll
2222
В первом случае вероятность находится интегрированием в пределах от 0 до 0,01l:
w
Решение
2
Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dх
(от x до x + dх), пропорциональна
этому интервалу и квадрату модуля
волновой функции, описывающей
2
это состояние:
l
01,0
0
151
sin
2
xdx
ll
. (1)
)()(
dxxxdw
.
Знак модуля опущен, потому что -функция в этом случае не яв-
1,
l
2
sin .
x x
2 6 6
10 6,6 10
3
w l l
sin 0,01 0,02
я
m Zm A Z m m
ляется комплексной. Так как x изменяется в интервале от 0 до 0,01l, то
x
и тогда справедливо приближенное равенство:
2
l l
С учетом этого выражения (1) приобретает такой вид:
w
2
x
dx
l
01,0
l
0
2
l
01,0
22
3
l
2
dxx
o
. (2)
После интеграция получим:
2
w p
.
Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как
квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (l = 0,01l) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением
ψ( / 2)
2
или
2 2
w l l
l l l
2
l
.
2
Ответ: w1 = 6,6·10
Пример 5. Вычислить дефект массы и энергии ядра
Масса ядра всегда меньшее суммы масс протонов и нейтронов, из
которых образуется ядро. Дефект массы ядра m — это разница между
суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра:
где Z — атомный номер (число протонов в ядре);
-6
; w2 = 0,02.
Решение
[ ( ) ]
p n
152
7
Li
3
, (1)
A — массовое число (число нуклонов в ядре);
я e
m m Zm
H
m m m
а.е.м.
2
Е m с
Дж/к
m
МэВ
mp, mn, mя — массы протона, нейтрона и ядра.
В таблицах приложений приводятся массы нейтральных атомов, а
не ядер, поэтому, формула (1) должна быть преобразована таким образом, чтобы она включала в себя массу ma нейтрального атома. Можно
считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, вращающихся вокруг ядра
Тогда
Подставив в (1) массу ядра из формулы (2), получим:
или
Заметив, что ( )
дорода, можем найти:
Подставив в (3) численные значения масс (таблица), имеем
3 1,00783 7 3 1,00867 7 0,1601 а.е.м. 0,04216
[ ]m
p e
a
.
mя= ma – Zme (2)
)(
ZmmmZAZmm
eаnp
)()( .
mmZAmmZm
аnep
, то есть представляет собой атом во-
)( . (3)
mmZAZmm
аnн
В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии
, (4)
где с — скорость света в вакууме.
Коэффициент пропорциональности c2 может быть выражен как:
2 16 2 2 2 16
9 10 м /сг или 9 10
E
с с
Если вычислить энергию связи с использованием внесистемных
единиц, то с2 = 931 МэВ /а.е.м. С учетом этого формула (4) примет вид
931
Е m . (5)
Подставляя значение дефекта массы ядра в формулу (5), имеем:
153
931 0,04216
МэВ 39,2 МэВ
Е
Ответ: m = 0,04216 а.е.м ; Е = 39,2 МэВ.
dt
dt
t
N N e
t
N e
dt
dt
t
A N e
Пример 6. Найти начальную активность Ао радиоактивного пре-
парата магния
.
27
Mq массой m = 0,2 нкг и его активность А через время
12
t = 6 ч. Период полураспада
T магния считать известным.
21 /
Решение
Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного
распада и представляет собой отношение числа dN ядер, которое распалось за интервал времени dt, к этому интервалу:
dN
А
. (1)
Знак «минус» показывает, что число N радиоактивных ядер
уменьшается с течением времени.
dN
Для того чтобы найти
используем закон радиоактивного
,
распада:
0
, (2)
где N — число не распавшихся радиоактивных ядер в момент
времени t;
N0 — число радиоактивных ядер в начальный момент времени
(t = 0);
– постоянная радиоактивного распада.
Продифференцируем выражение (2) по времени
dN
Исключив из формул (1) и (3)
препарата в момент времени t:
Начальную активность препарата будем иметь при t = 0
0
154
0
dN
, можно вычислить активность
. (4)
(3)
0 0
A N
Постоянная радиоактивного распада связана с периодом полу-
1/2
ln2
T
,
A A
N N N
M
ln2
1/2
ln2
t
Бк 5,13 10 Бк 5,13ТБк
600
27 10
Бк 81,3Бк
600
27 10
распада
T соотношением:
21 /
(6)
Число N0 радиоактивных ядер изотопа равно произведению постоянной Авогадро NA на количество молей этого вещества:
m
0
(7)
где m — масса изотопа;
М — молярная масса
Учитывая выражения (6) и (7), формулы (5) и (4) принимают вид:
mN
MT
ln 2
1/2
1/2
A
T
A
А
0
m
А N e
(9)
MT
(8)
произведем вычисления, учитывая, что
Т
= 10 мин = 600 с;
1/2
ln2 = 0,693;
t = 6 ч = 6·3600с= 21,6·103 с.
9
0,2 10 0,693
А
0
0,12 10 0,693
А e
Ответ: А0 = 5,13·10
3
9
3
6,02 10
6,02 10
12
Бк; А = 81,3 Бк.
23 12
0,693
23
600
21,610
3
.
6.3 Задачи для самостоятельного решения
601. Невозбужденный атом водорода поглощает квант излучения
с длиной волны λ= 102,6 нм. Вычислить, пользуясь теорией Бора, радиус r электронной орбиты возбужденного атома водорода
155
602. Вычислить по теории Бора радиус r2 второй стационарной
орбиты и скорость V2 электрона на этой орбите для атома водорода.
603. Вычислить по теории Бора период Т вращения электрона в
атоме водорода, который находится в возбужденном состоянии с квантовым числом п = 2.
604. Найти максимальную энергию
серии Бальмера в спектре
max
излучения атомарного водорода.
605. Найти первый потенциал возбуждения и энергию ионизации атома водорода Ei, который находится в стационарном состоянии.
606. Найти энергию фотона, которую излучает атом водорода, когда электрон переходит с третьей орбиты на вторую.
607. Найти наибольшую λ
и наименьшую λ
max
длину волны в
min
ультрафиолетовой серии спектра водорода (серии Лаймана).
608. В однозарядном ионе гелия электрон перешел с третьего
уровня энергии на первый. Найти длину волны излучения λ.
609. Электрон в атоме находится на третьем энергетическом
уровне. Найти кинетическую Т, потенциальную П и полную Е энергию
электрона. Ответ записать в электрон-вольтах.
610. Фотон выбивает из атома водорода, который находится в стационарном состоянии, электрон с кинетической энергией Т=10 эВ. Вычислить энергию фотона.
611. В однозарядном ионе лития электрон перешел с четвертого
уровня энергии на второй. Найти длину волны λ излучения, испущенного ионом лития.
612. Найти длину волны де Бройля λ для частицы массой т = 1 г,
движущейся со скоростью 10 м/с. Нужно ли учитывать в этом случае
волновые свойства частиц?
613. Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов. Найти
длину волны де Бройля λ для случаев: U1=510 В; U2=510 кВ.
614. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов
206 В, имеет длину волны де Бройля λ=2∙10
-12
м. Найти массу этой ча-
стицы, если известно, что заряд ее численно равен заряду электрона.
615. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти
протон, чтобы длина волны де Бройля λ была равна: 1) 1 нм; 2) 1 пм?
156
616. Вычислить длину волны де Бройля λ протона, который про-
, 1
n n
n
E
шел ускоряющую разность потенциалов U равную 1) 1 МВ. 2) 1 ГВ.
617. Протон имеет кинетическую энергию T = 1 кэВ. Найти дополнительную энергию T, которую ему необходимо сообщить, чтобы
длина волны де Бройля λ уменьшилась в три раза.
618. Найти длины волн де Бройля альфа- частицы и протона, которые прошли одинаковую ускоряющуюся разность потенциалов
U = 1кВ.
619. Электрон имеет кинетическую энергию T=1,02 МэВ. Во
сколько раз изменится длина волны де Бройля если кинетическая энергия T электрона уменьшится в два раза?
620. Кинетическая энергия T электрона равна удвоенному значению его энергии покоя )2(
2
cm . Найти длину волны де Бройля для это-
0
го электрона.
621. Частица находится в глубокой одномерной прямоугольной
«потенциальной яме». Найти соотношение
ских уровней для энергии
частицы в трех случаях: 1) n = 2; 2) n = 5;
E
соседних энергетиче-
3) n → .
622. Принимая во внимание соотношение неопределенностей,
оценить наименьшие ошибки ΔP в определении импульса электрона и
протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью Δх= 0,01 мм.
623. Время жизни возбужденного ядра порядка 1 нс, длина волны излучения составляет 0,1 нм. С какой наибольшей точностью
может быть определена энергия излучения?
624. Частица в глубокой одномерной прямоугольной «потенциальной яме» находится в основном состоянии. Какова вероятность w
нахождения частицы в крайней четверти «ямы»?
625. Атом испускает фотон с длиной волны = 800 нм. Время излучения t=10 нс. Вычислить наибольшую точность , с которой можно
найти длину волны излучения.
626. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину
l одномерной «потенциальной ямы», если минимальная энергия электрона E
=10 эВ.
min
157
627. Альфа-частица находится в глубокой одномерной прямоугольной «потенциальной яме». Принимая во внимание соотношение
неопределенностей, оценить ширину l «ямы», если известно, что минимальная энергия альфа-частицы E
=8 МэВ.
min
628. Принимая во внимание соотношение неопределенности Гейзенберга, показать, что электрон не может находиться в середине атомного ядра. Диаметр ядра равен 10
-15
м.
629. Электрон находится в глубокой одномерной прямоугольной
«потенциальной яме» шириной l = 0,1 нм. Найти (в электрон-вольтах)
минимальную разницу энергетических уровней
630. В глубокой одномерной прямоугольной «потенциальной яме»
шириной l, находится частица в возбужденном состоянии (n = 3). Найти,
в каких точках интервала 0 < x < l плотность вероятности нахождения
частицы имеет максимальное и минимальное значение.
631. Найти долю свободных электронов в металле при температуре T= 0 K, энергия которых находятся в интервале значений от 1/2
до
F
F
632. Собственный полупроводник (германий) имеет при определенной температуре удельное сопротивление = 0,5 Ом∙м. Найти концентрацию n носителей тока, если подвижность электронов
bn = 0,38 м2/(В∙с), а «дырок» bp =0,18 м2/(В∙с).
633. Найти концентрацию свободных электронов в металле при
температуре T = 0 K, с уровнем Ферми F = 6 эВ.
634. Тонкая пластинка из кремния шириной b = 2 см расположена
перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (B =
0,5 Тл). При плотности тока j = 2 мкА / мм2, направленного вдоль пластины, холловская разность потенциалов Uх= 2,8 В. Найти концентрацию n носителей тока.
635. Найти максимальную скорость V
электронов в металле при
max
температуре T= 0 K, если уровень Ферми F = 5 эВ.
636. Полагая, что на каждый атом алюминия приходится три свободных электрона, найти максимальную энергию Е
электронов при
max
температуре T = 0 K.
158
637. Найти среднее значение кинетической энергии к электронов в металле при температуре Т= 0 К, если уровень Ферми ε
6 эВ.
F =
638. Подвижность электронов и «дырок» в кремнии
bn = 1,5∙103 см2/(В∙с) и bp = 5∙102 см2/(В∙с). Вычислить постоянную Холла
Rх для кремния, если удельное сопротивление кремния = 6,2∙102 Ом·м.
639. Удельное сопротивление кремния с примесями = 102 Ом∙м.
Найти концентрацию np «дырок» и их подвижность bp. Считать, что полупроводник имеет только «дырочную» проводимость, а постоянная
Холла Rх = 4∙10
640. Концентрация n носителей тока в кремнии равна 5∙10
-4 м3
/Кл.
10 см-3
подвижность электронов bn = 0,15 м2/(В∙с) и «дырок» bp = 0,05 м2/(В∙с).
Найти сопротивление кремниевого стержня длина которого L = 5 см, а
площадь поперечного сечения S = 2 мм2
641. Вычислить энергию ядерной реакции
9
Be +
4
2
H
1
10
B +
5
1
n
o
Выделяется или поглощается энергии в этой реакции?
642. Вычислить энергию ядерной реакции
643. Вычислить энергию ядерной реакции
7
3
2
1
Li +
H +
4
He
2
3
H
1
10
5
4
He +
2
B +
1
n
o
1
n
o
,
Где используется эта реакция?
644. Вычислить энергию ядерной реакции
6
3
Li +
2
H
1
7
3
Li +
1
1
Выделяется или поглощается энергии в этой реакции?
645. Вычислить энергию ядерной реакции
646. Вычислить энергию ядерной реакции
647. Вычислить энергию ядерной реакции
648. Вычислить энергию ядерной реакции
7
3
3
1
2
1
2
1
1
Li +
H
1
H ()
2
H (
H,)
1
H (n, )
4
2
3
1
7
He
4
He
2
H
Be +
4
1
n
o
649. Фотон с энергией = 1,53 МэВ превратился в пару электронпозитрон. Принимая кинетическую энергию частиц одинаковой, найти
кинетическую энергию каждой частицы.
650. Электрон и позитрон, которые имеют одинаковую кинетическую энергию Т=0,51 МэВ, при взаимодействии превратились в два
одинаковых фотона. Определить энергию каждого фотона и соответствующую ему длину волны .
651. Найти период полураспада T
радиоактивного изотопа, если
1/2
его активность за время t = 10 суток снизился на 24% по сравнению с
начальной.
159
652. Определить, какая доля радиоактивного изотопа
падается за время t = 6 суток.
653. Активность А некоторого изотопа за время t = 10 суток
225
89
Ас рас-
уменьшилась на 20%. Определить период полураспада T
654. Вычислить массу т изотопа йода
131
І, имеющего активность
53
этого изотопа.
1/2
А = 37 ГБк.
655. Найти среднюю продолжительность жизни τ атома радиоактивного изотопа кобальта
60
27
Со.
656. Счетчик альфа-частиц, установленный вблизи радиоактивного изотопа, при первом замере показал N1 = 1400 частиц в минуту, а через время t = 4 часа - показал N2 = 400. Определить период полураспада
T
изотопа.
1/2
657. Во сколько раз уменьшится активность препарата
32
Р через
15
время t = 20 суток?
658. На сколько процентов снизится активность изотопа иридия
192
Ir за время T=15 суток?
77
659. Найти число ядер, которые распадаются в радиоактивном
изотопе фосфора
32
Р массой m = 1мг за: 1) t1 = 1 мин; 2) t2 = 5суток.
15
660. Из каждого миллиона атомов радиоактивного изотопа в одну
секунду распадается 200 атомов. Найти период полураспада T
изотопа.
1/2
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]