Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория случайных процессов. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
5. Линейные преобразования случайных процессов
X
X
D
X
Рассмотрим элементарные случайные функции вида:
() ()tAt
A случайная величина, а
где
произвольная неслучайная функция.
Все возможные реализации элементарной случайной функции
графика функции
()t
изменением масштаба по оси ординат.
() ()tAt
получаются из
Математическое ожидание определяется формулой:
() () () ( ) ()mt M t MA t MA t
.
В частности, если
() ()tAt
представляет собой центрированный случайный процесс. Если () 0mt
() 0MA , то и
() 0mt
, т.е. элементарная случайная функция
, то ко-
вариационная функция тождественна корреляционной и определяется выражением:
(, ) () ( ) (, ) () ( ) ( () ( ))
KttMt t RttMt t MAtAt
12 1 2 12 1 2 1 2
() () ( ) () ( ) ( )
ttMA ttDA
12 12
2
Линейные преобразования с элементарными случайными функциями указанного вида выполняются очень просто:
() () () ()tLt LА t А Lt
Следовательно, если входной случайный процесс можно представить в виде суммы элементарных случайных функций, то описание выходного процесса упрощается.
Пусть задан случайный процесс: ( ) ( )
случайного процесса, ( )
n
суммы
() ()
Xt A t
kk
1
k
ны с дисперсиями
t – центрированный случайный процесс, представленный в виде
, где
()kt
;
k
– неслучайные функции.
tmt Xt
A
– центрированные некоррелированные случайные величи-
k
Определение 2: Представление случайного процесса ()
() ()()
Xt m t A t
()
x
, где ()
t в виде:
n
xkk
k
1
mt – математическое ожидание
x
Называется каноническим разложением случайного процесса.
81
Случайные величины
L
Теория случайных процессов
A
называются коэффициентами разложения.
k
Функции
Замечание 1: В сумме
()kt
координатными функциями разложения.
n
At
kk
1
k
возможно, что
()
n
.
Таким образом, каноническое разложение случайного процесса представляет собой разло-
жение по системе функций в виде конечной суммы или функционального ряда. В качестве
координатных функций разложения обычно используются тригонометрические функции
(синус, косинус), а в случае комплексного переменного – экспоненциальное представление
этих функций.
Определим реакцию линейной системы на случайный процесс, заданный каноническим разложением:
() () () ()
Yt L Xt L m t A t
n
xk
k
k
1
В силу линейности преобразования получим:
n
kk
1
k
и запишем выходной случайный процесс в ви-
Обозначим
() ()
Lm t m t
x
() () ( ())
Yt Lm t AL t
(()) ()
,
y
kk
x
tt
де разложения по системе элементарных случайных функций:
n
.
Если случайный процесс
() () ()
Yt m t A t
y
k
1
kk
()Xt допускает каноническое разложение, то его корреляци-
онная функция также выражается суммой вида:
n
(, ) () ( )
которая называется
Ktt D t t
x
12
каноническим разложением корреляционной функции.
k
1
kk k
12
Линейное преобразование случайного процесса, заданного каноническим разложением, подчиняется следующему правилу:
82
5. Линейные преобразования случайных процессов
X
X
X
X
K
Если случайная функция
гается линейному преобразованию
()Xt , заданная разложением по элементарным функциям, подвер-
(())LXt , то коэффициенты разложения остаются неиз-
менными, а математическое ожидание и координатные функции подвергаются тому же линейному преобразованию
Пример 5.6. Входной случайный процесс ()
() sin sin2 cos2.
ttAtAt
( ) 0, 3.DA
2
() 2 () 1Yt t Xt t .
12
Найти каноническое разложение и характеристики случайного процесса
3
Решение. Найдем характеристики входного случайного процесса ()
определением канонического разложения
(())LXt .
Известны дисперсии случайных величин:
( ) sin
mt t
x
t задан каноническим разложением
( ) 0, 2,DA
1
t . В соответствии с
. Чтобы определить корреляционную
функцию входного сигнала
(, ) () ()
K t t M Xt Xt
x
12 1 2
Запишем соответствующий центрированный случайный процесс:
() () () sin sin2 cos2 sin sin2 cos2
tXtmt tA tA t tA tA t
X
12 12
Тогда
( , ) sin 2 cos 2 sin 2 cos 2
KttMAtA tAtA t
X
sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2
Так как
,А A
12
Тогда корреляционная функция случайного процесса
12 1 1 2 1 1 2 2 2
t t MA t t MAA t t MA
121 12 12 1 22
2 2
– центрированные некоррелированные случайные величины, то
()0MAA
12
22
() () ()0,2MA DA M A
11 1
22
() () ()0,3MA DA M A
22 2
,
()Xt равна:
( , ) 0,2 sin 2 sin 2 0,3 cos 2 cos2
tt t t t t
12 1 2 1 2
x
Оператор, преобразующий случайный процесс
неоднородным, так как имеет вид:
()Xt в процесс ()Yt , является линейным и
83
Теория случайных процессов
K
K
() () () ()
Yt L Xt L Xt t
n
где
(()) 2 ()LXt t Xt и
3
() 1tt
.
В этом случае математическое ожидание выходного процесса определяется соотношением
(, )
() ( ( ()) ()
mt Lmt t
yx
, а корреляционная функция
нородного линейного преобразования
() ( ( ()) () 2 sin 1
mt Lmt t t t t
;
yx
( , ) 4 (0,2 sin 2 sin 2 0,3 cos 2 cos 2 )
tt tt t t t t .
12 1 2 1 2 1 2
у
(()) 2 ()LXt t Xt
y
:
tt
12
будет такой же, как и для од-
3
Вычислим дисперсию, положив в корреляционной функции выходного случайного процесса
ttt
12
:
() 4 0,2 sin 2 0,3 cos 2
Dt t t t
Y
22 2
Каноническое разложение выходного случайного процесса имеет вид:
() ( ()) () 2 () 1 2 sin sin2 cos2 1Yt LXt t t Xt t t t A t A t t
33
12
или
() 2 sin 1 2 sin2 2 cos2Yt t t t A t t A t t
3
12
Замечание 2: Число членов канонического разложения случайного процесса может быть не
только конечным, но и бесконечным. Кроме того, в ряде случаев применяются интегральные
канонические представления случайных функций, в которых сумма заменяется интегралом.
Линейные преобразования стационарных случайных процессов
Рассмотрим несколько теорем, полезных при работе со стационарными случайными процессами.
Теорема 4: Ковариационная функция производной
го случайного процесса ()t равна второй производной от ее ковариационной функции, взя-
дифференцируемого стационарно-
()'t
той со знаком минус:
() ()KK
'
''
.
84
5. Линейные преобразования случайных процессов
D
Теорема 5: Взаимная ковариационная функция дифференцируемого стационарного случай-
ного процесса ()t и ее производной
функции
K
ром (первом) по порядку месте:
, взятой со своим (противоположным) знаком, если индекс
() ()
KK
'
Т.к. взаимная ковариационная функция
равна первой производной от ковариационной
()'t
'
()K
'
() ()
KK
'
.
зависти только от , то стационарный слу-
чайный процесс и его производная стационарно связаны.
() ( )
Теорема 6: Ковариационная функция интеграла
tsds
ного процесса ()t , вычисляется по формуле:
ttt t
221 1
(, ) ( ) () ( ) () ( ) ()
Ktt t Kd tt Kd t Kd
12
2211
00 0
Следствие 1: Дисперсия интеграла
t
() ( )
tsds
0
от стационарного случайного процесса
'
стоит на вто-
'
t
0
от стационарного случай-
.
t
() 2 ( ) ( )
()t , вычисляется по формуле:
ttKd
0
Пример 5.7. Пусть задана ковариационная функция
ного процесса
Решение: Согласно теореме 1
()t . Найти ковариационную функцию и дисперсию производной
() ()KK
'
''
, продифференцируем дважды данную ковари-
ационную функцию, откуда дисперсия
(0) 02DK
''
.
KK e e
'
Пример 5.8. Задана ковариационная функция
процесса
()t . Найти взаимную ковариационную функцию
''
и его производной.
.
2
0,5
2Ke
стационарного случай-
'
()t .
''
22
0,5 0,5
1Ke
, стационарного случайного
()K
случайного процесса ()t
'
2
122
Решение: Используем формулу
() ()
KK
'
'
.
85
Теория случайных процессов
D
X
X
X
X
Пусть 0 , тогда и
1)
()Ke
0 :
2)
Пусть 0 , тогда
0 :
'
()Ke
'
;
;
() 1Ke
() 1Ke
и
, '()Ke
, '()Ke
1
Пример 5.9. Задана ковариационная функция
цесса
()t . Найти дисперсию интеграла
()
K
t
() ( )
tsds
0
1
.
Решение: По следствию из теоремы 6 дисперсия интеграла
го случайного процесса
()t
, вычисляется по формуле:
() 2 ( ) ( )
, окончательно имеем при
, окончательно имеем при
стационарного случайного про-
2
t
() ( )
tsds
0
t
ttKd
0
от стационарно-
. Тогда можем
записать:
ttt t
() 2 ( ) 2 2 2 ln 1
D t t d t d d tarctgt tarctgt t
000 0
1
1
12
2
11 1
22 2
d
2
1
Задачи по теме для самостоятельного решения
1. Задано математическое ожидание
математическое ожидание ее производной.
2. Задано математическое ожидание
тематическое ожидание случайного процесса:
3. Задана ковариационная функция
Ktt e
ковариационную функцию его производной.
mt t t
X
mt t
X
12
3
() 2 1
() 4
2
случайного процесса ()
() ()Yt t X t t
tt
,()5
21
случайного процесса ()
t . Найти ма-
.
2
2'
случайного процесса ()
2
.
t . Найти
t . Найти
4. Зная математическое ожидание
матическое ожидание интеграла
() 3 1
mt t
X
() ( )
Yt Xsds
2
случайного процесса ()
t
0
.
t , найти мате-
86
5. Линейные преобразования случайных процессов
X
K
t
5. Задан случайный процесс () cos
tUe t
, где U – случайная величина,
Найти математическое ожидание интеграла
t
() ( )
Yt Xsds
0
() 5.
mt
U
.
6. Дан случайный процесс () 2 2t cht U sht , случайная величина
() ().tt
чайного процесса
функцию
7. Дан случайный процесс
() ( )
не интегрируя
8. Дан случайный процесс
'
(, )Ktt
tsds
(, )Ktt
, дисперсию
12
t
0
, дисперсию
12
Найти математическое ожидание
, нормированную ковариационную функцию
()Dt
()t , не дифференцируя ()t
(, )Ktt
,12
и нормированную взаимную ковариационную функцию
() ( 1)tt U , где
2
. Найти математическое ожидание
, взаимные ковариационные функции
()Dt
()t .
U
tt
(4)
,()
где
2
, ковариационную функцию
()mt
. Найти взаимную ковариационную
,3,5UN и случайный процесс
, ковариационную функцию
()mt
(, ), (, )KttKtt
,12 ,12
2UP и случайный процесс
0,4UE ,
(, )rtt
() ( )
tsds
слу-
12
(, )rtt
,12
t
0
.
.
Найти ковариационную функцию
ционную функцию
случайного процесса () () ()ttt
(, )rtt
12
9. Дана ковариационная функция
процесса
()t . Найти ковариационную функцию, дисперсию производной
ную ковариационную функцию
10. Дана ковариационная функция
ковариационную функцию
t
() ( )
tsds
0
0 tt
21
, взаимную ковариационную функцию
): а)
K
72
19
2
; б)
(, )Ktt
12
, дисперсию
, нормированную ковариа-
()Dt
, не интегрируя ()t
() exp 3 1sin3K
K
.
'
стационарного случайного процесса ()t . Найти
()K
e
дисперсию
.
(),Ktt
1, 2
стационарного случайного
случайного процесса
()Dt
(, )Ktt
,12
(в случае б лишь при
'
()t
.
, взаим-
87
Теория случайных процессов
В
D
D
6. Спектральная плотность
Информацию о случайном процессе, которую дают корреляционная и ковариационная функции,
можно получить и через так называемую
спектральную плотность
используется для стационарных случайных процессов. Рассмотрим подробнее этот вопрос.
, которая широко
()S
Спектральное разложение стационарного случайного процесса
В предыдущем разделе 5 было сформулировано понятие канонического разложения случайного процесса, заданного на конечном интервале, и указано, что если случайный процесс
()t
допускает каноническое разложение, то его ковариационная функция также имеет каноническое разложение. Следовательно, существует связь между характером ковариационной функции и внутренней структурой соответствующего ей случайного процесса. Рассмотрим подробнее этот вопрос.
()t
Пусть дан
стационарного случайного процесса ()t
Для
;ТТ каноническое разложение имеет вид:
стационарный случайный процесс.
, заданного на конечном интервале
() () cos( ) sin( )
tmt A tВ t
kkkk
0
k
,
где
2
,
2TT
Коэффициенты
k
A
и
k
( 1,2,..., , ...kn ) – центрированные некоррелированные случай-
k
,
1
1k
ные величины, причем дисперсии одинаковы для каждой пары случайных величин с од-
() ()
ним и тем же индексом k :
Дисперсии
при различных k определяются формулами:
k
T
1
DKd
0
T
ADBD
kkk
,
()
0
DK d
.
T
2
kk
T
()cos( )
0
при 0k .
88
6. Спектральная плотность
В
D
D
Координатными функциями канонического разложения являются функции
sin ( )kt
при различных
.
k
cos ( )kt
и
Разложение такого рода называется
спектральным разложением стационарного случай-
ного процесса.
Спектральное разложение изображает стационарный случайный процесс в виде разложения
, ,..., ,...
на гармонические колебания различных частот:
лебаний
A
и
k
являются случайными величинами.
k
12
k
, причем амплитуды этих ко-
Спектральному разложению стационарного процесса соответствует разложение в ряд его
корреляционной функции, которая, по определению, является четной, т.е.
() cos( )
KD
Определим дисперсию случайного процесса
kk
0
k
()t
, заданного спектральным разложением.
.
() ( ):KK
Используя свойство дисперсии суммы некоррелированных случайных величин и свойства ковариационной функции, можем записать:
( ) ( , ) (0) cos ( 0)
DKttK D D
Совокупность дисперсий
динаты
– спектральными линиями, соответствующими частотам
k
называют спектром стационарного случайного процесса. Ор-
k
kk
00
kk
k
.
k
89
Теория случайных процессов
D
Таким образом, дисперсия стационарного случайного процесса равна сумме дисперсий всех
гармоник ее спектрального разложения.
Замечание 1: Из формулы
() cos( )
KD
kk
0
k
видно, что дисперсия стационарного слу-
чайного процесса ()t, некоторым образом распределена по различным частотам: одним ча-
стотам соответствуют бóльшие дисперсии, другим – мéньшие.
Спектральное разложение на конечном интервале дает только приближенное описание стационарного процесса. При построении разложения мы получаем спектр дисперсий случайного процесса в виде ряда отдельных дискретных линий, разделенных равными промежутками
(«прерывистый» или «линейчатый
» спектр). Чем больший участок времени мы будем рас-
сматривать, тем полнее будут наши сведения о случайном процессе. Поэтому от спектрального разложения на конечном участке предельным переходом при T можем получить
спектральное разложение на бесконечном интервале.
Если T , то
1
0
Т
, поэтому расстояния между частотами
, на которых строится
k
спектр, будут неограниченно уменьшаться. При этом дискретный спектр будет приближаться к непрерывному, в котором каждому сколь угодно малому интервалу частот
ствует элементарная дисперсия ()D
Отношение
()
S
k
k
представляет собой среднюю плотность дисперсии на участке .
.
соответ-
Если выполнить графическое построение, то получим ступенчатую фигуру, напоминающую
гистограмму статистического распределения. Будем неограниченно увеличивать интервал
,T
тогда 0
спектра, а сама функция
тральной плотностью стационарного случайного процесса ()t
, и ступенчатая кривая будет неограниченно приближаться к плавной кривой
. Эта кривая изображает плотность распределения дисперсии по частотам непрерывного
()S
называется спектральной плотностью дисперсии, или спек-
()S
.
Определение 1. Предел отношения дисперсии, приходящейся на данный интервал частот, к
длине этого интервала, когда длина интервала стремится к нулю, называется спектральной
плотностью стационарного случайного процесса ()t
.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]