Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Задачи и примеры решения. Учебное пособие [для обучающихся заочной формы обучения технических направлений подготовки и специальностей]
.pdf
2
p m V
c
,kE m c m c E
2 2 2 2 4
E p c m c
c
3
,
x A Bt Ct
м .
1
Энергия релятивистской частицы
m V
o
.
V
где Еk — кинетическая энергия частицы;
Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы
Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы
1.2 Примеры решения задач
Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси х
имеет вид
2
0
— её энергия покоя.
Ecm
0
р 21
2 2
0
.
0
EEE
.
okk
где А = 2 м;
В = 1 м / с;
С = –0,5 м / c2.
Найти координату х, скорость
V
и ускорения
x
a
времени t = 2 c.
Решение
Координату х определим, если подставим в уравнение движения
числовые значения коэффициентов А, В, С и времени t.
2 0,5 ,
x t t
2 2 0,5 2 0
x
21
3
3
точки в момент
x
Мгновенную скорость относительно оси х находим как первую
производную от координаты по времени
dx
V B Ct
.
x
dt
Ускорение точки определим, если найдем первую производную от
скорости по времени:
a C t
.
x
Ответ: х=0 м; Vx = –5 м/c; а
Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
где А = 10 рад;
В = 20 рад / с;
С = –2 рад / c2.
Определить полное ускорение a точки, находящейся на расстоя-
dV
dt
2 2
3 1 3 ( 0,5) 2 5 (м/с)
6 6 ( 0,5) 2 6 (м/с )
= –6 м/c2.
х
2
,A Bt Ct
2
нии r = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.
Решение
Полное ускорение a (на рисунке обозна-
чено как
а
) точки, движущейся по криволи-
нейной траектории, можно определить как
геометрическую сумму тангенциального ускорения aτ, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения аn, направленного к центру кривизны траектории.
а а а
n
Эти две составляющие ускорения взаимно перпендикулярны и поэтому модуль ускорения равен
а a a
2 2
. (1)
n
22
Модули тангенциального и нормального ускорений точек враща-
,na r
a r
2 2 4 2 2 4
рад/с)
dt
2
рад/с )
dt
2 4 2 4 2
м/с )
ющегося тела, можно определить по формулам
2
(2)
где ω — модуль угловой скорости тела,
ε — модуль его углового ускорения.
Подставив в (1) значения ускорений из (2), получим выражение
для полного ускорения:
a r r r
. (3)
Угловую скорость ω определим, если возьмем первую производную от угла поворота по времени и подставим числовые значения исходных данных:
d
2 20 2 ( 2) 4 4(
.
B Ct
Угловое ускорение найдем, если возьмем первую производную от
угловой скорости по времени
d
2 2 ( 2) 4(
.
C
Подставим значение ω, ε и r в формулу (3), получим
a r
.
0,1 ( 4) 4 1,65(
Ответ: а = 1,65 м/с2.
Пример 3. Через блок в виде сплошного диска массой m = 80 г,
переброшена тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы
массой m1 = 100 г и m2 = 200 г (рис.). Определить ускорение, с которым
будут двигаться грузы. Трением и массой нити пренебречь.
Решение
Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила
упругости (сила натяжения нити).
23
Направим ось Х вертикально вверх и запишем для каждого груза уравнения движения (второй закон Ньютона) в проекциях на ось Х.
Для первого груза
аmgmT
; (1)
111
для второго груза:
аmТgmamgmT
. (2)
222222
Ускорения, с которым движутся грузы m1 и
m2 одинаковы, потому что гири связанны нитью
и составляют одну систему. На блок действуют
силы Т1 и Т2. Они приводят к вращению блока
под действием моментов этих сил. Запишем
уравнение вращательного движения
12
IrТT )(
, (3)
где I — момент инерции блока;
a
— угловое ускорение.
r
Согласно третьему закону Ньютона
.;
ТТТТ
2211
Комбинируя уравнения (1), (2) и (3), находим
( ) ( )
1
m g m a r m g m a r mr
2 2 1 1
2
a
2
,
r
(4)
откуда
)(
gmm
a
12
12
. (5)
2/
mmm
После вычислений получим а = 2,88 м / с2.
Ответ: а = 2,88 м / с2.
Пример 4. Ящик массой m1 = 20 кг соскальзывает по идеально
гладкой наклонной плоскости длиной ℓ = 2 м на неподвижную тележку
с песком и застревает в ней. Тележка с песком массой m2 = 80 кг может
свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном
24
направлении. Определить скорость U тележки с ящиком, если плоскость
наклонена под углом α =30º к рельсам.
Решение
При решении задачи используются два закона сохранения – закон
сохранения импульса и закон сохранения энергии.
Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго
взаимодействующих тел.
Система не замкнута, так как
на нее действуют внешние
силы: силы тяжести m1g и
m2g и сила реакции N2 (рис.).
Поэтому применить закон
сохранения импульса к си-
стеме ящик — тележка нельзя. Но так как проекции указанных сил на направление оси х, совпадающей с направлением рельсов, равны нулю, то проекцию импульса системы на это направление можно считать постоянной, т. е.
рррр
, (1)
хххх
2121
где
,
— проекции импульса ящика и тележки с песком в
ххрр21
момент падения ящика на тележку;
,
— те же величины после падения ящика.
ххрр21
Рассматривая тела системы как материальные точки, выразим в
равенстве (1) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что
р2x = 0 (тележка до взаимодействия с ящиком покоилась), а также что
после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью U:
x
2111
или
UmmVm )(cos
,
2111
UmmVm
)(
где Vi — модуль скорости ящика перед падением на тележку;
V
= V1 cosα — проекция этой скорости на ось х.
1x
)/(cos
Отсюда
mmVmU
. (2)
2111
Модуль скорости V1 определим из закона сохранения энергии:
25
2
2
2 sin
2 sin cos
м/ с)
20 80
2
Vm
ghm
1
11
,
где h = ℓ·sinα, откуда
V g
1
.
Подставив выражение V1 в формулу (2), получим:
U
m g
1
m m
1 2
.
После вычислений найдем:
20 2 9,8 2sin 30
U
o
cos30 0,767 (
o
.
Ответ: U = 0,767 м/с.
Пример 5. Маховик в виде сплошного диска радиусом R = 0,2 м и
массой m = 50 кг раскручен до частоты вращения n1 = 480 мин–1 и
предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился
через t = 50 с. Найти момент М сил трения.
Решение
Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением
времени (Mz = const), поэтому для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде
IM
где
zz
M
— момент внешних сил (в данном случае момент сил тре-
z
, (1)
t
ния), действующих на маховик относительно оси z;
I
— момент инерции маховика.
z
Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется
по формуле
2
mR
I
z
26
. (2)
Изменение угловой скорости Δω выразим через конечную п2 и
кг м с м Н м
Н м
50
Н м
1,5мR
кгm
1
мин
кгm
начальную п1 частоты вращения, пользуясь соотношением ω = 2πn:
)(222
nnnn
. (3)
121212
Подставив в формулу (1) выражения
z
2
I
и Δω, получим
z
tnnRmM
/)(
12
. (4)
Проверим, дает ли расчетная формула единицу момента силы. Для
этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их
единицы:
[ ][ ][ ] 1 1 1
2 2 1
m R n кг м с
[ ] 1
t с
1 1 1
2
.
Подставим в (4) числовые значения величии и произведем вычисления, учитывая, что п1 = 480 мин–1 = 480/60 с–1 = 8 с–1:
2
1
.
M
3,14 50 (0,2) (0 8)
z
Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает на маховик тормозящее действие.
Ответ:
M
Пример 6. Платформа в виде диска радиусом
180
1
вращается вокруг вертикальной оси с частотой
В центре платформы стоит человек массой
1
z
.
и массой
10
n
60
2
. Какую линейную
скорость V относительно пола помещения будет иметь человек, если он
перейдет на край платформы?
Решение
Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси
вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно
считать равным нулю. При этом условии проекция Lz момента импульса
системы платформа — человек остается постоянной:
zz
constIL
, (1)
.
27
I
2
V
R
1
1 1 1
с
мин 60с 6
где
— момент инерции платформы с человеком относительно
z
оси z;
ω — угловая скорость платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел,
входящих в состав системы, поэтому:
в начальном состоянии
а в конечном состоянии
z
z
III
,
21
III
.
21
С учетом этого равенство (1) примет вид
)()(
IIII
2121
. (2)
Момент инерции платформы относительно оси r при переходе человека не изменяется:
2
Rm
1
II
11
.
Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его
момент инерции
I
в начальном состоянии (в центре платформы) мож-
2
но считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы)
момент инерции человека
2
RmI
.
22
Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (ω = 2πn) и конечной угловой скорости (
RV
, где V — скорость человека относи-
тельно пола):
1 1
2 2
2 2 2
m R n m R m R
1 1 2
0 2
.
После сокращения на R2 и простых преобразований находим скорость:
mRn
V
1
. (3)
22mm
21
Произведем вычисления, предварительно переведя частоту в систему СИ:
10 10
п
28
2 3,14 1,5 180
м/с
180 2 60
BtAtx
BtAtx
V
6
1
Ответ: V = 1м/с.
1.3 Задачи для самостоятельного решения
1
101. Уравнение прямолинейного движения имеет вид
2
где А = 3 м/с; В = –0,25 м/с2. Начертить графики зависимости координаты и скорости от времени.
102. Движение точки задано уравнением
2
, где
А = 4 м / с; В = –0,5 м/с2. В какой момент времени скорость точки V рав-
на нулю? Найти координату и ускорение в этот момент.
103. Автомобиль прошел первую половину пути со скоростью
40 км / ч, вторую — со скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость.
104. Камень падает с высоты Н = 1200 м. Какой путь S пройдет
камень за последнюю секунду своего падения?
105. Дети перебрасываются мячом. На какую максимальную высоту он поднимается, если время полета от мальчика к мальчику составляет 2 секунды?
106. Точка движется по окружности с радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени задана уравнением S=Ct3, где
3
.
/1,0 ссмC
,
Найти нормальное и тангенциальное ускорение в тот момент вре-
мени, когда линейная скорость точки V = 0,3 м/с.
107. Две материальные точки движутся в соответствии с уравнениями
2
111
где
3
tСtBtAx
и
1
11
22
2
2
2
222
1
2
3
tСtBtAx
,
2
3
/16;/8;/4 смСсмВсмА
,
3
/1;/4;/2 смСсмВсмА
.
В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковы?
Найти скорости точек V1 и V2 в этот момент времени.
108. Тело брошено со скоростью Vo под углом α к горизонту.
Найти дальность полета и высоту, на которую поднимется тело, если
начальная скорость Vо = 15 м/с, угол α = π/6.
109. Колесо радиусом R = 5 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени задана уравнением
29
32
2 3
А рад; В рад / с; С рад / с , D рад / с .
50N
1
м/с
V
tDtCtBА
,
где
5 2 3 1
1
Определить угловую и линейную скорость точек, которые находятся на ободе колеса, а также нормальное и тангенциальное ускорение
этих точек.
110. Колесо автомобиля вращается равноускоренно. Сделав
1
4 сп
1
до
полных оборотов, оно изменило частоту вращения от
1
6 сп
2
. Определить угловое ускорение ε колеса.
111. Колесо, вращаясь равноускоренно, через N = 10 оборотов по-
сле начала движения имело угловую скорость
с
120
. Определить
угловое ускорение ε.
112. Колесо вращается с частотой п = 180 об/мин. В какой-то мо-
мент времени оно начало вращаться равнозамедленно, с угловым ускорением
. Через какое время колесо остановится? Найти число
23
с
оборотов колеса до остановки.
113. Вал вращается равноускоренно. Через время t = 1 мин. после
начала движения частота вращения вала равна п = 720 об/мин. Определить угловое ускорение ε и число оборотов N за этот промежуток
времени.
114. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
3
tCtBA
,
где А = 10 рад; В = 20 рад/с; С = -2 рад/с3. Определить полное
ускорение точки, которая находится на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения в момент времени t = 4 с.
115. Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что зависи-
мость угла поворота φ от времени задается формулой
1
2
tВА
,
где А и В — константы. Определить полное ускорение точки, которая находится на расстоянии r от оси вращения.
116. Шарик массой т = 100 г, который движется со скоростью
, упруго ударился о поверхность. Определить, как изменился
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]