Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория случайных процессов. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
8. Основные классы случайных процессов
Пусть . Тогда случайная величина распределена нормально с
2.
нулевым математическим ожиданием и дисперсией
MWt Wt t t
3.
Реализации непрерывны по на .
Винеровский случайный процесс является одновременно и процессом с независимыми при-
ращениями, и гауссовским случайным процессом. Если , то винеровский процесс называется
Винеровский процесс инвариантен относительно некоторых преобразований фазовой и вре-
менной шкал. Так, если – винеровский случайный процесс, то для
стандартным.
ttT
10ii
2
,Wt
0
Некоторые полезные свойства винеровского процесса
11ii ii
,Wt
.
t
Wt Wt
0,T
MWt Wt
1ii
ii
1
1
0
и случайные процессы:
Wt W
Также являются винеровскими.
Пример 8.3. Показать, что корреляционная функция винеровского процесса имеет вид:
Решение:
1.
ведем искусственные преобразования под знаком математического ожидания, добавим
0
,,
Пусть . По определению корреляционной функции: Про-
,,XttW
,, ,XtWtsWs
tt
0s
12
t
2
1
t
(, ) min ,
Rtt tt
12 1 2
w
2
(, )
R tt MWt Wt
12 1 2
w
2
Wt
Далее проводим простые алгебраические преобразования:
и вычтем его же:
1
(, )
R tt MWt Wt MWt Wt W t W t
12 1 2 1 2 1 1
w
111
22
Теория случайных процессов
R
R
R
(, )
R tt MWt Wt MWt Wt W t W t
12 12 12 1 1
w
MWt Wt Wt W t
Распишем последнее выражение, используя свойство математического ожидания суммы
случайных процессов:
(, )
tt MWt Wt Wt W t MWt Wt Wt MW t
12 1 21 1 121 1
w
Можем переписать так:
В силу того, что все приращения винеровского процесса независимы, используем опять
свойство математического ожидания произведения случайных процессов:
M Wt Wt Wt Wt MWt Wt MWt Wt
Т.к. , то
MWt Wt
ii
10 21 10 21
121 1
(, )
tt M Wt Wt Wt Wt MW t
w
0
1
2
22
12 10 21 1
10 21
22
2
0MWt Wt Wt Wt
И тогда или иначе
Т.к. по определению , то у нас окончательно:
(, ) 0
tt MWt Wt t t t t
12
w
Пусть . Тогда проведя аналогичные предыдущему рассуждения, получим:
2.
(, )
R tt MWt Wt MWt Wt W t W t
12 1 2 1 2 2 2
w
MWt Wt Wt W t MWt Wt MWt Wt MW t
MW t MWt Wt t t t
Объединяя оба выражения в одно, окончательно можем записать:
(, )
Rtt MW t
12 1
w
tt
21
212 2 20 12 2
222
221202
2
MWt Wt t t
10 101 1
2
2 2
2
(, )
R tt MWt Wt
12
w
2
11ii ii
(, ) min ,
Rtt tt
12 12
w
22
2
10
2
Это корреляционная функция винеровского процесса.
Пример 8.4. Показать, что винеровский процесс не дифференцируем в среднем квадратиче-
ском.
112
8. Основные классы случайных процессов
Решение: По определению производная слева:
(, ) (,)
Wt tWt
MM
lim lim
00
tt
t
2
1
2
t
W( , ) ( , )
ttW t
2
Т.к. приращения винеровского процесса распределены нормально, то
W( , ) ( , )ttW tMtttt
11
Тогда
lim lim lim
ttt
000
W( , ) ( , )
Mt
22
tt
ttW t
2
2
22
2
2
t
Аналогично для правой производной:
(, ) (,)
Wt tWt
MM
lim lim
tt
00
lim lim
tt
00
1
2
2
t
t
t
2
2
t
1
t
ttW t
2
W( , ) ( , )
2
Действительно винеровский процесс не дифференцируем в среднем квадратическом.
Пуассоновский процесс
(частный случай процесса с независимыми приращениями)
Определение 6. Пуассоновским процессом с параметром называется скалярный слу-
,,ttR
чайный процесс , обладающий следующими свойствами:
,0 0
1.
1, , 1, , . . .
ntTkntt t
2.
случайные величины
случайная величина распределена по закону Пуассона с
3.
kn
(),()(), ()(),...,()()
ttt tt tt
121 32 1
,:0tt T t t
12 1 2
12
nn
() ()tt
21
являются независимыми;
0
параметром
:tt
21
tt
() ()
Pt t k e
21
21
!
k
k
tt
21
113
Теория случайных процессов
В разделе непрерывность случайных процессов в
примере 4.3 было показано, что Пуассо-
новский процесс непрерывен в среднем квадратическом. Покажем теперь, что он не дифференцируем в среднем квадратическом.
Пример 8.5. Показать, что пуассоновский процесс не дифференцируем в среднем квадрати-
ческом.
Решение:
1.
Согласно теореме о необходимом и достаточном условии дифференцируемости случайно-
tT
'
(,)t
(,)t
()mt
го процесса: для того, чтобы случайный процесс был дифференцируемым в каж-
дой точке , а для случайной величины существовало математическое ожидание
tT
и дисперсия, необходимо и достаточно, чтобы функция была дифференцируема в каж-
дой точке и существовала вторая обобщенная смешанная производная от ковариацион-
функции при .
ная
tT
(, )Ktt
12
12
tt t
Найдем характеристики случайного процесса:
2.
11
kk
()
mt e e e t
kk k
00 0
По определению:
Тогда у нас при :
(,) ()()()() ()()()()()()
Ktt M t t mt mt M t t t t mt mt
Mt t t t mtmt
12 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2
() ( ) () () () ()
121 1 1 2
k
tt t
ke t e t t
tt
12
t
!1! 1!
kk k
(, )Ktt M t t M t M t
12 1 2
12
2
t
ttt
22
() () () () () ()
M t t t M t mt mt
121 1 1 2
2
В преобразованиях использовали свойство, что математическое ожидание суммы случайных
величин равно сумме их математических ожиданий.
При проведении дальнейших преобразований учтем, что для Пуассоновского процесса:
() 0,t
0
, , , т.е.
() ()Mt t tt
21 21
22
() () ()Mt DtMt
11 1
() ()Mt Dt t
111
222
()Mttt
ское ожидание произведения независимых случайных величин, равно
тематических ожиданий. У нас независимыми являются приращения Пуассоновского про-
цесса и .
111
() ()tt
10
. Также используем свойство математического ожидания: математиче-
() ()tt
21
произведению их ма-
114
8. Основные классы случайных процессов
K
K
K
K
Используя все вышесказанное, продолжим:
(, ) () ( ) () () () ( )
Ktt M t t t M t mt mt
12 1 2 1 1 1 2
() () ( ) () () () ()
Mt tM t t Mtmtmt
10 21 1 1 2
ttt t t tt tt t t t tt t
12111 12 12111 121
Таким образом получили, что
Аналогично рассуждая, при , получим:
(,) ()() ()() ()()()() ()()
Ktt M t t mt mt M t t t t mt mt
12 12 12 12 2 2 12
() () () () () ()
Mt t t t mtmt
Т.к. , , ,
т.е. .
() 0,t
0
222
()Mt t t
222
ttt t t tt tt tt t tt t
2122212 21222122
212 2 1 2
() ()Mt t tt
12 12
(,) ()()() () () ()
KttMtttMtmtmt
Mt tM t t Mt mtmt
12 2 1 2 2 1 2
() () () () () () ()
20 12 2 1 2
22 2 2 22 22 2
(, )
tt t
12 1
tt
21
2
22 2 2 22 22 2
() () () () () ()
Mt t t Mtmtmt
212 2 1 2
22
() () ()Mt Dt Mt
22 2
2
2
2
2
22
2
() ()Mt Dt t
222
Следовательно,
Покажем по определению, что не существует второй обобщенной смешанной производной
3.
от ковариационная функции при :
22
(, ) (,)
Ktt Ktt
tt t
12
lim ( , ) (, ) ( ,) (,)
0
t
lim
0
t
Использовали, полученный результат, что при : , тогда т.к. , то
(, ) ( ,)
tt t K t tt t
(, ) ( , )
(, ) min ,Ktt tt
12 12
12
1
D t tt t K tt t K t tt D tt
2
t
1
2
t
2
(,)
Ktt
22 2
tt tt
(, )Ktt
12
lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
K t tt t K tt t K t tt K tt
2
0
t
ttt
12
tt ttt
(, )
tt
12
, и , поэтому окончательно:
1
lim lim lim
000
ttt
tt t K t tt
tt ttt
tt t
12 1
t
tt t
Т.е. показали, что Пуассоновский процесс не дифференцируем в среднем квадратическом.
115
Теория случайных процессов
x
p
Задачи для самостоятельного решения по всем темам
1. Дан случайный процесс
случайная величина,
функцию распределения случайного процесса
2. Случайный процесс состоит из горизонтальных отрезков единичной длины, орди-
наты которых независимые случайные величины с плотностью
Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции процесса .
Определить, является ли данный процесс стационарным, по крайней мере, в широком
смысле.
UV
3. и независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале
и соответственно. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию
,ab
корреляции процесса . Является ли этот процесс стационарным?
,cd
() ( ) , ,tttbt
, где - произвольная одномерная
t
и b – некоторые фиксированные числа. Записать одномерную
0
()t
()tUVt
0
()t
.
() .
xe
x
1
()t
4. Случайный процесс задан в виде , где – неслучайная вели-
чина, и некоррелированные случайные величины, равномерно распределенные
в интервалах и соответственно. Найти математическое ожидание, диспер-
сию и функцию корреляции данного процесса. Является ли данный процесс стационар-
ным?
5. Найти функцию ковариации процесса виде , где – неслучай-
ная величина, – стационарный случайный процесс с математическим ожиданием
ная на отрезке , и независимые. Является ли этот процесс стационар-
ным?
6. Является ли стационарной последовательность попарно независимых одинаково рас-
пределенных случайных величин?
UV
1,1
()t
и функцией ковариации , – случайная величина, равномерно распределен-
m
0, 2
2, 2
()t
() cos sintU tV t
()K
() () costt t
116
Задачи для самостоятельного решения по всем темам
t
R
R
x
7. Найти функцию взаимной ковариации процесса и его второй производной, если про-
цесс имеет математическое ожидание равное и функцию ковариации
(, ) .
Kts e
8. Пусть и – независимые случайные процессы с корреляционными функция-
ми и , соответственно. Найти корреляционную функцию процесса
() () ()ttt
()t
()
ts
()t
1
(, )
ts
1
12
()t
2
2
.
(, )
ts
9. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции случайного про-
цесса , где имеет нормальное распределение с нулевым матема-
тическим ожиданием и единичной дисперсией, – случайная величина, равномерно
распределенная на отрезке .
10. Пусть – нормальная случайная величина с функцией распределения .
Найти двумерное распределение случайного процесса , где
() costX tY
X
0, 2
Y
a
()tt
.tR
11. Случайный процесс , где и некоррелированные случай-
()
ttUe Ve
tt
ные величины с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями и
, и неслучайные величины. Найти математическое ожидание, дис-
DD
UV
2
персию и функцию корреляции процесса . Определить, является ли данный про-
UV
U
()t
цесс стационарным, в широком смысле.
12. Случайная величина распределена равномерно в интервале . Для случайного
() ,tta
процесса где – неслучайная величина, найти математическое ожида-
a
0, 2
ние, дисперсию и функцию корреляции. Является ли этот процесс стационарным?
13. Задан случайный процесс , где – непрерывная случайная величина, рас-
()tVt
2
пределенная по нормальному закону с параметрами и . Найти характеристики
процесса (математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции). Прове-
()t
V
a
2
рить является ли этот процесс стационарным в широком смысле?
14. Доказать строгую стационарность процесса , где и неслу-
чайные величины, случайная величина равномерно распределенная на отрезке .
() costt
0, 2
117
Теория случайных процессов
p
X
P
s
s
()tV
()
t
15. Случайный процесс представляет собой , где непрерывная случайная ве-
личина с плотностью . Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию
корреляции процесса . Является ли этот процесс стационарным?
V
()t
()
x
16. Входной случайный процесс задан каноническим разложением
() 1 2Xt tAtAt At
()4DA
1
шением . Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и
Ytdt
12 3
, , . Выходной случайный процесс определяется соотно-
()3DA
dX t
()
23
2
()
дисперсию случайного процесса .
. Известны дисперсии коэффициентов разложения:
()2DA
3
()Yt
V
17. Поток покупателей является простейшим Пуассоновским с параметром , это значит,
что вероятность того, что за время появится ровно покупателей определяется
k
формулой Пуассона:
k
k
Процесс представляет собой число покупателей пришедших от 0 до t (например,
()t
k
!
e
совпадает с началом рабочего дня). Найти математическое ожидание, дисперсию и
функцию корреляции процесса .
Указание. При вычислении функции корреляции воспользоваться тем, что при
() ()st
18. Пусть случайная величина, имеющая нормальное распределение с математическим
ожиданием и дисперсией . Найти функцию корреляции случайного процесса
() ,ttb
2
, где число событий наступивших за время от до .
m
b 0.t
где вещественное число,
()t
t
t
2
19. Имеется пуассоновский поток случайных событий с интенсивностью . Случайный
процесс образуется следующим образом: в момент времени i-го события
()t
1, 2 , ..i
процесс принимает случайное значение и сохраняет его до появления
следующего события в потоке. В начальный момент времени . Случайные ве-
личины независимы и одинаково распределены с плотностью Найти
, ,....VV
01
V
i
(0) V
0
px
V
.
основные характеристики процесса.
118
Задачи для самостоятельного решения по всем темам
X
X
X
X
Z
R
n
20. Найти корреляционную функцию случайного процесса где
() ,
tYqt
i
1
ii
, ,....,
qt q t q t
12
n
неслучайные функции, некоррелированные слу-
чайные величины математическими ожиданиями и дисперсиями
, , ....,
dd d
12
21. Пусть корреляционная функция некоторого случайного процесса, полином с
соответственно.
n
(, )Rts
положительными коэффициентами. Доказать, что функция является
, , ....,
YY Y
12
n
, , ....,
mm m
12
n
(, ) ( (, ))Rts QRts
корреляционной функцией некоторого случайного процесса.
2
22. Пусть , вещественное число. Найти функцию корреляции случайного
процесса
23. Пусть непрерывная периодическая функция с периодом , случайная ве-
t TX
,XNm
() , 0.Yt X t b t
личина, равномерно распределенная на отрезке . Исследовать случайный процесс
()Yt t X
на стационарность.
b
0,T
,
24. Найти функцию ковариации процесса где независимы,
, а
0,1XN
25. Пусть стационарный случайный процесс, случайная величина. Является ли
t Y
случайный процесс стационарным?
26. Показать, что функция , где – некоторые положительные
,YR
tXtY
2
te t
() cos ,tX tY
t
cos
,,
Y
постоянные, может быть функцией корреляции непрерывного в среднем квадратическом и стационарного в широком смысле случайного процесса. Определить спектральную плотность, соответствующую такой функции корреляции.
sin
27. Найти предел в среднеквадратическом
()
t
распределена равномерно на интервале
n
28. Найти предел в среднеквадратическом при
() lim ()
tXt
n
0,1 .
n
:
n
, если
()
Xtnt
n
nt
причем
119
Теория случайных процессов
X
X
X
X
X
X
tt W t tW t tt
ii i i ii
()
Xt
ba
где
tai
i
?
() lim ()
Wt X t
винеровским?
n
n
n
n
точки разбиения отрезка
0, ,
29. Найти предел в среднеквадратичном при
1
() sin
tnt
цессов:
, где
nn
n
последовательность нормально распределенных
n
11 1
n
случайных величин со средним нуль и дисперсией единица,
30. Найти предел в среднеквадратичном при
цессов:
1
() exp
tt
, где
nn
2
n
2
n
n
последовательность нормально распределенных
случайных величин со средним нуль и дисперсией единица,
,,
,
ttt
1
ii
,ab . Будет ли предельный процесс
последовательности случайных про-
0,1 .t
последовательности случайных про-
0, 4t .
31. Будет ли процесс
() lim ()
tXt
n
n
, где
() exp
tt
nn
n
2
nt
,
0,1t ,
n
распре-
sin 5
делены нормально с нулевым средним и дисперсией единица, непрерывным в среднеквадратическом?
sin 5 sin 3
32. Будет ли процесс
() lim ()
tXt
n
, где
n
() exp
tt
nn
nn
2
nt
,
0,1t ,
n
распределены нормально с нулевым средним и дисперсией единица, дифференцируемым в среднеквадратическом?
at
D
2
nt
сходится к винеровскому процессу ()Wt .
2
n
U
U
1
,
неслучайная величина. Является ли дан-
a
33. Доказать, что процесс
34. Случайный процесс ()
Xt
ttUe
ческим ожиданием и дисперсией
k
sin
()
k
n
1
, где случайная величина с нулевым математи-
ный процесс непрерывным и дифференцируемым в среднем квадратическом?
35. Случайная величина распределена равномерно в интервале . Для случайного
0, 2
() ,tta
процесса где – неслучайная величина. Является ли данный процесс не-
a
прерывным и дифференцируемым в среднем квадратическом?
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]