Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Задачи и примеры решения. Учебное пособие [для обучающихся заочной формы обучения технических направлений подготовки и специальностей]
.pdf
e
I
T
2
R
v
2
e
R
v
P I S
2
S R
2
2
P R
R
2
P e R
v
mRqB
v
e BR
m
2 2
2
e BR
m
экв
,
где е — заряд электрона;
Т — период его вращения.
Период вращения можно выразить через скорость электрона v и
путь, который проходит электрон за период
I
экв
Зная I
найдем магнитный момент эквивалентного кругового то-
экв
T
, тогда
. (1)
ка. Магнитный момент контура с током выражается соотношением
m экв
, (2)
где S — площадь, ограниченная окружностью, описанной элек-
троном (
Подставив I
).
из (1) в выражение (2), получим
экв
e
v
m
.
Сократим на R и перепишем это выражение в виде
1
m
. (3)
В полученном выражении известной является скорость электрона,
которая связана с радиусом R круга, по которому он движется, соотношением
Заменив q на e, найдем скорость
(см. пример 6).
v
и подставим ее в
формулу (3):
P
m
101
. (4)
Убедившись в том, что правая часть уравнения (4) дает единицу
магнитного момента (А м2)
2 2
e B R
m
2
Кл Тл м
кг
2
2 2 2
А с кг м м
А кг м с
2
А м
2
,
вычислим
2
19
1,6 10 0,2 0,05
P
m
Ответ:
2 9,1 10
7,03пA м
P .
m
31
2
2 12 2 2
A м 7,03 10 A м 7,03пA м
2
.
Пример 8. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е = 10 кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля.
Найти отношение заряда альфа-частицы к ее массе, если двигаясь
перпендикулярно обоим полям, частица не отклоняется от прямолинейной траектории.
Решение
Для того, чтобы найти отношение заряда q альфа-частицы к ее
массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля
и изменением кинетической энергии частицы:
qU m v
1
2
2
, откуда
q
m U
2
v
. (1)
2
Скорость v альфа-частицы найдем из
следующих соображений. В скрещенных
электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют
две силы: сила Лоренца [ , ]F q B v ,
направленная перпендикулярно скорости v
и вектору магнитной индукции B, и сила
Кулона
F q E , сонаправлена с вектором
k
напряженности E электростатического поля (q 0).
102
На рисунке направим вектор магнитной индукции В вдоль оси OZ
л
F
k
F
i
F
Bv
sin 1
0
qE q B
v
E
B
2
2
2
q E
m
UB
Дж Кл Кл м Кл
кг
Кл/кг 4,81 10 Кл/кг 48,1МКл/кг
МКл/кг
m
скорость v — в положительном направлении оси ОX, тогда
дут направлены так, как показано на рисунке.
Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометри-
ческая сумма сил
чим следующее равенство (при этом учтено, что
будет равна нулю. В проекции на ось ОY полу-
i
и
,
откуда
v
.
Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим
.
Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу удель-
ного заряда (Кл/кг):
и
бу-
)
2 2
E
U B
2
B/м В А
В Тл Н с
2 2 2 2
В Н Н с
.
Выполним вычисления
2
4
q
m
10
2 104 0,1
7
2
.
q
Ответ: 48,1
.
Пример 9. Короткая катушка, которая вмещает N = 103 витков,
равномерно вращается с частотой n = 10 с-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярна линиям однородного
магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС
индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки образует
угол = 60о с линиями поля Площадь S катушки равна 100 см2.
103
Решение
Мгновенное значение ЭДС индукции i определяется уравнением электромагнитной индук-
ции Фарадея-Максвелла
d
i
. (1)
dt
Потокосцепления
NФ
где N — количество витков ка-
тушки, которые пронизаны магнитным потоком Ф.
Подставив выражение в формулу (1), получим
dФ
N
. (2)
i
dt
При вращении катушки магнитный поток Ф, который пронизывает катушку в момент времени t, изменяется по закону
cosФ BS t
,
где В — магнитная индукция;
S — площадь катушки;
— угловая скорость катушки.
Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и найдя
первую производную по времени, вычислим мгновенное значение ЭДС
,
индукции:
sin
NBS t
i
Заметив, что угловая скорость связана с частотой вращения n
катушки соотношением 2 n
этом учтено, что sin cos ;
и угол
2
2 cos
i
nNBS
Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу
ЭДС (В):
104
.
t
2
.
(рис.), получим, при
В
м А м с Кл
n B S
В 25,1В
25,1
В
Ф
dt
i
R
Ф
dt
dq
dt
Ф
dt dt
Выполним вычисления
Тл м Н м Дж
2 2
.
Ответ:
2 3,14 10 10 0,04 10 0,5
.
3 2
.
Пример 10. Квадратная проволочная рамка, со стороной а = 5 см
и сопротивлением R = 10 Ом находится в однородном магнитном поле
(В = 40 Тл). Нормаль к плоскости рамки образует угол = 30о к линиями магнитной индукции. Определить заряд q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.
Решение
При выключении магнитного поля происходит изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, которая обусловлена основным законом электромагнитной индукции
d
.
i
Возникающая ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток,
мгновенное значение которого можно определить, воспользовавшись
законом Ома
I
i
,
где R — сопротивление рамки. Тогда
d
I R
.
i
Мгновенное значение силы индуктивного тока
I
, это выра-
i
жение можно переписать в виде
dq d
R
,
105
откуда
Ф
R
Ф
1 2
Ф Ф
R
1
Ф
R
cos
cos
cos
R
Кл
Кл 8,67 10 Кл 8,67мКл
8,67
мКл
q
Проинтегрировав выражение (1), найдем
dq
d
. (1)
R
1
q
dq d
o
При выключенном поле (конечное состояние) Ф2 = 0 и последнее
равенство перепишется в виде
Найдем магнитный поток Ф1. По определению магнитного потока
имеем
Ф В S
где S — площадь рамки.
В нашем случае (квадратная рамка) S = а2. Тогда
Ф Ва
2
или
1
q
1
. (3)
1
q
. (2)
,
2
.
Подставив (3) в (2), получим
Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу
заряда (Кл):
Выполним вычисления:
q
Ответ:
2
Ba
q
2
B a
R
0.04 25 10 3 / 2
4
Тл м Дж
2
Ом В
.
1
3
0,01
.
.
.
106
Пример 11. Соленоид с сердечником из немагнитного материала
LI
NФ
Ф
I
2
2
LI
2
ФI
Гн 1,8 10 Гн 1,8мГн
4
Дж 14,4мДж
2
1,8
мГн
L
14,4
мДж
W
содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу.
При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.
Решение
Индуктивность L связана с потокосцеплением и силой тока I соотношением
. (1)
Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через
поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают
друг к другу)
. (2)
Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида
N
L
. (3)
Энергия магнитного поля соленоида
Выразив L согласно (3), получим
Подставим в формулы (3) и (4) значения физических величин и
произведем вычисления
1,2 10 6 10
L
1
W
Ответ:
1,2 10 10 4 1,4 10
W
1
W N
3 6
3 6 2
,
.
. (4)
3
;
.
.
107
Пример 12. Точка совершает гармонические колебания с часто-
)
sin
( х А t
max
2
sin
arcsin arcsin(1)
2
2
cos2
x A t
2
той = 10 Гц. В момент, принятый за начало, точка имела максимальное смещение: X
max
начертить их график.
Уравнение колебаний можно записать в виде
где А — амплитуда колебаний;
— циклическая частота;
t — время;
— начальная фаза.
По определению, амплитуда колебаний
Циклическая частота связана с частотой соотношением
=1 мм. Написать уравнение колебаний точки и
Решение
, (1)
А Х
.
(2)
. (3)
Для момента времени t = 0 формула (1) принимает вид
откуда начальная фаза
или
= (2k + 1) /2 (k = 0, 1, 2, ...).
Изменение фазы на 2 не меняет положения колебательной точки,
а поэтому можно принять
С учетом уравнений (2) – (4) уравнение колебаний будет иметь
вид
sin 2
x A t
X A
max
X
max
A
,
. (4)
или
,
где А = 1 мм = 10-3м; = 10 Гц;
108
.
График соответствующего гармонического колебания приведен
ниже.
Пример 13. Частица, масса которой m = 0,1 кг, совершает гармо-
ническое колебание с периодом Т = 2 с. Полная энергия колебательной
частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F
, действующей на частицу.
max
Решение
Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы
1
E m A
2 2
,
2
2
где
. Отсюда амплитуда
T
A
T E
2
. (1)
m
2
Если частица совершает гармоническое колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть
выражена соотношением F kx , где k — коэффициент квазиупругой
силы; х — смещение колебательной точки. Максимальной сила будет
при максимальном смещении x
Коэффициент k выразим через период колебаний:
k m
, равном амплитуде:
max
F kA
max
2
109
. (2)
2
4 m
. (3)
2
T
Подставив выражение (1) и (3) в (2) и упростив, получим
F mE
T
м 1,42 10 м 14,2мм
Н 1,4мН
2
14,2
мм
A
мН
2 1
λ λ
x x
2 1
x x
м 8м
2
.
max
2
Вычислим:
4
1
10
1 4 3
2 10 10 1,4 10
max
1,4
.
F
2
,
.
Ответ:
A
2 3,14
2 3,14
2 2 10
F
max
,
Пример 14. Плоская волна распространяется вдоль прямой со
скоростью v = 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях х1 = 12 м и х2 = 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз = 0,75 . Найти длину волны , написать уравнение волны и
найти смещение указанных точек в момент t = 1,2 с, если амплитуда колебаний А = 0,1 м.
Решение
Точки, находящиеся одна от другой на расстоянии, равном длине
волны , колеблются с разностью фаз, равной 2; точки, которые находятся друг от друга на любом расстоянии х, колеблются с разностью
фаз, равной
2
x
. (1)
2
Решая это уравнение относительно , получим
2
λ
. (2)
Подставив числовые значения величин, входящих в выражение (2)
и выполнив арифметические действия, получим:
2 15 12
λ
0,75
110
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]