Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория случайных процессов. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
1. Определение и описание случайных процессов
p
p
x
a) при 1t получаем в сечении случайную величину:
b) при
tU U
1
получаем в сечении другую случайную величину:
t
2
( , ) ( , ) arcsin
tU U
1
2
1(,) (,1) arcsin ;
1
2
2
.
6
Пусть, например, U дискретная случайная величина, заданная рядом распределения:
u
i
i
Тогда обозначим
VU U
1 2
12
1( ,1) arcsin
– это случайная величина, функционально
2
12
связанная с U и имеющая следующий закон распределения:
v
i
i
2
12
12
Или положим, что U – непрерывная случайная величина с плотностью вероятности:
1
,4 6
x
() ;
px
U
2
0,
else
тогда т.к.
найдем плотность распределения вероятностей V . Пары точек
yxx
2
находится однозначно:
найти по известной формуле:
VU
– случайная величина, связанная функциональной зависимостью сU ,
2
, данная функция монотонна в интервале
2
yy
py p y y
() (()) ()
VU
, тогда плотность случайной величины V можем
,UV
лежат на прямой
4, 6
, поэтому обратная функция,
'
, т.к.
'
2
, можем записать:
y
11
Теория случайных процессов
py p y
22 1
() ( )
VU
, где
2,3y
. Таким образом, V – непрерывная, равномерно
распределенная случайная величина, для которой можем записать окончательно:
1
py
()
V
0,
,2 3
Пример 1.2. Случайный процесс задается формулой
случайная величина, возможные значения которой принадлежат интервалу
Найти реализации случайного процесса
ний, в которых величина
приняла значения: а) 1
(,)t , полученных при проведении двух испыта-
Решение. Реализацией является неслучайная функция
сированном значении случайной величины, в нашем случае
y
else
(,) 2 1tt t
; б) 2 .
.
(,)t
2
, которая получается при фик-
0
, где 0t и
1, 3
, т.е.
.
–
а) при 1 получаем такую реализацию:
б) при 2 такую:
(2, ) 2 4 2ttt
2
(1, ) 2 1ttt
.
2
;
Очевидно, что все возможные реализации представляют собой параболы, ветви которых
()Ot
направлены вверх и ось симметрии параллельна оси
. Параметр у каждой из парабол
разный, поэтому они все будут различаться между собой размерами, точнее размахом ветвей.
Пример 1.3. Пусть случайный процесс
(,) 5, 0,2tUt t
величина, равномерно распределенная на отрезке 0,1
лизаций случайного процесса
(,)t .
, где
. Описать множество сечений и реа-
– случайная
0,1UR
Решение:
1. Так как известно, что
, можем записать ее плотность распределения:
0,1UR
(x) .
p
U
Зафиксируем значение параметра
(,1) () 5U , найдем закон распределения полученной случайной величины 5VU
1, 0 1
0,
, получаем в сечении случайную величину
1tt
1
else
x
.
12
1. Определение и описание случайных процессов
y
y
x
y
Пары точек
интервале
плотность случайной величины V можем найти по известной формуле:
py p y y
() (()) ()
VU
5, 6y
.
Возьмем другое значение параметра
(,2) 2 5VU , найдем ее закон распределения. Пары точек
25
xx
находится однозначно:
находим по формуле:
,UV
0,1
лежат на прямой
, поэтому обратная функция, находится однозначно:
'
, т.к.
, данная функция строго монотонна в интервале
py p y y
VU
'
52y
() (()) ()
y
5
xx
1y, можем записать:
, получаем в сечении случайную величину
2tt
2
, поэтому плотность случайной величины V также
, данная функция строго монотонна в
5xy y
() 1 (y 5) 1,
py p
VU
,UV
лежат на прямой
0,1
, обратная функция,
'
, т.к.
'
1
y
, можем записать:
2
, тогда
где
y5
py p
Зафиксируем значении параметра
Пары точек
интервале
V :
где
VU
(, ) 5
222
1
U
22
py p y y
() (()) ()
VU
5, 5
y
11
() ( )
Таким образом, путем нехитрых рассуждений приходим к выводу, что любая случайная величина, получающаяся в сечении процесса, при фиксации
, найдем закон распределения полученной случайной величины
,UV
0,1
1
2
лежат на прямой
, обратная функция:
.
, где
'
, т.к.
5, 7y
.
tt
'
1
3
2
x
5
2
210xy y
2y, можем записать:
, получаем в сечении случайную величину
x
, функция также строго монотонна в
, тогда плотность случайной величины
( ) 2 (2 10) 2
py p y
VU
, будет иметь равномерное
0,2t
U
5.
V
2
,
распределение в интервале
отрезок
0,1
в отрезок
5, 5 t
и
,5,5 0,2tt
()
V
1
tpy
0, 5,5
13
. Т.е. преобразование
yt
,5,5
yt
.
5VUt
переводит
Теория случайных процессов
2. Как указывалось выше, реализацией является детерминированная функция
(,),t
0
кото-
рая получается при фиксированном значении случайной величины, в нашем случае .U Реа-
лизациями рассматриваемого процесса
(,) 5, 0,2tUt t
прямой с угловым коэффициентом выглядит так:
b – отрезок, отсекаемый прямой от оси
0, 5
тами
ции будут ограничены прямой
, и имеют случайный угловой коэффициент, равный ()U
(1, ) 5tt, снизу прямой, параллельной оси Ot : (0, ) 5t.
Oy ). Все реализации выходят из точки, с координа-
ykxb
, где k – угловой коэффициент,
будут прямые (уравнение
. Сверху все реализа-
Задачи по теме для самостоятельного решения
1. Описать семейство реализаций элементарного случайного процесса
где U – случайная величина, принимающая только положитель-
,(,) , 0,2ttUt
ные значения.
2. Пусть случайный процесс задается формулой
ная случайная величина, принимающая значения 1 и 2 с вероятностью
распределения случайных величин, соответствующих фиксированным значениям аргу-
мента
t : а) te ; б)
2
te .
14
() ln, 1,tU tt e
2
, где U – дискрет-
1
. Найти законы
2
1. Определение и описание случайных процессов
X
3. Пусть случайный процесс
равномерно распределенная на отрезке
случайного процесса
4. Пусть случайный процесс
(,) , 0,2tUtt
0,2 . Описать множество сечений и реализаций
(,)t .
(,) , 0,1tUtt
щая экспоненциальное распределение с параметром 1
ций случайного процесса
(,)t . Найти закон распределения случайной величины, со-
, где
, где U – случайная величина, имею-
. Описать семейство реализа-
ответствующей фиксированному значению аргумента t : а) te
Описать семейство реализаций элементарного случайного процесса
5.
– случайная величина,
0,2UR
; б)
2
te .
() , 0
te t
tU
где U – случайная величина, имеющая экспоненциальное распределение с параметром
1 . Найти закон распределения случайной величины, соответствующей фиксирован-
ному значению аргумента 1t .
6. Описать семейство реализаций элементарного случайного процесса
,
t
,,
YtXe
величина, а
7. Описать семейство реализаций элементарного случайного процесса
() cos sin
tU atV at, где
личина.
8. Случайный процесс ()t формируется так: на оси Ot имеется простейший поток собы-
где X – равномерно распределенная на отрезке
и t – положительные параметры.
,UV – система случайных величин, а – неслучайная ве-
0,1
случайная
тий с интенсивностью . Случайный процесс попеременно принимает значения +1 и –
1, при наступлении очередного события в простейшем потоке случайный процесс скачком меняет свое состояние с +1 на –1 или наоборот. Описать семейство реализаций
данного случайного процесса.
9. Случайный процесс ()t
формируется так: на оси Ot имеется простейший поток собы-
тий с интенсивностью . В момент наступления i-го события случайный процесс при-
нимает случайное значение
начальный момент времени 0:t
, сохраняя его до следующего события в потоке. В
X
i
(0)XX
. Описать семейство реализаций данного
0
случайного процесса.
15
Теория случайных процессов
x
2. Законы распределения случайных процессов
В теории вероятностей обсуждалось, что универсальной и полной характеристикой любой
случайной величины является ее функция распределения
()FxP x
В предыдущем разделе 1 мы обсудили, что при фиксации аргумента
.
t , получаем в сечении
случайную величину, которая имеет свой закон распределения.
Рассмотрим сечение
Определение 1. Функция вида:
случайного процесса (,)t
(,)t
1
(,) ()Fxt P t x
11
в момент времени
11
.
t
1
называется одномерной функцией
распределения случайного процесса.
Замечание 1: Одномерная функция распределения это вероятность такой реализации слу-
чайного процесса, которая в момент времени
принимает значение не превосходящее
t
1
.
1
Одномерный закон распределения, конечно, не является полной характеристикой случайного
процесса. Одномерная функция распределения характеризует закон распределения каждого
(одного) произвольно выбранного сечения случайного процесса, но не учитывает взаимную
зависимость между различными сечениями. Поэтому определим двумерный закон распределения, являющийся совместным законом распределения двух случайных величин, полученных при фиксации соответственно двух
Зафиксируем два произвольных значения
моментов времени t .
:t
и
.
t
t
1
2
Определение 2. Функция вида:
называется
1212
,, ,(, ) () ()Fxxtt P t x t x
112 2
двумерной функцией распределения случайного процесса.
Двумерная функция распределения дает более полное представление о процессе, чем одномерная, но существо процесса все же не исчерпывает. Увеличивая число сечений, и рассматривая совместное распределение получающихся в сечениях случайных величин, мы все точнее и точнее будем характеризовать процесс.
Для
n
,, ....,
tt t
12
сечений случайного процесса, полученных фиксацией
.
n
моментов времени
n
:t
16
2. Законы распределения случайных процессов
Определение 3.
называется
Замечание 2:
Функция вида:
( ,..., , , ,...., ) ( ) ,...., ( )
Fx x t t P t x t x
11
-
мерной функцией распределения
n
-мерная функция распределения случайного процесса (,)t это вероятность
n
nn
11
nn
случайного процесса (,)t .
(1.1)
того, что любая из реализаций случайного процесса, в моменты времени
значения, которые не превосходят соответственно величин
xx
1
,...,
.
n
,....,
tt
1
принимает
n
Будем считать, что случайный процесс (,)
делений (1.1) для
Замечание 3:
n .
В общем случае случайный процесс не может быть полностью определенным,
t задан, если задано семейство функций распре-
потому что совокупность сечений является несчетной, и поэтому совместный закон распределения всех сечений построить не представляется возможным. Но к счастью очень часто
для задач практики достаточно знать конечномерный закон распределения случайного процесса, причем не очень высокого порядка, например, второго. Далее в последующих главах
будут более подробно обсуждаться эти вопросы
Функция
ваются
условиями согласованности
(,, , ,)
Fxt xt
11
должна удовлетворять очевидным соотношениям, которые назы-
nn
:
.
17
Теория случайных процессов
F
p
p
, (1.2)
, (1.3)
где
,,...
ii i
12
n
(,, , ,) (,, , ,,, , ,, )
Fxt xt Fxt xt t t
11 11 1
nn nn n np
(,, , ,) ( ,, , , )
Fxt xt Fxt x t
11
nn i i i i
11
– любая перестановка индексов1, 2, . ..n для n.
nn
Сформулируем ещё одно определение случайного процесса.
Определение 4. Случайным процессом (,)t
, заданным на множестве ()Tt T называется
семейство распределений (1.1), удовлетворяющих условиям согласованности (1.2) и (1.3).
Набор функций
( , ,..., , )
Fxt xt
11
nn
для
1, 2 , .. .n
называют конечномерным распределением
случайного процесса (,)t .
Определение 5. Если функция
( , ,..., , ) ( , ,..., , ) ... ;
xt x t p yt yt dy dy
11 11 1
( , ,..., , )
Fxt xt
11
x
1
nn nn n
nn
x
n
допускает такое представление:
где
то
(,,..., ,)
yt y t
11
(,,..., ,)
yt y t
11
– некоторая измеримая неотрицательная функция такая, что
nn
( , ,..., , ) ... 1
pyt yt dydy
называется
nn
-мерной плотностью распределения случайного процес-
n
11 1
nn n
,
са (,)t .
Другими словами: Если существует смешанная частная производная от
распределения случайного процесса:
n
( ,... , ,..., )
Fx xt t
То она называется
При этом
условия согласованности имеют вид:
-мерной плотностью распределения случайного процесса.
n
nn
11
....
xx x
12
n
( ,... , ,..., )
px xt t
nn
11
-мерной функции
n
( , ,..., , ) ( , ,..., , , , ,..., , ) ...
p x t x t p y t y t y t y t dy dy
11 11 1 1 1
nn nn n n npnp n np
( , ,..., , ) ( , ,..., , )
pxt xt pxt xt
11
nn ii ii
11
nn
.
,
18
2. Законы распределения случайных процессов
p
p
p
y
y
y
Замечание 4: Условия согласованности, это по сути условия симметрии, т.е. плотность
распределения (равно как и функция распределения) должна быть одной и той же при любом
, ,...,
выборе значений аргумента
tt t
12
должны выполняться соотношения
. Для любой перестановки
n
( , ,..., , ) ( , ,..., , ).
pxt xt pxt xt
11
nn ii ii
11
,,...
ii i
12
nn
из чисел 1,2,..., n
n
Замечание 5: Из курса теории вероятностей известно, что вероятность попадания одномер-
ной случайной величиныY в бесконечно малый интервал yпропорциональна произведе-
()
py
нию одномерной плотности
на величину интервала y
Y
. Рассмотрим небольшой про-
межуток
,yyy
. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Y примет зна-
чение из этого промежутка, равна (используя свойство функции распределения):
()()Py Y y y Fy y Fy
Рассмотрим отношение этой вероятности к длине промежутка, т.е. среднюю вероятность,
приходящуюся на единицу длины. Устремив
0y , в пределе получим производную от
функции распределения:
Fy y Fy Py Y y y
lim lim ( ) ( ),
00
yy
() ()py F y
где
Отношение
'
функция плотности распределения вероятностей случайной величины.
Py Y y y
y
на промежуток длиной
yy
можно трактовать как количество вероятности, приходящееся
y
. А в пределе при 0y
щееся на бесконечно малый промежуток
, как количество вероятности, приходя-
y
. Используя известную теорему математического
'
Fy py
анализа, можем из выражения:
Py Y y y
y
() ()
yy
Y
()Py Y y y py y
.
, где ()y – бесконечно малая функция, или
lim ( )
0
y
Давайте разберемся, что описывает совместная n
(,,..., ,)
yt y t
11
nn
случайного процесса (,)t
?
y
y
Y
-мерная плотность распределения
записать:
Py Y y y
Эта функция пропорциональна вероятности попадания траектории случайного процесса в
«малые ворота»
около значения
1
в момент времени
1
t
, в «малые ворота»
1
около
2
19
Теория случайных процессов
y
y
y
P
g
значения
времени
в момент времени
2
t
, или математически:
n
( ) ,...., ( ) ( , ,..., , ) ....
ytyyytyypytytyy y
1111 11 12
t
, и т.д. в «малые ворота»
2
nnnn nn n
около значения
n
в момент
n
В курсе теории вероятностей рассматривались
характеристические функции, которые яв-
ляются удобным способом задания случайных величин. Описание на языке характеристических функций часто является более предпочтительным способом задания для случайных
процессов.
Характеристическая функция конечномерного распределения вероятностей случайного
процесса определяется также как для многомерных случайных величин:
( , ,..., , ) exp ( ) exp ( , ,..., , ) ... .
u t u t M i t u i x u p x t x t dx dx
11 11 1
nn k k kk nn n
nn
11
kk
При решении многих задач приходится иметь дело с несколькими случайными процессами.
Так, например, при изучении погоды приходится совместно рассматривать такие случайные
процессы: изменение температуры воздуха, изменение влажности, изменение давления и т.д.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]